江苏省泰兴市第一高级中学2015-2016学年高二下学期第一次阶段测试数学（理）试题

2016年春学期高二年级阶段测试（一）
数学（理）试卷
命题人：吴光亮 校对：嵇哲 2016.4
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡相应的位置上。
1.=_________.
2.把红桃、黑桃、方块、梅花四张纸牌随机 ( http: / / www.21cnjy.com )发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一张，事件“甲分得梅花”与事件“乙分得梅花”是 事件．
(填“对立”、“不可能”、 “互斥事件”、“互斥事件，但不是对立”中的一个)
3.当x＝2时，下面的伪代码执行后的结果是________．
i←1
s←0
While i≤4
s←s·x＋1
i←i＋1
End While
Print s
4.采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A，编号落入区间[451，750]的人做问卷B，其余的人做问卷C.则抽到的人中，做问卷B的人数为________.
5.若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为________．
6.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到定点A的距离|PA|＜1的概率为________．
7.袋中有1个白球，2个黄球，先从中摸出一球，再从剩下的球中摸出一球，两次都是黄球的概率为________．
8.在平行六面体ABCD – A1B1C1D1中, 以顶点A为端点的三条棱长都等于1, 且两两夹角都为45°, 则|| = .
9.在样本的频率分布直方图中，共有9个小 ( http: / / www.21cnjy.com )长方形， 若第一个长方形的面积为0.02，前五个与后五个长方形的面积分别成等差数列且公差是互为相反数，若样本容量为1 600，则中间一组(即第五组)的频数为_______．
10.若执行如图所示的流程图，输入x1＝1，x2＝2，x3＝3，
＝2，则输出的数为________．　
11.现有某类病毒记作XmYn，其中正整数m、n(m≤7，n≤9)可以任意选取，则m、n都取到奇数的概率为________．
12.某班有48名学生，在一次考试中统计出 ( http: / / www.21cnjy.com )平均分数为70，方差为75，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得80分却记为50分，乙实得70分却记为100分，更正后方差是________．
13.从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a，b，共可得到lga－lgb的不同值的个数是________．
14.有4张分别标有数字1、2、3、4的红色卡片和4张分别标有数字1、2、3、4的蓝色卡片，从这8张卡片中取出4张卡片排成一行．如果取出的4张卡片所标数字之和等于10，则不同的排法共有________种．
二、解答题：本大题共6小题，计90分。解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内。
15.某校从参加高一年级期 ( http: / / www.21cnjy.com )中考试的学生中随机抽出60名学生，将其物理成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如图所示的频率分布直方图，观察图形的信息，回答下列问题：
(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试中的平均分．
16.已知关于x的一元二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0.
(1) 若a、b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程有两正根的概率；
(2) 若a∈[2，4]，b∈[0，6]，求方程没有实根的概率．
17.三棱柱ABC－A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB＝2，AC＝4，A1A＝3.D是BC的中点．
(1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；
(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值．
18.现有2位男生和3位女生共5位同学站成一排.(用数字作答)
（1）若2位男生相邻且3位女生相邻，则共有多少种不同的排法
（2）若男女相间，则共有多少种不同的排法
（3）若男生甲不站两端,女生乙不站最中间,则共有多少种不同的排法
19.在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45°角．
(1) 若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CD⊥AB；
(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小．
( http: / / www.21cnjy.com )
20.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC，且AB＝AC＝A1B＝2.
(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；
(2) 在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为.
高二数学阶段测试（一）参考答案
1.360 2. 互斥事件，但不是对立 3. 15 4. 10 5. 6.
7. 8. 9. 360 10.　 11. 12. 50
13.18 14. 432
15. 解　(1)设分数在[70,80 ( http: / / www.21cnjy.com ))内的频率为x，根据频率分布直方图，有(0.010＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，可得x＝0.3，…………………5分
所以频率分布直方图如图所示．（补图）
……………………………7分
(2)平均分为：＝45×0.1＋ ( http: / / www.21cnjy.com )55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)．…………………13分
答: 估计本次考试中的平均分为71分．………14分
16. 解：设“方程有两个正根”的事件为A，“方程没有实根”的事件为B.
(1) 由题意知本题是一个古典概型 ( http: / / www.21cnjy.com )，用(a，b)表示一枚骰子掷两次所得到的点数．依题意知，基本事件(a，b)的总数有36个，二次方程x2－2(a－2)x－b2＋16＝0有两正根，等价于
即 则事件A包含的基本事件为(6，1)、(6，2)、(6，3)、(5，3)共4个．…………………………………6分
∴所求的概率为P(A)＝.……………………………………7分
(2) 由题意知本题是一个几何概型，试验的全 ( http: / / www.21cnjy.com )部结果构成区域Ω＝{(a，b)|2≤a≤4，0≤b≤6}, 其面积为S(Ω)＝12.满足条件的事件为：B＝{(a，b)|2≤a≤4，0≤b≤6，(a－2)2＋b2＜16}，其面积为S(B)＝××4×4＋×2×＝＋2.…………………………………13分
∴ 所求的概率P(B)＝.…………………………………14分
17. 解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).＝(1，2，－ 3)，＝(0，4，0). …………2分
设平面A1C1D的一个法向量为n＝(x，y，z)．
∵ n·＝x＋2y－3z＝0，n·＝4y＝0.
∴ x＝3z，y＝0.令z＝1，得x＝3.n＝(3，0，1)．…………4分
设直线DB1与平面A1C1D所成角为θ，
∵ ＝(1，－2，3)，
∴ sinθ＝|cos〈·n〉|＝＝.…………………7分
(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m＝(a，b，c)．
＝(2，0，0)，∵ m·＝a＋2b－3c＝0，m·＝2a＝0，
∴ a＝0，2b＝3c.令c＝2，得b＝3.m＝(0，3，2)．………………10分
设二面角B1A1DC1的大小为α，
∴ |cosα|＝cos|〈m，n〉|＝＝＝，
则sinα＝＝. ………………13分
∴ 二面角B1A1DC1的正弦值为. ………………14分
18. (1)(5分)
（2）（5分）
（3）（5分）
答（1分）
19. 解：以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知∠SBO＝45°，SO＝3.O(0，0，0)，C(0，，0)，A(0，－，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)．　………………2分
(1) 设＝λ(0≤λ≤1)，则＝(1＋λ)＋λ＝(3(1＋λ)，0，3λ)，
所以＝(3(1－λ)，－，3λ)．
因为＝(3，，0)，CD⊥AB，所以·＝9(1－λ)－3＝0，解得λ＝.
故＝时， CD⊥AB. ………………8分
(2) 平面ACB的法向量为n1＝(0，0，1)，设平面SBC的法向量n2＝(x，y，z)，
则n2·＝0，n2·＝0，
则解得
取n2＝(1，，1)，………………………………12分
所以cos〈n1，n2〉＝＝.………………14分
又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.
…………16分
20. 解：(1) 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，
则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，
＝(0，2，2)，＝＝(2，－2，0)．………………2分
cos〈，〉＝＝＝－，………4分
故AA1与棱BC所成的角是.………………6分
(2) P为棱B1C1中点，设＝λ＝(2λ，－2λ，0)，则P(2λ，4－2λ，2)．… 10分
设平面PAB的法向量为n1＝(x，y，z)，＝(2λ，4－2λ，2)，
则
故n1＝(1，0，－λ)，………………12分
而平面ABA1的法向量是n2＝(1，0，0)，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝，………………14分
解得λ＝，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)．………………16分