第四章 指数函数与对数函数 单元检测（含答案）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

人教版必修第一册第四章指数函数与对数函数单元检测
一、单选题
1．若函数是指数函数，则有（ ）
A． B．
C．或 D．，且
2．下列各式中成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．已知，且，则的值是（ ）
A． B． C． D．
5．若，且，则函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
6．设，则的大小顺序为（ ）
A． B． C． D．
7．“”是“函数为奇函数”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
8．荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海．”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点．我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是若“进步”的值是“退步”的值的100倍，大约经过参考数据：，（ ）天．
A．200天 B．210天 C．220天 D．230天
二、多选题
9．已知偶函数和奇函数的定义域均为，且，则（ ）
A． B．
C．的最小值为2 D．是减函数
10．设函数，则下列说法不正确的是（ ）
A．函数在区间，内均有零点
B．函数在区间，内均无零点
C．函数在区间内有零点，在区间内无零点
D．函数在区间内无零点，在区间内有零点
11．已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A．当时，的定义域为
B．一定有最小值
C．当时，的值域为R
D．若在区间上单调递增，则实数a的取值范围是
三、填空题
12．已知，则 ．
13．已知，，则 ．
14．已知函数是定义在上的奇函数，当时，，当时，.若函数恰有4个零点，则实数的取值范围是 .
四、解答题
15．计算：
(1)；
(2)；
(3)若，求的值．
16．已知函数.
(1)判断函数的奇偶性；
(2)若，求的值域；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．
17．已知函数．
(1)解关于的不等式；
(2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．根据当地气候、土质等条件，发现某果树的单株产量（单位：千克）与施肥量（单位：千克）满足函数关系：，且单株果树的肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理、施肥人工费等费用）为元，已知这种水果的市场售价为21元/千克，且销路畅通供不应求，记该果树的单株利润为（单位：元）.
(1)求函数的解析式
(2)当单株施肥量为多少千克时，该果树的单株利润最大？最大利润是多少？
19．在20世纪30年代，美国地震学家里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，就是我们常说的甲氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0.其中A是被测地震的最大振幅，A0是“标准地震”的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.
(1)假设在一次地震中，测震仪记录地震的最大振幅是1 000，此时标准地震的振幅是0.001，求这次地震的震级．
(2)5级地震给人的震感已比较明显，求7.6级地震的最大振幅约是5级地震的最大振幅的多少倍？（精确到1倍，参考数据：100.6≈3.981）
答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A D A C A A B D BC ABC
题号 11
答案 AC
12．
13．
14．
15．（1）
＝；
（2）
＝
＝
＝；
（3）由，得，
则．
16．（1），函数定义域为R，
则，
所以是奇函数；
（2）因为是R上的增函数，
所以是在R上的减函数，
所以是上的增函数，
所以，，
所以的值域为；
（3）对任意的，不等式恒成立，转化为在上恒成立，
又，
令，，则，，
令，，
由对勾函数性质得在上单调递增，
所以在上单调递减，
所以，
所以，即实数a的取值范围为．
17．（1）由题意有：可得，
所以，解得，
故不等式的解集为；
（2）因为和在上分别是增函数和减函数，
所以在上为增函数，
所以在上的最小值为，
由题知对恒成立，即对恒成立，
所以，解得，所以实数的取值范围是．
18．（1）根据题意知，
整理得；
（2）当时，，
由一元二次函数图象可知在时取得最大值，
当时，
，
当且仅当，即时等号成立，
∴，∴的最大值是，
∴当单株施肥量为5千克时，该果树的单株利润最大，最大利润是325元.
19．解：（1）依题意M＝lg 1 000－lg 0.001＝lg 103－lg 10－3＝3－（－3）＝6，所以这次地震的震级是6级．
（2）依题意其中A5，A7.6分别表示5级地震、7.6级地震的最大振幅，
两式相减得lg A7.6－lg A5＝lg ＝2.6，
所以＝102.6＝102×100.6≈100×3.981≈398倍．
所以7.6级地震的最大振幅约是5级地震的最大振幅的398倍．