四川省绵阳2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题（四）（含答案）
文档属性
| 名称 | 四川省绵阳2024-2025学年高二上学期数学期末模拟试题（四）（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 782.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-13 21:03:18 | ||
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文档简介
绵阳高2023级高二（上）期末模拟试题（四） 数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为
A． B． C． D．
3．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是
A．超过的大学生更爱使用购物类APP
B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是
4．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是
A． B． C． D．
5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=
A． B．
C． D．
6．从原点引圆的切线为，当变化时切点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为
A． B． C． D．
8．在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则相互独立 D．若相互独立，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是
A．四边形的周长为12 B.当时，的面积为．
C. 直线，的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12．已知直线：与直线：.若，则______.
13．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为 .(结果保留一位小数）
14．已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求a值和该样本的第75百分位数；
（2）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
已知直线，圆
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.
17. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
18．在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19．已知曲线直线，为坐标原点.
（1）讨论曲线的形状；
（2）当时，直线与曲线相交于两点、，若，求曲线的方程；
（3）当时，直线与曲线相交于两点、，试问在曲线上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围？若不存在，请说明理由.
绵阳高2023级高二（上）期末模拟试题（四） 数学参考答案
选择题
1-4 CDCB 5-8ADAD 9.AC 10.ABD 11.AD
填空题
12.2 13.166.4 14.
三．解答题
15．(13分）（1）由题意可得：，
解得：；
因为，，
所以该样本的第百分位数在区间，
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
，解得：，
即该样本的第百分位数为.
(2)设A=“甲获一等奖”B=“乙获一等奖”M=“至少一位同学获奖”
P(A)= P(B)= P（M）=1-P（）=1-
16.（1）
（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.
同样根据点到直线距离公式得.化简得.解得.
17（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，
即，
联立，消去可得：，所以，，
所以
即，，解得.
18（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，，
又，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
（2）由（1）可知，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系 ，
翻折前，在中，，则，则，
则，则，，
翻折后，因为平面，平面，则，
所以，，，则，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
不妨令，则，，则．
设直线与平面所成角的大小为，
则有，则，
直线与平面所成角的大小为.
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，
设平面的法向量为，则有，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，
令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得或，即或，则或.故存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为．
此时的长度为或．
19（1）当时，曲线的方程为，可得，曲线表示垂直于轴的两条直线；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线表示单位圆；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.
（2）当时，直线的方程为，设点、，
代入曲线得，，，
所以，，，
由弦长公式得，解得，所以曲线的方程为.
（3）存在，理由如下：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆.
直线过曲线的右顶点，设点，点，
把直线代入曲线的方程得，
由题意知，和是此方程的两个根，由于，
由韦达定理可得，可得，所以，，
因为，所以，
所以点的坐标为，
点在曲线上，则由点的坐标满足椭圆的方程，化简可得，
即，则，由此求得.
因此，在曲线上存在点，使得，且实数的取值范围是.
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．抛物线的焦点坐标为
A． B． C． D．
2．甲、乙两个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站预报的准确率分别为和，那么在一次预报中两站恰有一次准确预报的概率为
A． B． C． D．
3．下图为2024年中国大学生使用APP偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP的结论正确的是
A．超过的大学生更爱使用购物类APP
B．超过半数的大学生使用APP是为了学习与生活需要
C．使用APP偏好情况中7个占比数字的极差是
D．APP使用目的中6个占比数字的分位数是
4．从2名男生和2名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和一名女生的概率是
A． B． C． D．
5．如图，在平行六面体（底面为平行四边形的四棱柱）中，E为延长线上一点，，则=
A． B．
C． D．
6．从原点引圆的切线为，当变化时切点的轨迹方程是
A． B．
C． D．
7．已和双曲线与直线相交于A、B两点，若弦的中点M的横坐标为1，则双曲线C的渐近线方程为
A． B． C． D．
8．在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是
A． B．
C． D．
二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9. 设是两个随机事件，若，则下列结论正确的是
A．若，则 B．若，则
C．若，则相互独立 D．若相互独立，则
10．关于空间向量，以下说法正确的是
A．若空间向量，，则在上的投影向量为
B．若对空间中任意一点O，有，则P，A，B，C四点共面
C．若空间向量，满足，则与夹角为锐角
D．若直线l的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11．已知椭圆的左、右焦点分别为、，上项点为B，直线与椭圆C相交于M、N两点，点，则下列选项正确的是
A．四边形的周长为12 B.当时，的面积为．
C. 直线，的斜率之积为
D.若点P为椭圆C上的一个动点，则的最小值为
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题5 分，共 15 分。
12．已知直线：与直线：.若，则______.
13．某学校高一年级在校人数为600人，其中男生320人，女生280人，为了解学生身高发展情况，按分层随机抽样方法抽取50名男生身高为一个样本，其样本平均数为，抽取50名女生身高为一个样本，其样本平均数为，则该校高一学生的平均身高的估计值为 .(结果保留一位小数）
14．已知P是椭圆的一点，，分别为C的左、右焦点，且P满足，.若的角平分线与x轴交于点，则椭圆C的长轴长为 .
四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．某校为选拔参加数学联赛的同学，先进行校内数学竞赛，为了解校内竞赛成绩，从所有学生中随机抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩，并作出频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题：
（1）求a值和该样本的第75百分位数；
（2）若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛，已知甲复赛获一等奖的概率为，乙复赛获一等奖的概率为，甲、乙是否获一等奖互不影响，求至少有一位同学复赛获一等奖的概率．
已知直线，圆
（1）若直线不经过第四象限，求的取值范围；
（2）记圆的圆心为，若直线与圆交于，两点，为等边三角形，求的值.
17. 已知双曲线的实轴长为，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点且斜率为的直线与双曲线的另一个交点为，求.
18．在中，，，，、分别是、上的点，满足且，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点，使平面与平面所成角的余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
19．已知曲线直线，为坐标原点.
（1）讨论曲线的形状；
（2）当时，直线与曲线相交于两点、，若，求曲线的方程；
（3）当时，直线与曲线相交于两点、，试问在曲线上是否存在点，使得？若存在，求出实数的取值范围？若不存在，请说明理由.
绵阳高2023级高二（上）期末模拟试题（四） 数学参考答案
选择题
1-4 CDCB 5-8ADAD 9.AC 10.ABD 11.AD
填空题
12.2 13.166.4 14.
三．解答题
15．(13分）（1）由题意可得：，
解得：；
因为，，
所以该样本的第百分位数在区间，
所以设该样本的第百分位数为，则可得方程：
，解得：，
即该样本的第百分位数为.
(2)设A=“甲获一等奖”B=“乙获一等奖”M=“至少一位同学获奖”
P(A)= P(B)= P（M）=1-P（）=1-
16.（1）
（2）因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离.
同样根据点到直线距离公式得.化简得.解得.
17（1）因为双曲线的实轴长为，所以，解得：；
又因为点在双曲线上，所以，解得：，
所以双曲线的标准方程为：
（2）设，
由题可得过点且斜率为的直线方程为：，
即，
联立，消去可得：，所以，，
所以
即，，解得.
18（1）因为在中，，，且，
所以，，则折叠后，，，
又，、平面，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，、平面，所以平面.
（2）由（1）可知，平面，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系 ，
翻折前，在中，，则，则，
则，则，，
翻折后，因为平面，平面，则，
所以，，，则，
故，，，，，，
，，，
设平面的法向量为，则，
不妨令，则，，则．
设直线与平面所成角的大小为，
则有，则，
直线与平面所成角的大小为.
（3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为．
在空间直角坐标系中，，，，
设，则，
设平面的法向量为，则有，
不妨令，则，，所以，
设平面的法向量为，则有，
令，则，，所以，若平面与平面成角余弦值为．
则满足，
化简得，解得或，即或，则或.故存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为．
此时的长度为或．
19（1）当时，曲线的方程为，可得，曲线表示垂直于轴的两条直线；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆；
当时，曲线表示单位圆；
当时，曲线表示焦点在轴上的椭圆.
（2）当时，直线的方程为，设点、，
代入曲线得，，，
所以，，，
由弦长公式得，解得，所以曲线的方程为.
（3）存在，理由如下：当时，曲线的方程为，表示焦点在轴上的椭圆.
直线过曲线的右顶点，设点，点，
把直线代入曲线的方程得，
由题意知，和是此方程的两个根，由于，
由韦达定理可得，可得，所以，，
因为，所以，
所以点的坐标为，
点在曲线上，则由点的坐标满足椭圆的方程，化简可得，
即，则，由此求得.
因此，在曲线上存在点，使得，且实数的取值范围是.