第二章 一元二次函数、方程与不等式 期末过关训练（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程与不等式
一、单选题
1．若，则下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．苦，那么 D．若，则
2．已知，，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，有以下两种方案：甲方案是每次购买这种物品的数量一定；乙方案是每次购买这种物品所花的钱数一定.对于以下两种购物方案的优惠程度的说法正确的是（ ）
A．甲方案更优惠 B．乙方案更优惠 C．甲乙一样优惠 D．无法确定
4．已知且，则的最大值为（ ）
A．2 B．5 C． D．
5．已知，则的最小值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C． D．6
7．若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若x＜0，则 D．若x＜0，则
9．一般认为，教室的窗户面积应小于地面面积，但窗户面积与地面面积之比应不小于，且这个比值越大，通风效果越好.以下结论叙述正确的个数为（）
①若教室的窗户面积与地面面积之和为，则窗户面积至少应该为
②若窗户面积和地面面积都增加原来的，则教室通风效果不变
③若窗户面积和地面面积都增加相同的面积，则教室的通风效果变好
④若窗户面积第一次增加了，第二次增加了，地面面积两次都增加了，则教室的通风效果变差
A．1 B．2 C．3 D．4
10．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
12．若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
13．已知关于x的方程有两个大于2的相异实数根，则实数m的取值范围是（）
A．或 B．
C． D．或
14．若，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
15．解下列不等式：
（1） （2）≤1； （3）<0.
16．已知函数
(1)当时，解不等式；
(2)若关于的不等式的解集为，求的值；
(3)解关于的不等式
17．已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最大值为12．
(1)求的解析式；
(2)设函数在上的最小值为，求的表达式及的最小值．
18．已知函数．
(1)当时，求函数在上的最大值与最小值；
(2)若在上的最大值为4，求实数的值．
19．关于的方程满足下列条件，求的取值范围.
(1)有两个正根；
(2)一个根大于1，一个根小于1；
(3)一个根在内，另一个根在内；
第二章 一元二次函数、方程与不等式 参考答案
1．B【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小一一判断求解.
2．C【分析】根据不等式的基本性质求解即可.
3．B【分析】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，分别计算比较两种方案物品平均价格可得答案.
【详解】设物品价格为，甲方案每次购买物品数量为y，乙方案每次购买物品所花的钱为z，其中.
则甲方案购买物品平均价格为： ；乙方案购买物品平均价格为：.
注意到，则乙方案更优惠.
4．D由，得，则，当且仅当时取等号，所以当时，取得最大值为.
5．A 分离常数解：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立，
6．B法一：整体思想—通过基本不等式转化为关于的一元二次不等式的形式 法二：消元思想
【详解】因为，所以，
所以，所以，且，
所以或（舍去），当且仅当时取等号，所以的最小值为，
7．A【详解】不等式恒成立，即，
，
等号成立的条件是，即，与条件联立，解得，
所以的最小值是8，即，解得．
8. D 对于A选项，当时，，所以A错误.对于B选项，当时，，故B错.
∵，如时，，∴C错误；
∵，，，∴，当且仅当，即等号成立，∴D正确．
9．B【详解】对于①，设该公寓窗户面积为，则地板面积为，依题意有，
解得，所以这所公寓的窗户面积至少为，故①错误；
对于②，记窗户面积为和地板面积为，同时窗户增加的面积为，同时地板增加的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
所以公寓采光效果不变，故②正确；
对于③，记窗户面积为和地板面积为，同时增加的面积为.
由题可知，，增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，且，所以，即，
所以，同时增加相同的窗户面积和地板面积，公裹的采光效果变好了，故③正确；
对于④，记窗户面积为和地板面积为，则窗户增加后的面积为
地板增加后的面积为，
由题可知增加面积前后窗户面积与地板面积的比分别为，
因为，
又因为，所以，
因为，所以，
当时，采光效果不变，故④错误.
10．D【详解】因为函数在区间上单调递减，所以，解得.
11．D【分析】法一：求出对称轴，判断单调性 法二：比较各个x值到对称轴距离．
【详解】对称轴为，
则在上单调递减，在上是单调递增，A：，故A错误；
12．A【分析】由不等式恒成立转化为判断二次函数开口方向以及判别式符号的问题
【详解】依题意可得，由二次函数性质可得若一元二次不等式对一切实数都成立，
需满足，解得，即的取值范围是.
13．B【详解】设关于x的方程的两个根分别为,
则由根与系数的关系，知
所以由题意知，即，解得.
14．A【分析】将存在性问题转化为最值问题，利用二次函数的单调性求最值，列不等式，
【详解】设函数，因为，使成立，
所以在区间上的最大值，因为二次函数的开口向上，对称轴方程为，所以函数在区间上单调递减，在上单调递增，
因为，结合二次函数的对称性可知，
当时，函数取最大值，最大值，解得；
15．(1)不等式化为：，整理得，解得或，
所以的解集为.
(2）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0.此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4.
∴原不等式的解集为 {或}
（3）由<0得>0，等价于 (x－1)>0，解得x<－或x>1，∴原不等式的解集为或}.
16． 【分析】（1）解一元二次不等式即可；（2）由题意得方程的两根为1和2，利用韦达定理和判别式求解；（3）分类讨论解一元二次不等式即可．
【详解】（1）当时，不等式为，
，解得或，∴不等式的解集为或．
（2）不等式，即，∵不等式的解集为，
∴方程的两根为1和2，，解得．
（3）不等式可化为，
当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为或；
当时，不等式的解集为或．
17．【详解】（1）设，因为不等式的解集是，
所以且方程的根为，则，所以，
所以，其对称轴为，故在区间上的最大值为，所以，解得，所以；
（2）由（1）得，其对称轴为，
当时，，
当，即时，，
当，即时，，综上所述，，
当时，，当时取等号，
当时，，当时取等号，
当时，，综上所述，当时，取最小值．
18． 【详解】（1）当时，，对称轴为，
故当时，单调递减，当时，单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
又，故的最大值为9；
（2）因为是开口向上的抛物线，，对称轴为，
①当，即时，，得：，满足
②当，即时，，得：,满足要求综上：或.
19． 【详解】（1）令，设的两个根为.
由题得，解得.
（2）令，设的两个根为.
若方程的一个根大于1，一个根小于1，
由于，开口向上，
故只需，解得.
（3）令，设的两个根为.
若方程一个根在内，另一个根在内，
结合开口向上，则，解得.