专题10 三角恒等变换与图象题型归纳 讲义（含解析）-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

专题10 三角恒等变换与图象变换题型归纳
一、三角恒等变换公式
1：两角和与差的正余弦与正切
C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
C(α＋β) cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ
S(α－β) sin(α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ
S(α＋β) sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ
T(α－β) tan(α－β)＝； 变形：tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)
T(α＋β) tan(α＋β)＝； 变形：tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)
2：二倍角公式
S2α sin 2α＝2sin α cos α； 变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2
C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝
T2α tan 2α＝
sin 2α==；cos 2α==．
3：降次（幂）公式
4：辅助角公式
（其中）．
二、三角函数小图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
周期性 2π 2π π
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
递增区间 [2kπ－π，2kπ]
递减区间 [2kπ，2kπ＋π] 无
对称中心 (kπ，0)
对称轴方程 x＝kπ＋ x＝kπ， 无
1：已知单调区间求参数范围的3种方法
（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；
（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，
列不等式(组)求解；
周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。
2：三角函数的图象：A、φ、ω的含义
（1）A决定了函数的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅．
（2）φ决定了x=0时的函数值，通常称φ为初相，ωx＋φ为相位．
（3）ω决定了函数的周期．
3：三角函数图象的变换
（1）振幅变换：要得到函数y＝Asinx（A＞0，A≠1）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时）或缩短（当0＜A＜1时）到原来的A倍（横坐标不变）即可得到．
（2）平移变换：要得到函数y＝sin（x＋φ）的图象，只要将函数y＝sinx的图象上所有点向左（当φ＞0时）或向右（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度即可得到．
（3）周期变换：要得到函数y＝sinωx(x∈R)（其中ω＞0且ω≠1）的图象，可以把函数y＝sinx上所有点的横坐标缩短（当时）或伸长（当0＜ω＜1时）到原来的倍（纵坐标不变）即可得到．
题型1 两角和与差的公式应用
1．（ ）
A． B． C． D．
2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，若，则=（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则（ ）
A．7 B．－7 C． D．
8．（ ）
A． B． C．1 D．
9．的值为（ ）
A． B． C． D．
10．（，），则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
题型2 二倍角公式及其应用
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
12．已知角为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
15．若，则（ ）
A． B． C． D．
16．若，则（ ）
A． B． C． D．
17．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．4
18．化简：（ ）
A． B． C． D．
题型3 给值求值与给值求角
19．若 则（ ）
A． B． C． D．
20．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
21．已知则 的值是（ ）
A． B． C． D．
22．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
23．设，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
24．若为锐角，，则角__________.
25．若，，，，则 ．
26．已知，且，则 .
27．若，，，，则 .
28．已知，，，，则的值为 .
题型4 辅助角公式
29．（多选题）已知函数，则下列结论中错误的是　　
A．函数的最小正周期为 B．时取得最小值
C．关于对称 D．时取得最大值
30．函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
31．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
32．（多选题）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
题型5 由图象求三角函数的解析式
33．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
34．函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
35．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
36．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
37．（多选题）已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
38．已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
题型6 三角函数综合应用
39．如图,在平面直角坐标系中,锐角和钝角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且.
（1）求的值;（2）若点A的横坐标为,求的值.
40．已知函数：
(1)函数的值域为；(2)若函数在区间上是减函数，求a的最大值？
41．已知函数.
(1)求的最小正周期； (2)求的对称中心的坐标；
(3)求函数在的区间上的最大值和最小值
42．已知函数(，，)的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；(2)若，求的值.
43．已知函数在区间上的最大值6．
(1)求b的值; (2)求在的对称轴方程; (3)求在的单调递增区间．
44．已知函数（其中，）的最小正周期是，点是函数图象的一个对称中心.
（1）求的解析式； （2）求的单调区间； （3）求函数在区间上的取值范围.
45．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.
专题10 三角恒等变换与图象变换题型归纳参考答案
题型1 两角和与差的公式应用
1．（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：
．故选：A．
2．sin40°cos10°+cos140°sin10°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
答案：D
解析：sin40°cos10°+cos140°sin10°=sin40°cos10°-cos40°sin10°=sin（40°-10°）=sin30°＝.
故选：D
3．已知，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为，，，所以.
则.故选：B.
4．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为，，所以，又，，所以，所以.故选：B
5．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：，，平方相加可得，
求得，即．故选：C．
6．已知，若，则=（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：，，，
，故选：D.
7．已知，，则（ ）
A．7 B．－7 C． D．
答案：B.
解析：因为，，所以，，
则.故选：B.
8．（ ）
A． B． C．1 D．
答案：A
解析：，，
，
，
.
9．的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析:
,故选：A.
10．（，），则（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
答案：D.
解析：因为，所以.所以.
所以.故选：D.
题型2 二倍角公式及其应用
11．已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为，
故，故选：A
12．已知角为第二象限角，，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D.
解析：因为角为第二象限角且，所以，
.故选：D.
13．已知，则（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：，
所以，
得.故选：C.
14．已知，且，则（ ）
A． B． C． D．1
答案：B
解析：，,，
又，则，即所以，
因为，所以，.
由平方可得，即，符合题意.综上，.故选：B.
15．若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：A.
解析：因为，所以，即，
所以，即，所以，故选：A．
16．若，则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由.故选：D
17．已知，则（ ）
A． B． C．2 D．4
答案：B.
解析：因为，所以，故选：B.
18．化简：（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：根据题意可知，利用诱导公式可得
再由二倍角的正弦和余弦公式可得，
即.故选：C
题型3 给值求值与给值求角
19．若 则（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：法一：因为，所以，
即，
即，即，即.
法二：.故选：D.
20．已知，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：由和差化积公式，得，，
两式相除，所以.所以.故选：B．
21．已知则 的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：B
解析：因为
所以，，故选：B
22．若，，并且，均为锐角，且，则的值为（ ）
A． B． C． D．
答案：C.
解析：，均为锐角，且，则为锐角，由，得，
，则为锐角，，则.故选：C.
23．设，，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：，因为，，且，
又，得.因为，则，
又，所以，
，.故选：A.
24．若为锐角，，则角__________.
答案：
解析：由于为锐角，所以，
所以，
所以，
所以.故答案为：
25．若，，，，则 ．
答案：
解析：因为，，且，
所以，又因为，则，
所以
，又因为，所以，故答案为：.
26．已知，且，则 .
答案：
解析：因为，，
所以，，
所以，
因为，所以，所以，故答案为：.
27．若，，，，则 .
答案：
解析：由，，则，，
所以或，，，则，
当时，，则，
当时，，则，
又，.故.故答案为：
28．已知，，，，则的值为 .
答案：
解析：且，所以，，因为，所以，，
由二倍角的正切公式可得，
所以，，
因此，.故答案为：.
题型4 辅助角公式
29．（多选题）已知函数，则下列结论中错误的是　　
A．函数的最小正周期为 B．时取得最小值
C．关于对称 D．时取得最大值
答案：ABC.
解析：易知，故，故错误；
，故错误，且也不是原函数的对称轴，故错误；
，取得了最大值，故正确．故选：ABC．
30．函数 在区间 上的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．2
答案：C
解析：，，
根据正弦函数的性质，，所以最小值为1，故选：C.
31．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：由题意可得：
，
因为，所以，
当，即时，单调递增.故选：D.
32．（多选）已知在区间上单调递增，则的取值可能在（ ）
A． B． C． D．
答案：AC
解析：，当，由，则，
则有，，解得，，
即，，有，，即，即或，
当时，有，时，有，故的取值可能在或.故选：AC.
题型5 由图象求三角函数的解析式
33．已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：D
解析：根据图象可得，，解得，所以，即，
将点代入的解析式，得，
则，解得，，又，，所以.故选：D.
34．函数（其中）的部分图象如图所示，为了得到函数的图象，则只需将的图象（ ）

A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：B
解析：由图象知，，则，又，所以，
当时，，解得，由，得，
所以.
要得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位即可.故选：B
35．如图，直线与函数的图象的三个相邻的交点为A，B，C，且，，则（ ）

A． B．
C． D．
答案：A
解析：因为，，所以相邻两对称轴间的距离，即周期，
所以，排除BD，
当时，代入，可得，满足题意，
代入，可得，不符合题意，故A正确C错误.故选：A
36．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
答案：B
解析：因为，
则向左平移个单位后得，故选：B.
37．（多选）已知函数，，则（ ）
A．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
B．将函数的图象右移个单位可得到函数的图象
C．函数与的图象关于直线对称
D．函数与的图象关于点对称
答案：ACD
解析：因为，
将函数的图象右移个单位可得到，
将函数的图象右移个单位可得到，故A正确，B错误；
由A选项可知，，
所以函数与的图象关于直线对称，故C正确；
若函数与的图象关于点对称，则在上取点关于的对称点必在上，所以，所以，故D正确.故选：ACD.
38．已知函数，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，且函数的最大值为6，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
答案：A
解析：，
将其图象上所有点横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变，得到，
再将图象向上平移个单位长度后得到函数的图象，
因为的最大值为6，所以，解得，故.故选：A．
题型6 三角函数综合应用
39．如图,在平面直角坐标系中,锐角和钝角的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边分别与单位圆交于A,B两点,且.
（1）求的值;（2）若点A的横坐标为,求的值.
答案：（1）; （2）.
解析：（1）依题意,,
所以.
（2）因点A的横坐标为,而点A在第一象限,则点,即有,,
于是得,,
,,
所以.
40．已知函数：
(1)函数的值域为；(2)若函数在区间上是减函数，求a的最大值？
答案：（1）; （2）.
解析：（1）因为.函数的值域为；
（2）由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，故a的最大值为。
41．已知函数.
(1)求的最小正周期；
(2)求的对称中心的坐标；
(3)求函数在的区间上的最大值和最小值
答案：(1)最小正周期(2)对称中心的坐标为，
(3)最大值为2，最小值为-1.
解析：(1)，
则的最小正周期，
(2)由，，得，，
即的对称中心的坐标为，.
(3)当时，，
则当时，函数取得最大值，最大值为，
当时，函数取得最小值，最小值为.
42．已知函数(，，)的部分图象如图所示.
(1)求的解析式；
(2)若，求的值.
答案：(1) (2)
解析：(1)由题意可得，，则.
因为，且，所以，则.
因为，所以，
所以，解得，
因为，所以.
故.
(2)由(1)可得，则.
故
43．已知函数在区间上的最大值6．
(1)求b的值; (2)求在的对称轴方程; (3)求在的单调递增区间．
答案：（1） （2）, （3）,
解析：（1）,
因为,所以,所以当时,函数取到最大值,即,解得;
（2）函数的对称轴方程满足,,解得,;
（3）函数的单调递增区间满足,,解得,,
所以函数的单调递增区间为,．
44．已知函数（其中，）的最小正周期是，点是函数图象的一个对称中心.
（1）求的解析式； （2）求的单调区间； （3）求函数在区间上的取值范围.
答案：（1）（2）增区间是，，无减区间（3）
解析：（1）由于的最小正周期为，
所以，即，所以，由于点是函数图象的一个对称中心，
所以，，则，.由于，所以，所以.
（2）由，，解得，，
所以的增区间是，，无减区间.
（3）因为，所以，
所以函数在区间上的取值范围为.
45．已知函数.
(1)求函数的单调递减区间；
(2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位，得到函数的图象，若，且，求的值.
答案：(1)； (2)
解析：（1）
.
由，
解得
即时，函数单调递减，
所以函数的单调递减区间为；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），
则得到函数的图象，再向右平移个单位，得到函数的图象，
所以.
若，则，.
由，得，又，
所以，则，
故
.
故的值为.