选择必修第二册 第五章 5.3.2 函数的极值与最大（小）值 1.函数的极值 课件(共27张PPT)

(共27张PPT)
选择必修
第五章 一元函数的导数及其应用
5.3 导数的在研究函数中的应用
5.3.2 函数的极值与最大（小）值
1.函数的极值
教学目标
学习目标 数学素养
1.了解函数极值的概念，会从几何方面直观理解函数极值与导数的关系． 1.几何直观素养和数学抽象素养.
2.掌握函数在某一点取取得极值的必要条件与充分条件． 2.数学抽象素养和逻辑思维素养.
3.掌握函数极值的判定及求法． 3.数学运算素养和逻辑思维素养.
温故知新
函数的单调性与导数的关系
一般地，函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系:
在某个区间(a, b)上, 如果f′(x)>0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递增;
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)<0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)上单调递减；
在某个区间(a, b)上, 如果f'(x)=0, 那么函数y=f(x)在区间(a, b)内为常函数.
如果f(x)在(a,b)内为增函数，则f′(x)≥0在(a,b)内恒成立；
如果f(x)在(a,b)内为减函数，则f′(x)≤0在(a,b)内恒成立.
如果函数在某些点处的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
知新探究
观察图(1), 我们发现, t=a时, 高台跳水运动员距水面的高度最大. 那么, 函数h(t)在此点的导数是多少呢 此点附近的图象有什么特点 相应地, 导数的符号有什么变化规律
单调递增
单调递减
h′(a)=0
t0
t>a,h'(t)<0
放大t=a附近的图象, 如图⑵所示.
O
t
a
b
h
图⑴
知新探究
由图可以看出, h′(a)=0; 在t=a的左右附近,
单调递增
单调递减
h′(a)=0
t0
t>a,h'(t)<0
放大t=a附近的图象, 如图⑵所示.
O
t
a
b
h
图⑴
当t0; 当t>a时，函数h(t)单调递减，h'(t)<0.
这就是说，在t=a附近，函数值先增后减，即当t在a的附近从小到大经过a时，h'(t)先正后负，且h'(t)连续变化，于是有h'(a)=0.
对于一般的函数y=f(x)，是否也有同样的性质呢
知新探究
以x=a, b两点为例，
如图，函数 y=f(x) 在 x=a, b, c, d, e 等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系 ？ y=f(x) 在这些点的导数值是多少？在这些点附近，y=f(x) 的导数的正负性有什么规律？
知新探究
函数f (x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f (x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
知新探究
f ′(a)=0
f ′(b)=0
知新探究
在x=a附近
左侧f ′(x)<0,
右侧f ′(x)>0
在x=b附近
左侧f ′(x)>0,
右侧f ′(x)<0
知新探究
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
知新探究
思考：函数的极大值一定大于极小值吗？
⑴极值反映了函数在某一点附近的大小情况刻画了函数的局部性质;
⑵ 一个函数在某区间上或定义域内的极大值或极小值可以不止一个；
⑶函数的极大值与极小值之间无确定的大小关系；
⑷函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点；
⑸单调函数一定没有极值.
知新探究
【例1】求函数f(x)=的极值.
解：
令f ′(x)=0，解得x=-2,或x=2
∵函数f(x)=，
∴f ′(x)＝x2-4=(x+2)(x-2),
当x=-1变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示．
∴函数f (x)=的图象如图所示．
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f ′(x) + 0 - 0 +
f (x) 单调递增 . 单调递减 - 单调递减
因此，当x=-2时，f (x)有极大值，并且极大值为f (-2)=.
当x=2时，f (x)有极小值，并且极小值为f (2)=.
x
y
O
-2
2
知新探究
即函数f(x)= x3是增函数，所以0不是函数f(x)= x3的极值点(如图).
导数为0的点不一定是函数的极值点.
例如：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2.虽然 f ′(0)=0，但无论x>0，还是x<0，恒有f ′(x)>0.
若 f ′(x0)=0 ，但 x0不一定是极值点．
f ′(x0)=0．
若x0是函数 f(x) 的极值点，
x0左右两侧导数异号.
导数值为0的点一定是函数的极值点吗
x
y
O
y＝x3
f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
知新探究
若函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大, 且在点x=b附近的左侧f′(x)>0 (单增), 右侧f′(x)<0 (单减), f′(b)=0, 我们把b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值. 如图(2).
若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小, 且在点x=a附近的左侧f′(x)<0 (单减), 右侧f′(x)>0 (单增), f′(a)=0, 我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值. 如图(1).
(1)
b
(2)
知新探究
⑴如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值：
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时：
⑵如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
＋
－
x0
－
＋
x0
初试身手
函数f (x)定义域为(0，＋∞)，且f ′(x)＝.
1.求函数f (x)＝的极值.
解：
令f ′(x)=0，解得x=e,
当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表所示:
因此， x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f (e)＝，没有极小值.
x (0, e) e (e, +∞)
f ′(x) + 0 -
f (x) 单调递增 . 单调递减
知新探究
【例2】已知函数y＝f(x)，其导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)( )
A．在(－∞，0)上单调递减
B．在x＝0处取极小值
C．在(4，＋∞)上单调递减
D．在x＝2处取极大值
解：
由导函数的图象可知：
当x∈(－∞，0)∪(2,4)时，f′(x)>0；当x∈(0,2)∪(4，＋∞)时，f′(x)<0，
因此f(x)在(－∞，0)，(2,4)上单调递增，在(0,2)，(4，＋∞)上单调递减，
∴函数f(x)在x＝0处取得极大值，x＝2处取得极小值，x＝4处取得极大值，
因此选C.
知新探究
解决函数极值与函数、导函数图象的关系问题时，应注意：
⑴对于导函数的图象，重点考查导函数的值在哪个区间上为正，在哪个区间上为负，图象在哪个点处与x轴相交，在交点附近导函数的值是怎样变化的；
⑵对于函数的图象，重点考查函数在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减，哪个点是极大值点，哪个点是极小值点．
初试身手
观察函数y＝xf′(x)的图象可以发现，
2.(多选)已知函数y＝xf′(x)的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
A.函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增
B.函数f(x)在区间(－1,1)上无单调性
C.函数f(x)在x＝－处取得极大值
D.函数f(x)在x＝1处取得极小值
解：
当x∈(1，＋∞)时，xf′(x)>0，于是f′(x)>0，故函数f(x)在区间(1，＋∞)上单调递增，A正确；
当x∈(－1,0)时，xf′(x)>0，于是f′(x)<0;当x∈(0,1)时，xf′(x)<0，于是f′(x)<0，
故函数f(x)在区间(－1,1)上单调递减，B，C错误；
由于f(x)在区间(0,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增，
∴函数f(x)在x＝1处取得极小值，故D正确．
故选AD.
知新探究
【例3】已知函数f(x)=x-alnx(a∈R) ,求函数f(x)的极值.
解：
由题意可知f′(x)＝1-(x>0)，
⑴当a≤0 时，f′(x)>0,
∴函数f(x)为(0,+∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
⑵当a>0时，令f′(x)=0, 解得x=a,
∴函数f(x)在x=a处取得极小值，且极小值为f(a)=a-alna,无极大值.
又当x∈(0,a) 时 ，f'(x)<0;当x∈(a,+∞)时 ，f′(x)>0.
初试身手
∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.
3.已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有极值点，求实数a的取值范围.
解：
∴实数a的取值范围为(-∞.1)
变式探究1 已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1有一正一负两个极值点，求实数a的取值范围.
由题意知方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根，设为x1，x2，
由已知得f′(x)＝x2－2x＋a
由题意知，方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，
则x1x2＝a<0，即
故实数a的取值范围是(－∞，0).
知新探究
解：
则有Δ＝(－4)2－4×3a×1≤0.
∵f(x)在(－∞，＋∞)上无极值点，
∴则f(x)在(－∞，＋∞)上是单调函数.
即f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0或f′(x)＝3ax2－4x＋1≤0恒成立.
∴f′(x)＝3ax2－4x＋1≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
∵a>0，
解得a≥.
∴实数a的取值范围为[，∞).
变式探究2 已知函数f(x)=ax3－2x2＋x＋c(a>0)在(－∞，＋∞)上无极值点，求实数a的取值范围.
课堂小结
1.函数极值的概念
2.函数极值的求法
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值； b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).
⑴如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时：
⑵如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
作业布置
作业： P89 练习 第2,3题
P98 习题5.3 第4,5题
补充：
1.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，函 数y =(x+1)f'(x)(x∈R) 的图象如图所示，下列说法错误的是( ).
A.-1是 f(x)的零点 B.2是f(x)的极大值点
C.f(x) 在区间(—2,—1)上单调递减 D.f(x) 在区间[—2,2]上不存在极小值
2.设函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx，在x＝1和x＝－1处有极值，且f(1)＝－1，求a，b，c的值，并求出相应的极值．
3.已知函数f(x)＝－x(lnx－1)有两个不同的极值点，求实数a的取值范围．
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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