浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题
一、选择题（每题5分,30分）
1．（2022·宁海）若对任何实数x，不等式都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·宁海）如图，将正方形对折后展开（图（4）是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能哆得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
3．（2022·宁海）已知，则最小值是（ ）
A．6 B．3 C．-3 D．0
4．（2022·宁海）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
5．（2022·宁海）如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2022·宁海）若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题5分，共30分）
7．（2022·宁海）如图，在中，点E在边AD上，以BE为折痕，将向上翻折，点A正好落在CD上的点F处.若的周长为的周长为17，则FC的长为
8．（2022·宁海）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点在矩形ABCD内.若，四边形AEPH的面积则四边形PFCG的面积为 .
9．（2022·宁海）从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是 。
10．（2022·宁海）如图所示，在矩形ABCD中，是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，沿直线EF翻折到，连结.当最短时，则
11．（2022·宁海）已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 .
12．（2022·宁海）如图，点坐标为，点的坐标为的半径为，点在上运动，则的最小值为 。
三、解答题（共5小题,共60分）
13．（2022·宁海）如图，AB是的直径，，求的值。
14．（2022·宁海）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
15．（2022·宁海）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的"妙点".
（1）①若点是边长为4的等边内部一个"妙点"，则 ；
②在平面上，等边共有 个"妙点"；
（2）在中，是的一个"妙点"，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：
=|x+1|+|x-5|
当x≤-1时， x+1≤0， x-5<0，
∴原式=-(x+1)-(x-5)=-x-1-x+5=-2x+4≥6；
当-10， x-5<0，
∴原式=x+1-(x-5)=x+1-x+5=6；
当x≥5时， x+1>0， x--5≥0，
∴原式=x+1+x-5=2x-4≥6；
∵对任何实数x，不等式
都成立，
∴a≤6，
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据不等式的性质进行计算即可.
2．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 且
∴m、n是关于x的方程； 的两个根，
，
∴当 时， 取最小值，
的最小值，
故答案为：A.
【分析】由题意可知m、 n是关于x的方程 的两个根，根据根与系数的关系可得出 2a、 mn = 2， 将其代入 中即可求出结论.
4．【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
5．【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴ac= -bd，
∴ab+ cd
= ac· bc+ ad· bd+ ac· ad+ bc· bd
=-bd· bc+ ad· bd+(-bd)· ad+ bc· bd
=0；
∴ac=-bd，
=
∵只有当d =±c或a =±b时，
即只有当d=±c或a=±b时，
∴ad+ bc=0不成立.
综上所述，有2个命题正确.
故答案为：C.
【分析】解题题目条件，利用整式的乘法计算，逐项判断即可解题.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵过点P(1，0)， Q(2，0)， R(4，0)， S(8，0)作四条直线构成一个正方形，
∴过P点的直线，必和过Q、R、S的直线中的一条平行，与另外两条垂直，
当过点P的直线与过点Q的直线平行，与过点R的直线和过点S的直线垂直时，
如图1
过点C作x轴的平行线交直线AB于点M，交直线AD于点N，
设∠BPQ=α，
∵P(1，0)， Q(2，0)， R(4，0)， S(8，0)，
∴PQ =1， RS =4，
在Rt△BCM中， MC=PQ =1，
∴BC=sinα，
在Rt△CDN中， CN =4，
∴CD=4cosα，
∵BC=CD，
∴sinα=4cosα，
∴tanα=4，
；
同理可求，当直线PA的过R的直线平行时，正方形ABCD的面积S为
当直线PA和过S的直线平行时，正方形ABCD的面积S为
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形的面积.
7．【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC， AB=DC；
由题意得： AE= FE， AB = BF；
∵△FDE的周长为5， △FCB的周长为17，
∴DE+DF+EF=5， CF+BC+BF=17，
∴(DE+EA)+(DF+CF)+BC+AB=22，
即2(AB+BC)=22，
∴AB+BC =11， 即BF+BC =11；
∴FC=17-11=6，
故答案为：6.
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB+BC=11，此为解题的关键性结论； 运用△FCB的周长为17，求出FC的长，即可解决问题.
8．【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AP， CP， 设 在AH边上的高为x， 在AE边上的高为y.
则 在CF边上的高为 在CG边上的高为
，
∴
，
故答案为：8.
【分析】首先连接AP，CP. 把该四边形分解为三角形进行解答. 设 在AH边上的高为x， 在AE边上的高为y. 得出/ . 然后得出根据题意可求解.
9．【答案】0.25
【知识点】概率公式
【解析】【解答】从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数共有24种情况，
设一元二次方程为ax2+bx+c=0，要使其有根必须b2-4ac≥0，
所以满足构作的一元二次方程有实根的情况数（以此代表a，b，c）有
①1，3，2；②2，3，1；③1，4，2；④1，4，3；⑤2，4，1；⑥3，4，1共6种，
∴构作的一元二次方程有实根的概率是 =0.25．
【分析】4选3，共有24种情况，要使b2-4ac≥0的情况有6种 ，概率为0.25.
10．【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．【答案】（3，7）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2x+4=(x-1)2+3，可看成y=x2向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，
由抛物线标准方程2py=x2可得y=x2的焦点F1（0，），准线l1：y=-，
故抛物线y=x2-2x+4的焦点为（1，）即为F点，准线l：y=，
如图，A、F为定点， 当周长最小时，即PA+PF最小，
F为抛物线焦点，则PF等于P到准线l的距离PQ，
当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标y=32-2×3+4=7，故点P坐标为（3，7）
故答案为：（3，7）.
【分析】将抛物线y=x2-2x+4化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到y=x2-2x+4的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即PA+PF最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标.
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
在取点P，使得∠CBP=∠CAB，连接OP，OB，
则，
，
，
，
，
∴B点运动至CA左下方时有最小值
设直线的解析式为代入C(2，5)、A(7，0)，
则，解得，
，
设 ，
，
，
∴P(3，4)，
，
最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在取点P，使得∠CBP=∠CAB，连接OP，OB，则有，根据相似三角形的性质得到，然后根据三角形三边的关系得到，然后求出直线的解析式，根据CP长求出点P的坐标即可解题.
13．【答案】解：如图，连接AD，DE，
∵
∴
∵AB是直径，
∴
∴
∵
∴
∴
即
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接AD，DE，然后根据等弧得到然后根据勾股定理求出AD长，然后证明即可解题.
14．【答案】（1）证明： (1) ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）解：，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作 ，交CD延长线于点H，
设 则
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
(舍去) ，)
∴CD的长度1.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1) 由“对垂四边形”的定义得出， 则
，由勾股定理得 即可得出结论；
(2) 由三角形内角和定理可得 由角的数量关系可得 可得 可得结论；
(3) 过点A作 交CD延长线于点H，设 则 由“对垂四边形”的定义可得 由直角三角形的性质可求 由勾股定理可求解.
15．【答案】（1）；10
（2）解：第一种：如图①或图②，
第二种：如图③， 第三种：如图④， 第四种：如图⑤，
以上共四种：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
1 / 1浙江省宁波市宁海县2022年自主招生考试数学试题
一、选择题（每题5分,30分）
1．（2022·宁海）若对任何实数x，不等式都成立，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的性质与化简；解含绝对值的一元一次不等式
【解析】【解答】解：
=|x+1|+|x-5|
当x≤-1时， x+1≤0， x-5<0，
∴原式=-(x+1)-(x-5)=-x-1-x+5=-2x+4≥6；
当-10， x-5<0，
∴原式=x+1-(x-5)=x+1-x+5=6；
当x≥5时， x+1>0， x--5≥0，
∴原式=x+1+x-5=2x-4≥6；
∵对任何实数x，不等式
都成立，
∴a≤6，
故答案为：B.
【分析】先根据二次根式的性质进行计算，再根据不等式的性质进行计算即可.
2．（2022·宁海）如图，将正方形对折后展开（图（4）是连续两次对折后再展开），再按图示方法折叠，能哆得到一个直角三角形，且它的一条直角边等于斜边的一半.这样的图形有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形—边角关系
3．（2022·宁海）已知，则最小值是（ ）
A．6 B．3 C．-3 D．0
【答案】A
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值
【解析】【解答】解： 且
∴m、n是关于x的方程； 的两个根，
，
∴当 时， 取最小值，
的最小值，
故答案为：A.
【分析】由题意可知m、 n是关于x的方程 的两个根，根据根与系数的关系可得出 2a、 mn = 2， 将其代入 中即可求出结论.
4．（2022·宁海）如图，AD为等边△ABC的高，E、F分别为线段AD、AC上的动点，且AE＝CF，当BF＋CE取得最小值时，∠AFB＝
A．112.5° B．105° C．90° D．82.5°
【答案】B
【知识点】两点之间线段最短；三角形的外角性质；等边三角形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：如图，作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，
∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴AC＝BC，∠DAC＝30°，
∴AC＝CH，
∵∠BCH＝90°，∠ACB＝60°，
∴∠ACH＝90°﹣60°＝30°，
∴∠DAC＝∠ACH＝30°，
∵AE＝CF，
∴△AEC≌△CFH，
∴CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，
∴当F为AC与BH的交点时，如图2，BF+CE的值最小，
此时∠FBC＝45°，∠FCB＝60°，
∴∠AFB＝105°.
故答案为：B.
【分析】作CH⊥BC，且CH＝BC，连接BH交AD于M，连接FH，证出△AEC≌△CFH，得出CE＝FH，BF+CE＝BF+FH，从而得出当F为AC与BH的交点时，BF+CE的值最小，再利用三角形外角性质得出∠AFB＝∠FBC+∠FCB，即可得出答案.
5．（2022·宁海）如果a，b，c，d都是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），则一定成立的命题个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】多项式乘多项式
【解析】【解答】解：
∴ac= -bd，
∴ab+ cd
= ac· bc+ ad· bd+ ac· ad+ bc· bd
=-bd· bc+ ad· bd+(-bd)· ad+ bc· bd
=0；
∴ac=-bd，
=
∵只有当d =±c或a =±b时，
即只有当d=±c或a=±b时，
∴ad+ bc=0不成立.
综上所述，有2个命题正确.
故答案为：C.
【分析】解题题目条件，利用整式的乘法计算，逐项判断即可解题.
6．（2022·宁海）若过点作四条直线构成一个正方形，则该正方形的面积不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形—边角关系；解直角三角形—面积关系
【解析】【解答】解：∵过点P(1，0)， Q(2，0)， R(4，0)， S(8，0)作四条直线构成一个正方形，
∴过P点的直线，必和过Q、R、S的直线中的一条平行，与另外两条垂直，
当过点P的直线与过点Q的直线平行，与过点R的直线和过点S的直线垂直时，
如图1
过点C作x轴的平行线交直线AB于点M，交直线AD于点N，
设∠BPQ=α，
∵P(1，0)， Q(2，0)， R(4，0)， S(8，0)，
∴PQ =1， RS =4，
在Rt△BCM中， MC=PQ =1，
∴BC=sinα，
在Rt△CDN中， CN =4，
∴CD=4cosα，
∵BC=CD，
∴sinα=4cosα，
∴tanα=4，
；
同理可求，当直线PA的过R的直线平行时，正方形ABCD的面积S为
当直线PA和过S的直线平行时，正方形ABCD的面积S为
故答案为：C.
【分析】根据题意画出图形，由图形和同角三角函数的基本关系求出正方形的面积.
二、填空题（每题5分，共30分）
7．（2022·宁海）如图，在中，点E在边AD上，以BE为折痕，将向上翻折，点A正好落在CD上的点F处.若的周长为的周长为17，则FC的长为
【答案】6
【知识点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC， AB=DC；
由题意得： AE= FE， AB = BF；
∵△FDE的周长为5， △FCB的周长为17，
∴DE+DF+EF=5， CF+BC+BF=17，
∴(DE+EA)+(DF+CF)+BC+AB=22，
即2(AB+BC)=22，
∴AB+BC =11， 即BF+BC =11；
∴FC=17-11=6，
故答案为：6.
【分析】根据翻折变换的性质、平行四边形的性质证明AB+BC=11，此为解题的关键性结论； 运用△FCB的周长为17，求出FC的长，即可解决问题.
8．（2022·宁海）如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点在矩形ABCD内.若，四边形AEPH的面积则四边形PFCG的面积为 .
【答案】8
【知识点】三角形的面积；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接AP， CP， 设 在AH边上的高为x， 在AE边上的高为y.
则 在CF边上的高为 在CG边上的高为
，
∴
，
故答案为：8.
【分析】首先连接AP，CP. 把该四边形分解为三角形进行解答. 设 在AH边上的高为x， 在AE边上的高为y. 得出/ . 然后得出根据题意可求解.
9．（2022·宁海）从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数，则构作的一元二次方程有实根的概率是 。
【答案】0.25
【知识点】概率公式
【解析】【解答】从1，2，3，4中任取3个数，作为一个一元二次方程的系数共有24种情况，
设一元二次方程为ax2+bx+c=0，要使其有根必须b2-4ac≥0，
所以满足构作的一元二次方程有实根的情况数（以此代表a，b，c）有
①1，3，2；②2，3，1；③1，4，2；④1，4，3；⑤2，4，1；⑥3，4，1共6种，
∴构作的一元二次方程有实根的概率是 =0.25．
【分析】4选3，共有24种情况，要使b2-4ac≥0的情况有6种 ，概率为0.25.
10．（2022·宁海）如图所示，在矩形ABCD中，是线段AB的中点，F是线段BC上的动点，沿直线EF翻折到，连结.当最短时，则
【答案】
【知识点】翻折变换（折叠问题）；圆-动点问题；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
11．（2022·宁海）已知点与点，点在抛物线上运动，当周长最小时，点P的坐标是 .
【答案】（3，7）
【知识点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：y=x2-2x+4=(x-1)2+3，可看成y=x2向右平移1个单位，向上平移3个单位得到，
由抛物线标准方程2py=x2可得y=x2的焦点F1（0，），准线l1：y=-，
故抛物线y=x2-2x+4的焦点为（1，）即为F点，准线l：y=，
如图，A、F为定点， 当周长最小时，即PA+PF最小，
F为抛物线焦点，则PF等于P到准线l的距离PQ，
当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，此时P的横坐标与A的横坐标相同，为3，代入抛物线得纵坐标y=32-2×3+4=7，故点P坐标为（3，7）
故答案为：（3，7）.
【分析】将抛物线y=x2-2x+4化成顶点式，结合抛物线标准方程的焦点及平移规律得到y=x2-2x+4的焦点坐标，正好是题目中的F点，结合图象，当周长最小时，即PA+PF最小，根据抛物线上点到焦点的距离等于该点到准线的距离，可知当APQ处于同一条直线上时，PA+PF最小，从而得到P点横坐标等于A的横坐标，进而求得P点坐标.
12．（2022·宁海）如图，点坐标为，点的坐标为的半径为，点在上运动，则的最小值为 。
【答案】5
【知识点】勾股定理；圆-动点问题；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：
在取点P，使得∠CBP=∠CAB，连接OP，OB，
则，
，
，
，
，
∴B点运动至CA左下方时有最小值
设直线的解析式为代入C(2，5)、A(7，0)，
则，解得，
，
设 ，
，
，
∴P(3，4)，
，
最小值为5，
故答案为：5.
【分析】在取点P，使得∠CBP=∠CAB，连接OP，OB，则有，根据相似三角形的性质得到，然后根据三角形三边的关系得到，然后求出直线的解析式，根据CP长求出点P的坐标即可解题.
三、解答题（共5小题,共60分）
13．（2022·宁海）如图，AB是的直径，，求的值。
【答案】解：如图，连接AD，DE，
∵
∴
∵AB是直径，
∴
∴
∵
∴
∴
即
【知识点】解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】连接AD，DE，然后根据等弧得到然后根据勾股定理求出AD长，然后证明即可解题.
14．（2022·宁海）我们定义：对角线互相垂直的四边形叫做"对垂四边形".
（1）如图1，四边形ABCD为"对垂四边形".求证：.
（2）如图2，是四边形ABCD内一点，连接AE，BE，CE和DE，AC与BD交于点.若.求证：四边形ABCD为“对垂四边形”
（3）如图，四边形ABCD为"对垂四边形"，，，求CD的长.
【答案】（1）证明： (1) ∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
由勾股定理得，
（2）解：，
∴四边形ABCD为“对垂四边形”；
（3）解：过点A作 ，交CD延长线于点H，
设 则
∵四边形ABCD为“对垂四边形”，
(舍去) ，)
∴CD的长度1.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】(1) 由“对垂四边形”的定义得出， 则
，由勾股定理得 即可得出结论；
(2) 由三角形内角和定理可得 由角的数量关系可得 可得 可得结论；
(3) 过点A作 交CD延长线于点H，设 则 由“对垂四边形”的定义可得 由直角三角形的性质可求 由勾股定理可求解.
15．（2022·宁海）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的"妙点".
（1）①若点是边长为4的等边内部一个"妙点"，则 ；
②在平面上，等边共有 个"妙点"；
（2）在中，是的一个"妙点"，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形.
【答案】（1）；10
（2）解：第一种：如图①或图②，
第二种：如图③， 第三种：如图④， 第四种：如图⑤，
以上共四种：
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；勾股定理
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