5.1 圆（学案，带答案）
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5.1 圆（学案，带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆的定义
1.描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的端点O 旋转一周，另一个端点 A 所描出的封闭曲线是_________，其中点 O是________,线段OA 是_______.
2.集合性定义：平面内到定点的距离等于__________的所有点组成的图形叫做圆.定点称为__________，定长称为___________.以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”.
注意
(1)由圆的定义知“圆”是指“圆周”，即封闭的曲线，而不是曲线围成的面.同一个圆的半径相等.
(2)确定圆的要素有两个：圆心和半径.圆心确定其位置，半径确定其大小.
知识点2 等圆
______________的两个圆叫做等圆.两个等圆能够重合.
知识点3 平面内的点与圆的位置关系
平面内的点与圆有三种位置关系：(1)点在圆内；(2)点在圆上；(3)点在圆外.
设⊙O的半径为r，点A 到圆心O 的距离为d，对应关系如表所示：
点与圆的位置关系 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外
图形
数量关系
知识点4 圆的内部与圆的外部
圆的内部可以看作到圆心的距离______半径的点的集合；圆的外部可以看作到圆心的距离________半径的点的集合.
明考点·识方法
考点1 点与圆的位置关系
典例1 如图，在△ABC 中, AB=5,BC=4.以点 A 为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路导析 先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外”可得,由此即可得出答案.
规律总结
由点与圆的位置关系，可以确定点到圆心的距离d与半径r的数量关系.反过来，已知点到圆心的距离d与半径r的数量关系，也可以确定该点与圆的位置关系，即：
点 A 在圆内 r＞d;
点 A 在圆上 r＝d;
点 A 在圆外 r＜d.
变式 在△ABC中,以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是 ( )
A.点A在圆C外，点 B在圆C上 B.点A 在圆C上,点 B在圆C内
C.点A在圆C外，点 B在圆C内 D.点A,B都在圆C外
典例2 在如图所示的矩形 ABCD 中，如果OA,OB,OC,OD的中点分别为点 E,F,G,H.
求证：E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
思路导析 根据圆的定义，要证明 E，F，G，H四个点在以点O 为圆心的同一个圆上，只需证明即可.
注意
要证明几个点在同一个圆上，只需证明这些点到某个定点的距离相等即可.
变式 如图所示，在 中,CE,BD分别是AB,AC边上的高.求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
考点2 圆中常用辅助线——连半径
典例3 如图所示，已知CD 是⊙O的直径，AE交⊙O于点 B,且 OC.求 的度数.
思路导析 连接OB，由圆的半径都相等，可得根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质计算即可.
注意
求顶点在圆外的角，通常作圆的半径，将角转化到圆内，再利用“同圆的半径相等”来求解问题.
变式 如图，半圆O 的直径 半径点 D 为弧AC 上一点,DE⊥OC,DF⊥OA,垂足分别为点 E,F,求 EF 的长.
当堂测·夯基础
1.点 P 到⊙O的最近点的距离为 2cm ，最远点的距离为7 cm,则⊙O的半径是 ( )
A.5 cm 或9 cm B.2.5 cm C.4.5 cm D.2.5 cm 或4.5 cm
2.已知⊙O的半径为r，点 P 到圆心O的距离
(1)若 ,则点 P 在___________;
(2)若 ，则点 P 在圆上；
(3)若r _________,则点 P 在⊙O外;
(4)若点 P 在⊙O内,则⊙O的半径r的取值范围是___________.
3.如图,已知矩形 ABCD的边. 4,若以点 A 为圆心画⊙A.
(1)使点 B 在⊙A内,点 D 在⊙A 外,则⊙A 的半径r的取值范围是__________；
(2)使点 B,C,D 中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_____________.
4.如图,将⊙O的弦AB、半径OC 延长,相交于点 D， 若 求的度数.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1.圆 圆心 半径 2.定长 圆心 半径
知识点2 半径相等
知识点 3 r＞d r＝d r＜d
知识点4 小于 大于
【明考点·识方法】
典例1 C
变式 C
典例2 证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
又∵点 E,F,G,H 分别为OA,OB,OC,OD的中点，
∴OE=OF=OG=OH,
∴E，F，G，H 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.
变式 证明：如图所示，取BC 的中点F，连接 DF,EF.
∵BD,CE 是 的高，∴△BCD 和 都是直角三角形.
∵DF,EF 分别为 和Rt△BCE斜边上的中线，
∴E,B,C,D 四点在以点 F 为圆心, 为半径的圆上.
典例3 解：如图所示，连接OB.
∵OC=AB,OC=OB,∴OB=AB,∴∠A=∠BOC,∴∠OBE=2∠A.
又∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE=2∠A,
∴∠EOD =∠OEB+∠A=3∠A=72°,∴∠A=24°.
变式 解：连接OD.
∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥OA,∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°,
∴四边形 DEOF 是矩形，∴EF=OD.
∵AB=8,
【当堂测·夯基础】
1. D
2.(1)⊙O内 (2)5 (3)＜5 (4)r＞5
3.(1)3＜r＜4 (2)3＜r＜5
解析:(1)∵AB=3,AD=4.若以点 A 为圆心画⊙A，使点 B 在⊙A 内,点 D 在⊙A外，则半径的长为3＜r＜4;
(2)连接AC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4,∠B=90°.
在 Rt△ABC中,
∵AB=3,AD=4,AC=5,若以点A 为圆心画⊙A,使点 B,C,D中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3＜r＜5.
4.解:连接OB,
∵BD=OA,OA=OB,∴OB=BD,∴∠BOD=∠D,∴∠OBA=2∠D,
又∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=2∠D,
在△AOD 中,∠A +∠AOD+∠D =180°,
即3∠D+105°=180°,解得∠D=25°.
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5.1 圆（学案，带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆的定义
1.描述性定义：在平面内，线段OA 绕它固定的端点O 旋转一周，另一个端点 A 所描出的封闭曲线是_________，其中点 O是________,线段OA 是_______.
2.集合性定义：平面内到定点的距离等于__________的所有点组成的图形叫做圆.定点称为__________，定长称为___________.以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”.
注意
(1)由圆的定义知“圆”是指“圆周”，即封闭的曲线，而不是曲线围成的面.同一个圆的半径相等.
(2)确定圆的要素有两个：圆心和半径.圆心确定其位置，半径确定其大小.
知识点2 等圆
______________的两个圆叫做等圆.两个等圆能够重合.
知识点3 平面内的点与圆的位置关系
平面内的点与圆有三种位置关系：(1)点在圆内；(2)点在圆上；(3)点在圆外.
设⊙O的半径为r，点A 到圆心O 的距离为d，对应关系如表所示：
点与圆的位置关系 点A在圆内 点A在圆上 点A在圆外
图形
数量关系
知识点4 圆的内部与圆的外部
圆的内部可以看作到圆心的距离______半径的点的集合；圆的外部可以看作到圆心的距离________半径的点的集合.
明考点·识方法
考点1 点与圆的位置关系
典例1 如图，在△ABC 中, AB=5,BC=4.以点 A 为圆心，r为半径作圆，当点C在⊙A 内且点 B 在⊙A 外时，r的值可能是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
思路导析 先利用勾股定理可得AC=3，再根据“点C 在⊙A 内且点 B 在⊙A 外”可得,由此即可得出答案.
规律总结
由点与圆的位置关系，可以确定点到圆心的距离d与半径r的数量关系.反过来，已知点到圆心的距离d与半径r的数量关系，也可以确定该点与圆的位置关系，即：
点 A 在圆内 r＞d;
点 A 在圆上 r＝d;
点 A 在圆外 r＜d.
变式 在△ABC中,以点C为圆心，半径为6的圆记作圆C，那么下列说法正确的是 ( )
A.点A在圆C外，点 B在圆C上 B.点A 在圆C上,点 B在圆C内
C.点A在圆C外，点 B在圆C内 D.点A,B都在圆C外
典例2 在如图所示的矩形 ABCD 中，如果OA,OB,OC,OD的中点分别为点 E,F,G,H.
求证：E，F，G，H四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
思路导析 根据圆的定义，要证明 E，F，G，H四个点在以点O 为圆心的同一个圆上，只需证明即可.
注意
要证明几个点在同一个圆上，只需证明这些点到某个定点的距离相等即可.
变式 如图所示，在 中,CE,BD分别是AB,AC边上的高.求证:B,C,D,E四点在同一个圆上.
考点2 圆中常用辅助线——连半径
典例3 如图所示，已知CD 是⊙O的直径，AE交⊙O于点 B,且 OC.求 的度数.
思路导析 连接OB，由圆的半径都相等，可得根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质计算即可.
注意
求顶点在圆外的角，通常作圆的半径，将角转化到圆内，再利用“同圆的半径相等”来求解问题.
变式 如图，半圆O 的直径 半径点 D 为弧AC 上一点,DE⊥OC,DF⊥OA,垂足分别为点 E,F,求 EF 的长.
当堂测·夯基础
1.点 P 到⊙O的最近点的距离为 2cm ，最远点的距离为7 cm,则⊙O的半径是 ( )
A.5 cm 或9 cm B.2.5 cm C.4.5 cm D.2.5 cm 或4.5 cm
2.已知⊙O的半径为r，点 P 到圆心O的距离
(1)若 ,则点 P 在___________;
(2)若 ，则点 P 在圆上；
(3)若r _________,则点 P 在⊙O外;
(4)若点 P 在⊙O内,则⊙O的半径r的取值范围是___________.
3.如图,已知矩形 ABCD的边. 4,若以点 A 为圆心画⊙A.
(1)使点 B 在⊙A内,点 D 在⊙A 外,则⊙A 的半径r的取值范围是__________；
(2)使点 B,C,D 中至少有一点在⊙A内，且至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_____________.
4.如图,将⊙O的弦AB、半径OC 延长,相交于点 D， 若 求的度数.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 1.圆 圆心 半径 2.定长 圆心 半径
知识点2 半径相等
知识点 3 r＞d r＝d r＜d
知识点4 小于 大于
【明考点·识方法】
典例1 C
变式 C
典例2 证明:∵四边形 ABCD 是矩形,
又∵点 E,F,G,H 分别为OA,OB,OC,OD的中点，
∴OE=OF=OG=OH,
∴E，F，G，H 四个点在以点O 为圆心的同一个圆上.
变式 证明：如图所示，取BC 的中点F，连接 DF,EF.
∵BD,CE 是 的高，∴△BCD 和 都是直角三角形.
∵DF,EF 分别为 和Rt△BCE斜边上的中线，
∴E,B,C,D 四点在以点 F 为圆心, 为半径的圆上.
典例3 解：如图所示，连接OB.
∵OC=AB,OC=OB,∴OB=AB,∴∠A=∠BOC,∴∠OBE=2∠A.
又∵OE=OB,∴∠OEB=∠OBE=2∠A,
∴∠EOD =∠OEB+∠A=3∠A=72°,∴∠A=24°.
变式 解：连接OD.
∵OC⊥AB,DE⊥OC,DF⊥OA,∴∠AOC=∠DEO=∠DFO=90°,
∴四边形 DEOF 是矩形，∴EF=OD.
∵AB=8,
【当堂测·夯基础】
1. D
2.(1)⊙O内 (2)5 (3)＜5 (4)r＞5
3.(1)3＜r＜4 (2)3＜r＜5
解析:(1)∵AB=3,AD=4.若以点 A 为圆心画⊙A，使点 B 在⊙A 内,点 D 在⊙A外，则半径的长为3＜r＜4;
(2)连接AC.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD=BC=4,∠B=90°.
在 Rt△ABC中,
∵AB=3,AD=4,AC=5,若以点A 为圆心画⊙A,使点 B,C,D中至少有一点在⊙A 内，且至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是3＜r＜5.
4.解:连接OB,
∵BD=OA,OA=OB,∴OB=BD,∴∠BOD=∠D,∴∠OBA=2∠D,
又∵OA=OB,∴∠A=∠OBA=2∠D,
在△AOD 中,∠A +∠AOD+∠D =180°,
即3∠D+105°=180°,解得∠D=25°.
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