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5.3 垂径定理(学案带答案)
列清单·划重点
知识点1 垂径定理
__________弦的直径________这条弦,并且平分弦所对的_________.
符号语言:如图所示,∵直径 弦AB,垂足为点 M, __________,
知识点2 垂径定理的推论
平分弦(____________)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的___________.
符号语言:如图所示,∵直径 CD与非直径的弦 AB 交于点 M,且 AM= BM,__________.
注意
(1)因为圆的两条直径必互相平分,所以垂径定理的推论中,被平分的弦不能为直径,否则结论不一定成立.
(2)在圆中,解决有关弦的问题时,常常需要作“垂直于弦的直径”为辅助线,有时则只需要从圆心作弦的垂线段即可.
明考点·识方法
考点1 垂径定理及其推论
典例1 如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O到 AB 的距离 4,则⊙O的半径长为 ( )
A. 4 C. 5
思路导析 利用垂径定理,勾股定理求解即可.
规律总结
在圆中,解决有关弦的问题时,常利用半径、圆心到弦的垂线段和弦的一半构成的直角三角形来达到求解的目的.
变式 如图,△ABC的顶点都在⊙O上,OD⊥AB, OE⊥BC,OF⊥AC.垂足分别为点 D, E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为 21,则EF的长为 ( )
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
考点2 垂径定理的实际应用
典例2 陕西饮食文化源远流长,“老碗面”是陕西地方特色美食之一.图2是从正面看到的一个“老碗”(图1)的形状示意图. 是⊙O的一部分,D 是 的中点,连接OD,与弦AB 交于点 C,连接OA,OB. 已知 AB = 24 cm,碗深 CD =8 cm,则⊙O的半径OA 为 ( )
A.13 cm B.16 cm C.17 cm D.26 cm
思路导析 首先利用垂径定理的推论得出OD⊥AB,再设⊙O 的半径OA 为R cm,则OC=(R-8) cm.在 Rt△OAC 中根据勾股定理列出方程 求出R 即可.
变式1 “圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题:“今有圆材,埋在壁中,不知大小.以锯锯之,深一寸,锯道长一尺.问:径几何 ”转化为现在的数学语言表达就是:如图,CD 为⊙O的直径,弦 垂足为 E,CE=1 寸,AB=10寸,则直径CD的长度为_____________寸.
变式2 石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1),隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史,是我国古代石拱桥的代表.如图2 是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形,桥的主桥拱是圆弧形,表示为 桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26 m,设 所在圆的圆心为O,半径OC⊥AB,垂足为点 D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m,连接OB.
(1)直接判断AD与BD 的数量关系;
(2)求这座石拱桥主桥拱的半径.(精确到1 m)
当堂测·夯基础
1.如图,已知⊙O的半径为10,⊙O的一条弦AB=16,若⊙O内的一点P 恰好在AB 上,则线段OP 的长度为整数的值有 ( )
A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
第1题图 第2题图
2.一次综合实践主题为:只用一张矩形纸条和刻度尺,如何测量一次性纸杯杯口的直径 小聪同学所在的学习小组想到了如下方法:如图,将纸条拉直并紧贴杯口,纸条的上下边沿分别与杯口相交于A,B,C,D四点,然后利用刻度尺量得该纸条的宽为 7 cm,AB=8cm,CD=6 cm.请你帮忙计算纸杯的直径为 ( )
A. 5 cm B. 9.6 cm C. 10 cm D. 10.2 cm
3.日常生活中常见的装饰盘由圆盘和支架组成(如图1),它可以看作如图2 所示的几何图形.已知AC=BD=5 cm ,AC⊥CD,垂足为点 C,BD⊥CD,垂足为点 D,CD=16 cm,⊙O的半径r=10 cm,则圆盘离桌面 CD 最近的距离是 ( )
A.6 cm B.5 cm C.2 cm D.1 cm
4.如图,在墙壁中埋着一个未知半径的圆柱形木材,现用锯子去锯这个木材,锯口深锯道已知 则这根圆柱形木材的半径是 ( )
A. 20 B. 12 C. 10 D. 8
5.如图所示,⊙O的直径AB 和弦CD 相交于点E,求弦CD的长.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 垂直于 平分 两条弧
知识点2 不是直径 两条弧
【明考点·识方法】
典例1 B 变式 B
典例2 A 变式1 26
变式2 解:(1)∵OC⊥AB,
(2)设主桥拱的半径为 R m,
由题意,知
解得
答:这座石拱桥主桥拱的半径约为 19 m.
【当堂测·夯基础】
1. C 2. C 3. D 4. C
5.解:如图所示,作于点 F,连接OD.
2,
在 中,
在 中,
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