5.2 圆的对称性（学案带答案）
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5.2 圆的对称性（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是________________.
知识点2 圆的有关概念
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做___________，简称弧.弧用符号“⌒”表示，如图所示，以 A，B为端点的弧记作________,读作“圆弧AB”或“弧AB”.
2.弦：连接圆上任意两点的___________叫做弦.
3.直径：__________的弦叫做直径.在同一个圆中，直径是半径的_______倍，__________是圆中最长的弦.
4.等弧：在________中，能够重合的两条弧叫做等弧.等弧只能存在于同圆或等圆中.
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条等弧，每一条弧都叫做__________.
6.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做___________，优弧一般用三个字母表示(如图所示的小于半圆的弧叫做__________(如图所示的,).
注意
(1)直径是弦，但弦不一定是直径.
(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆.
(3)一个圆有无数条直径和半径，
(4)等弧存在的前提条件是在同圆或等圆中，半径不等的圆不存在等弧.
知识点3 圆的中心对称性
圆是__________图形，对称中心为_________.
圆既是_________对称图形又是_________对称图形.
知识点4 圆心角
________________的角叫做圆心角.
知识点5 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_________相等，所对的________相等.
2.推论：在同圆或等圆中，如果_________、__________、_________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图所示，下列三个等式: ①∠AOB = ∠COD;②AB=CD;③.若其中有一个等式成立，则其余两个等式也成立.
拓展
弦心距：圆心到该圆的任意一条弦的距离叫做弦心距.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦上的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.符号语言：如图所示，
①∵∠AOB=∠COD,
②∵AB=CD,
③∴AB=CD,∠AOB=∠COD,OE=OF;
④∵OE=OF,
注意
(1)在同圆或等圆中，如果弧不相等，那么弧所对的弦、圆心角也不相等，且长弧所对的圆心角较大.
(2)在同圆或等圆中，不能认为长弧所对的弦也较长.只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越长，其所对的弦越短.
知识点6 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
1.1°的弧：把整个圆等分成_____________份，每一份这样的弧叫做1°的弧.
弧的度数单位与角的度数单位是一致的.
2.圆心角的度数和它______________的度数相等.
符号语言：如图所示：
∵∠AOB 是 所对的圆心角， 的度数.
注意
由于圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，因而计算弧的度数时，常转化为计算它所对的圆心角的度数，故作弧所对的圆心角是一种常用辅助线.
明考点·识方法
考点1 圆的有关概念
典例1 下列说法中正确的是 ( )
A.长度相等的弧是等弧 B.优弧长度大于劣弧
C.直径是圆中最长的弦 D.同圆或等圆中的弦一定相等
思路导析 A.等弧是同圆或等圆中能够重合的弧，在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，不在同圆或等圆中不存在等弧，故A 错误；B.在同圆或等圆中，优弧长度一定大于劣弧长度，故B错误；D.同圆或等圆中的弦有无数条，不一定相等，故D 错误.只有C正确.
注意
直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦.
变式 下列语句中，正确的有 ( )
①相等的圆心角所对的弧相等
②等弦对等弧
③在同圆或等圆中，圆心角相等，则其所对的弦相等
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
典例2 如图，已知AB是⊙O的直径，P是AO上一点，点C，D在直径AB 两侧的圆周上，若PB平分 求证：劣弧 BC 与劣弧BD 相等.
思路导析 过点O分别作 垂足分别为点E，F，连接OC，OD，由角平分线性质得 根据已知条件，可证得 然后可证得 进而问题可求证.
变式 如图,AB,CD是⊙O的弦，且 若 则的度数为 ( )
考点3 圆心角与它所对的弧的度数的关系
典例3 如图所示，圆的一条弦AB 把圆分为度数比为1：5的两条弧，已知圆的半径为4,求弦AB 的长.
思路导析 由弦AB 所对的两条弧的度数比为1：5，可知 的度数为 60°，则 所以△AOB是等边三角形,得AB=AO=4.
变式 在半径为1 的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为_____________.
注意
由于弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，因而计算弧的度数时，常转化为求它所对的圆心角的度数.
当堂测·夯基础
1.下列说法正确的是 ( )
A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的弧相等
2.如图,已知在⊙O 中，BC是直径， 则下列结论不一定成立的是 ( )
D. O到AB,CD的距离相等
第2题图 第3题图
3.如图,半径为5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是若 则弦 BC 的长等于( )
A. 8 B. 10 C. 11 D. 12
4.如图,AB是⊙O的直径, 与 相等,∠COD=36°,则∠AOE 的度数是( )
A. 30° B. 36° C. 54° D. 72°
第4题图 第5题图
5.如图,点 A,B,C是⊙O 上的点, BC.若⊙O的半径为2,则四边形ABCO 的面积为 ( )
D.2
6.如图,在⊙O中, 若 则 AB 与 2CD 的大小关系为 ( )
D.无法确定
7.如图,在⊙O中, AB,CD 是直径, ∥且交圆于 E，求证：
8.如图，已知点C是⊙O的直径AB 上的一点,过点 C 作弦DE,使 CD=CO.若 的度数为35°，求 的度数.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 任意一条过圆心的直线
知识点2 1.圆弧 AB 2.线段 3.经过圆心 2 直径 4.同圆或等圆
5.半圆 6.优弧 劣弧
知识点3 中心对称 圆心 轴 中心
知识点4 顶点在圆心
知识点 5 1.弧 弦 2.两个圆心角 两条弧 两条弦
知识点 6 1.360 2.所对的弧
【明考点·识方法】
典例1 C
变式 B
典例2 证明：过点O分别作 OE⊥PC,OF⊥PD,垂足分别为点 E， F，连接OC,OD,如图所示:
∵PB平分∠CPD,∴OE=OF,∠CPB=∠DPB,
∵OC=OD,∠OEC=∠OFD=90°,∴Rt△EOC≌Rt△FOD(HL),∴∠C=∠D,
∴∠C+∠CPB=∠BOC=∠BOD=∠D+∠DPB,
变式 D
典例3 解：∵弦 AB 所对的两条弧的度数比是1:5,
的度数为∴∠AOB=60°.
又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4.
变式 90°或270°
解析：如图，⊙O的半径为1，弦 连接OA,OB,
∵OA=OB=1, ∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=90°,
∴弦AB 所对的弧的度数为90°或270°.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. B
7.证明:连接OE,
∵CE∥AB,∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,∴/C=/E,
8.解:如图,连接OD,OE,
的度数为35°，∴∠AOD=35°,
∵CD=CO,∴∠ODC=∠AOD=35°,
∵OD=OE,∴∠ODC=∠E=35°,∴∠DOE=110°,
∴∠AOE=75°,∴∠BOE=105°,∴BE 的度数是105°.
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5.2 圆的对称性（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆的轴对称性
圆是轴对称图形，其对称轴是________________.
知识点2 圆的有关概念
1.弧：圆上任意两点间的部分叫做___________，简称弧.弧用符号“⌒”表示，如图所示，以 A，B为端点的弧记作________,读作“圆弧AB”或“弧AB”.
2.弦：连接圆上任意两点的___________叫做弦.
3.直径：__________的弦叫做直径.在同一个圆中，直径是半径的_______倍，__________是圆中最长的弦.
4.等弧：在________中，能够重合的两条弧叫做等弧.等弧只能存在于同圆或等圆中.
5.半圆：圆的任意一条直径的两个端点将圆分成两条等弧，每一条弧都叫做__________.
6.优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做___________，优弧一般用三个字母表示(如图所示的小于半圆的弧叫做__________(如图所示的,).
注意
(1)直径是弦，但弦不一定是直径.
(2)半圆是弧，但弧不一定是半圆.
(3)一个圆有无数条直径和半径，
(4)等弧存在的前提条件是在同圆或等圆中，半径不等的圆不存在等弧.
知识点3 圆的中心对称性
圆是__________图形，对称中心为_________.
圆既是_________对称图形又是_________对称图形.
知识点4 圆心角
________________的角叫做圆心角.
知识点5 圆心角、弧、弦之间的关系
1.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的_________相等，所对的________相等.
2.推论：在同圆或等圆中，如果_________、__________、_________中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
如图所示，下列三个等式: ①∠AOB = ∠COD;②AB=CD;③.若其中有一个等式成立，则其余两个等式也成立.
拓展
弦心距：圆心到该圆的任意一条弦的距离叫做弦心距.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两条弦上的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.符号语言：如图所示，
①∵∠AOB=∠COD,
②∵AB=CD,
③∴AB=CD,∠AOB=∠COD,OE=OF;
④∵OE=OF,
注意
(1)在同圆或等圆中，如果弧不相等，那么弧所对的弦、圆心角也不相等，且长弧所对的圆心角较大.
(2)在同圆或等圆中，不能认为长弧所对的弦也较长.只有当弧是劣弧时，这一命题才成立；当弧为优弧时，弧越长，其所对的弦越短.
知识点6 圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系
1.1°的弧：把整个圆等分成_____________份，每一份这样的弧叫做1°的弧.
弧的度数单位与角的度数单位是一致的.
2.圆心角的度数和它______________的度数相等.
符号语言：如图所示：
∵∠AOB 是 所对的圆心角， 的度数.
注意
由于圆心角的度数和它所对的弧的度数相等，因而计算弧的度数时，常转化为计算它所对的圆心角的度数，故作弧所对的圆心角是一种常用辅助线.
明考点·识方法
考点1 圆的有关概念
典例1 下列说法中正确的是 ( )
A.长度相等的弧是等弧 B.优弧长度大于劣弧
C.直径是圆中最长的弦 D.同圆或等圆中的弦一定相等
思路导析 A.等弧是同圆或等圆中能够重合的弧，在同圆或等圆中长度相等的弧是等弧，不在同圆或等圆中不存在等弧，故A 错误；B.在同圆或等圆中，优弧长度一定大于劣弧长度，故B错误；D.同圆或等圆中的弦有无数条，不一定相等，故D 错误.只有C正确.
注意
直径是弦，但弦不一定是直径，直径是圆中最长的弦.
变式 下列语句中，正确的有 ( )
①相等的圆心角所对的弧相等
②等弦对等弧
③在同圆或等圆中，圆心角相等，则其所对的弦相等
④经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
考点2 圆心角、弧、弦之间的关系
典例2 如图，已知AB是⊙O的直径，P是AO上一点，点C，D在直径AB 两侧的圆周上，若PB平分 求证：劣弧 BC 与劣弧BD 相等.
思路导析 过点O分别作 垂足分别为点E，F，连接OC，OD，由角平分线性质得 根据已知条件，可证得 然后可证得 进而问题可求证.
变式 如图,AB,CD是⊙O的弦，且 若 则的度数为 ( )
考点3 圆心角与它所对的弧的度数的关系
典例3 如图所示，圆的一条弦AB 把圆分为度数比为1：5的两条弧，已知圆的半径为4,求弦AB 的长.
思路导析 由弦AB 所对的两条弧的度数比为1：5，可知 的度数为 60°，则 所以△AOB是等边三角形,得AB=AO=4.
变式 在半径为1 的圆中，长度等于 的弦所对的弧的度数为_____________.
注意
由于弧的度数和它所对的圆心角的度数相等，因而计算弧的度数时，常转化为求它所对的圆心角的度数.
当堂测·夯基础
1.下列说法正确的是 ( )
A.相等的圆心角所对的弧相等 B.在同圆中，等弧所对的圆心角相等
C.在同圆中，相等的弦所对的弧相等 D.相等的弦所对的弧相等
2.如图,已知在⊙O 中，BC是直径， 则下列结论不一定成立的是 ( )
D. O到AB,CD的距离相等
第2题图 第3题图
3.如图,半径为5 的⊙A 中，弦 BC，ED 所对的圆心角分别是若 则弦 BC 的长等于( )
A. 8 B. 10 C. 11 D. 12
4.如图,AB是⊙O的直径, 与 相等,∠COD=36°,则∠AOE 的度数是( )
A. 30° B. 36° C. 54° D. 72°
第4题图 第5题图
5.如图,点 A,B,C是⊙O 上的点, BC.若⊙O的半径为2,则四边形ABCO 的面积为 ( )
D.2
6.如图,在⊙O中, 若 则 AB 与 2CD 的大小关系为 ( )
D.无法确定
7.如图,在⊙O中, AB,CD 是直径, ∥且交圆于 E，求证：
8.如图，已知点C是⊙O的直径AB 上的一点,过点 C 作弦DE,使 CD=CO.若 的度数为35°，求 的度数.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 任意一条过圆心的直线
知识点2 1.圆弧 AB 2.线段 3.经过圆心 2 直径 4.同圆或等圆
5.半圆 6.优弧 劣弧
知识点3 中心对称 圆心 轴 中心
知识点4 顶点在圆心
知识点 5 1.弧 弦 2.两个圆心角 两条弧 两条弦
知识点 6 1.360 2.所对的弧
【明考点·识方法】
典例1 C
变式 B
典例2 证明：过点O分别作 OE⊥PC,OF⊥PD,垂足分别为点 E， F，连接OC,OD,如图所示:
∵PB平分∠CPD,∴OE=OF,∠CPB=∠DPB,
∵OC=OD,∠OEC=∠OFD=90°,∴Rt△EOC≌Rt△FOD(HL),∴∠C=∠D,
∴∠C+∠CPB=∠BOC=∠BOD=∠D+∠DPB,
变式 D
典例3 解：∵弦 AB 所对的两条弧的度数比是1:5,
的度数为∴∠AOB=60°.
又∵OA=OB,∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=OB=4.
变式 90°或270°
解析：如图，⊙O的半径为1，弦 连接OA,OB,
∵OA=OB=1, ∴△OAB 为等腰直角三角形，∴∠AOB=90°,
∴弦AB 所对的弧的度数为90°或270°.
【当堂测·夯基础】
1. B 2. A 3. A 4. D 5. A 6. B
7.证明:连接OE,
∵CE∥AB,∴∠DOB=∠C,∠BOE=∠E,
∵OC=OE,∴/C=/E,
8.解:如图,连接OD,OE,
的度数为35°，∴∠AOD=35°,
∵CD=CO,∴∠ODC=∠AOD=35°,
∵OD=OE,∴∠ODC=∠E=35°,∴∠DOE=110°,
∴∠AOE=75°,∴∠BOE=105°,∴BE 的度数是105°.
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