5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案）
文档属性
| 名称 | 5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 41.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 鲁教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-13 08:08:03 | ||
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文档简介
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5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆周角
顶点在圆上，两边在圆内的部分分别是___________，像这样的角叫做圆周角.
注意
圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)角的两边都和圆相交.二者缺一不可.例如，如图所示的角，只有③是圆周角，而①②④⑤都不是圆周角.
知识点2 圆周角定理及其推论
1.定理：圆周角的度数等于__________上的圆心角度数的一半.
符号语言:∵∠APB是 所对圆周角，∠AOB是 所对圆心角.
2.推论1：圆周角的度数等于___________的度数的一半.
符号语言：
∵∠APB是 所对圆周角， 的度数.
3.推论2：___________所对的圆周角相等.
符号语言：
∵∠C与∠D都是 所对圆周角，∴∠C=∠D.(或 ∴∠C=∠D.)
注意
在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明.
明考点·识方法
考点1 圆周角定理的应用
典例1 如图,AB 是⊙O的直径,C,D 是⊙O 上 两 点, BA 平 分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A 的度数为 ( )
A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
思路导析 先利用圆周角定理可得∠ABD= 然后利用角平分线定义得∠ABC=25°，根据圆周角定理得 再根据三角形内角和定理进行计算即可解答.
变式1 如图,AB 是⊙O的直径,点 C,D在⊙O上,连接CD,OD,AC,若则 的度数是 ( )
A. 56° B. 33° C. 28° D. 23°
变式2 如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC 是⊙O的半径,点 P 为OB 上任意一点(点P 不与点 B 重合)，连接CP.若则 的度数可能是 ( )
考点2 圆周角定理的推论1的应用
典例2 如图所示，已知在⊙O中，的度数为 点 D 是 的中点，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数.
思路导析 注意弦 AB 所对的圆周角有两种情形：一种是顶点在优弧上，一种是顶点在劣弧上.
注意
一条弦(非直径)所对的弧有两条，因此，一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情形：一种是圆周角的顶点在优弧上；另一种是圆周角的顶点在劣弧上，而且这两种圆周角是互补的.
变式 如图，四边形 ABCD的顶点均在⊙O上，若 则 的度数是 ( )
考点3 圆周角定理的推论2的应用
典例3 如图,在⊙O中,弦AB,CD 相交于点 P,若 则∠B 的度数为 ( )
A. 32° B. 42° C. 48° D. 52°
思路导析 根据圆周角定理的推论2，可以得到∠D的度数，再根据三角形的外角的性质，可以求出∠B的度数.
变式 如图,在⊙O 中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC 的度数为__________.
当堂测·夯基础
1.如图,AB,AC为⊙O的两条弦,连接OB,OC,若∠A = 45°,则∠BOC的度数为 ( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 135°
2.如图,CD 是⊙O的直径, 点A,B在⊙O上.若 则 ( )
A. 9° B. 18° C. 36° D. 45°
3.如图，⊙O的直径AB 平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=________°.
4.如图,A,B,C 三点都在⊙O 上,已知则∠OAB+∠OCB =_________°.
5.如图,A,B,C三点都在⊙O上.
(1)若 则
(2)若∠C=50°,则.
(3)若 则
(4)若∠AOB=α,则.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 圆的弦
知识点2 1.它所对弧 2.它所对弧 3.同弧或等弧
【明考点·识方法】
典例1 A 解析:∵∠AOD=50°,
∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°,
∵∠AOB=180°, ∴∠A=180°-90°-25°=65°.
变式1 C
变式2 D
典例2 解：如图所示，连接AD,BD.
的度数为60°，D为AB的中点，
的度数 的度数=120°,∴∠AOB=120°,
的度数 的度数=240°,
的度数=120°,
∴弦AB所对的圆心角为120°，所对的圆周角为60°或120°.
变式 B
典例3 A 解析:∵∠A=∠D,∠A=48°,∴∠D=48°,
∵∠APD=80°,∠APD=∠B+∠D,∴∠B=∠APD-∠D=80°-48°=32°.
变式 30°
【当堂测·夯基础】
1. C 2. B 3. 55 4. 111
5.(1)60° (2)100° (3)70°
解析:(1)∵∠AOB=120°, 故答案为:60°;
(2)∵∠C=50°,∴∠AOB=2∠C=100°,故答案为:100°;
故答案为：
故答案为：
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5.4.1 圆周角定理及其推论1，2（学案带答案）
列清单·划重点
知识点1 圆周角
顶点在圆上，两边在圆内的部分分别是___________，像这样的角叫做圆周角.
注意
圆周角必须具备两个特征：(1)顶点在圆上；(2)角的两边都和圆相交.二者缺一不可.例如，如图所示的角，只有③是圆周角，而①②④⑤都不是圆周角.
知识点2 圆周角定理及其推论
1.定理：圆周角的度数等于__________上的圆心角度数的一半.
符号语言:∵∠APB是 所对圆周角，∠AOB是 所对圆心角.
2.推论1：圆周角的度数等于___________的度数的一半.
符号语言：
∵∠APB是 所对圆周角， 的度数.
3.推论2：___________所对的圆周角相等.
符号语言：
∵∠C与∠D都是 所对圆周角，∴∠C=∠D.(或 ∴∠C=∠D.)
注意
在同圆或等圆中，要证明两个圆周角相等，常借助于圆周角所对的弧是同弧或等弧进行证明.
明考点·识方法
考点1 圆周角定理的应用
典例1 如图,AB 是⊙O的直径,C,D 是⊙O 上 两 点, BA 平 分∠CBD,若∠AOD=50°,则∠A 的度数为 ( )
A. 65° B. 55° C. 50° D. 75°
思路导析 先利用圆周角定理可得∠ABD= 然后利用角平分线定义得∠ABC=25°，根据圆周角定理得 再根据三角形内角和定理进行计算即可解答.
变式1 如图,AB 是⊙O的直径,点 C,D在⊙O上,连接CD,OD,AC,若则 的度数是 ( )
A. 56° B. 33° C. 28° D. 23°
变式2 如图,AB,AC是⊙O的弦,OB,OC 是⊙O的半径,点 P 为OB 上任意一点(点P 不与点 B 重合)，连接CP.若则 的度数可能是 ( )
考点2 圆周角定理的推论1的应用
典例2 如图所示，已知在⊙O中，的度数为 点 D 是 的中点，求弦AB 所对的圆心角和圆周角的度数.
思路导析 注意弦 AB 所对的圆周角有两种情形：一种是顶点在优弧上，一种是顶点在劣弧上.
注意
一条弦(非直径)所对的弧有两条，因此，一条弦(非直径)所对的圆周角有两种情形：一种是圆周角的顶点在优弧上；另一种是圆周角的顶点在劣弧上，而且这两种圆周角是互补的.
变式 如图，四边形 ABCD的顶点均在⊙O上，若 则 的度数是 ( )
考点3 圆周角定理的推论2的应用
典例3 如图,在⊙O中,弦AB,CD 相交于点 P,若 则∠B 的度数为 ( )
A. 32° B. 42° C. 48° D. 52°
思路导析 根据圆周角定理的推论2，可以得到∠D的度数，再根据三角形的外角的性质，可以求出∠B的度数.
变式 如图,在⊙O 中,OA⊥BC,∠AOB=60°,则∠ADC 的度数为__________.
当堂测·夯基础
1.如图,AB,AC为⊙O的两条弦,连接OB,OC,若∠A = 45°,则∠BOC的度数为 ( )
A. 60° B. 75° C. 90° D. 135°
2.如图,CD 是⊙O的直径, 点A,B在⊙O上.若 则 ( )
A. 9° B. 18° C. 36° D. 45°
3.如图，⊙O的直径AB 平分弦CD(不是直径).若∠D=35°,则∠C=________°.
4.如图,A,B,C 三点都在⊙O 上,已知则∠OAB+∠OCB =_________°.
5.如图,A,B,C三点都在⊙O上.
(1)若 则
(2)若∠C=50°,则.
(3)若 则
(4)若∠AOB=α,则.
参考答案
【列清单·划重点】
知识点1 圆的弦
知识点2 1.它所对弧 2.它所对弧 3.同弧或等弧
【明考点·识方法】
典例1 A 解析:∵∠AOD=50°,
∵BA平分∠CBD,∴∠ABC=∠ABD=25°,
∵∠AOB=180°, ∴∠A=180°-90°-25°=65°.
变式1 C
变式2 D
典例2 解：如图所示，连接AD,BD.
的度数为60°，D为AB的中点，
的度数 的度数=120°,∴∠AOB=120°,
的度数 的度数=240°,
的度数=120°,
∴弦AB所对的圆心角为120°，所对的圆周角为60°或120°.
变式 B
典例3 A 解析:∵∠A=∠D,∠A=48°,∴∠D=48°,
∵∠APD=80°,∠APD=∠B+∠D,∴∠B=∠APD-∠D=80°-48°=32°.
变式 30°
【当堂测·夯基础】
1. C 2. B 3. 55 4. 111
5.(1)60° (2)100° (3)70°
解析:(1)∵∠AOB=120°, 故答案为:60°;
(2)∵∠C=50°,∴∠AOB=2∠C=100°,故答案为:100°;
故答案为：
故答案为：
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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