解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 已知两边解直角三角形
1.(2024·上海期末)在△ABC中,如果BC=,AB=,AC=3,那么cos A= .
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边的中点,过D作DE⊥AB,垂足为点E,如果AD=2,AB=6,那么cos∠ADE= .
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
4.(2024·遵义模拟)在△ABC中,AC=6,∠B=45°,∠C=60°,尺规作图方式如图所示,AB=( )
A.+1 B.3
C.2 D.3
5.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=,则BC的长是( )
A.3 B.6 C.8 D.9
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=5,tan C=,则BC= .
7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.
(1)c=8,∠A=60°;
(2)b=7.234,∠A=7°20'.(长度精确到0.001,参考数据:tan 7°20'≈0.13,cos 7°20'≈
0.99,sin 7°20'≈0.13)
【B层 能力进阶】
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是( )
A.a2+b2=c2 B.c=
C.tan A= D.a=c·sin A
9.(2024·南京质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=3,则AD长是( )
A.8 B.6 C.4 D.2
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则∠B的度数为 .
11.已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= .
12.如图,某游客在山脚下乘缆车上山.导游告知,索道与水平线成角∠BAC为40°,缆车速度为60 米/分,11分钟到达山顶,请根据以上信息计算山的高度BC约为 米.(精确到1米)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
13.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长;
(2)求∠ACB的正切值.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理.
(1)在图②中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD= ;
(2)在(1)的条件下,若AB=10米,求点A到OB的距离. 解直角三角形
【A层 基础夯实】
知识点1 已知两边解直角三角形
1.(2024·上海期末)在△ABC中,如果BC=,AB=,AC=3,那么cos A= .
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D是AC边的中点,过D作DE⊥AB,垂足为点E,如果AD=2,AB=6,那么cos∠ADE= .
3.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3.求AC的长和sin A的值.
【解析】∵∠C=90°,AB=5,BC=3,
∴AC===4,sin A==.∴AC的长为4,sin A的值为.
知识点2 已知一边一锐角解直角三角形
4.(2024·遵义模拟)在△ABC中,AC=6,∠B=45°,∠C=60°,尺规作图方式如图所示,AB=(D)
A.+1 B.3
C.2 D.3
5.(2024·临夏州中考)如图,在△ABC中,AB=AC=5,sin B=,则BC的长是(B)
A.3 B.6 C.8 D.9
6.如图,在△ABC中,∠B=30°,AC=5,tan C=,则BC= 4+3 .
7.已知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对应边分别为a,b,c,按下列条件解直角三角形.
(1)c=8,∠A=60°;
【解析】(1)在Rt△ABC中,∠C=90°,c=8,∠A=60°,
则∠B=90°-60°=30°,∴b=c=×8=4,
∴a===12;
(2)b=7.234,∠A=7°20'.(长度精确到0.001,参考数据:tan 7°20'≈0.13,cos 7°20'≈
0.99,sin 7°20'≈0.13)
【解析】(2)在Rt△ABC中,∠C=90°,b=7.234,∠A=7°20',
则∠B=90°-7°20'=82°40',
∵tan 7°20'==,∴a≈0.13×7.234≈0.940,
又∵cos A=,
∴c==≈7.307.
【B层 能力进阶】
8.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,则下列结论中不正确的是(C)
A.a2+b2=c2 B.c=
C.tan A= D.a=c·sin A
9.(2024·南京质检)如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=15°,∠DBC=60°,BC=3,则AD长是(B)
A.8 B.6 C.4 D.2
10.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=BC,则∠B的度数为 60° .
11.已知Rt△ABC中,斜边BC上的高AD=4,cos B=,则AC= 5 .
12.如图,某游客在山脚下乘缆车上山.导游告知,索道与水平线成角∠BAC为40°,缆车速度为60 米/分,11分钟到达山顶,请根据以上信息计算山的高度BC约为 422 米.(精确到1米)(参考数据:sin 40°≈0.64,cos 40°≈0.77,tan 40°≈0.84)
13.如图,在△ABC中,∠B=45°,CD是AB边上的中线,过点D作DE⊥BC,垂足为点E,若CD=5,sin∠BCD=.
(1)求BC的长;
【解析】(1)设DE=3x,DE⊥BC,
∵sin∠BCD=,∴=,
∴CD=5x,CE=4x,∵CD=5,
∴x=1,∴CE=4,∵∠B=45°,
∴DE=BE=3x=3,∴BC=BE+CE=7.
(2)求∠ACB的正切值.
【解析】(2)过点A作AF⊥BC于点F,
∴DE∥AF,∴=,
∵D是AB的中点,∴E是BF的中点,
∴DE是△ABF的中位线,∴AF=2DE,BF=2BE,
由(1)可知:DE=BE=3,∴AF=6,BF=6,
∴CF=BC-BF=1,∴tan∠ACB=6.
【C层 创新挑战(选做)】
14.(模型观念、运算能力、应用意识)中国古代在公元前2世纪就制成了世界上最早的潜望镜,西汉初年成书的《淮南万毕术》中有这样的记载:“取大镜高悬,悬水盆于其下,则见四邻矣”.如图①所示,其工作方法主要利用了光的反射原理.
(1)在图②中,AB呈水平状态,若入射角∠BOC=30°,∠OAD=15°(入射角等于反射角,OC,AD为法线),则∠BAD= ;
(2)在(1)的条件下,若AB=10米,求点A到OB的距离.
【解析】(1)∵AD⊥AB,∴∠BAD=90°;
答案:90°
(2)如图,过点A作AE⊥OB于点E,
∵入射角∠BOC=30°,入射角等于反射角,
∴∠AOC=∠BOC=30°,∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°,
∵AD⊥AB,∠OAD=15°,∴∠OAB=75°,
∴∠B=180°-∠AOB-∠OAB=45°,
∵AE⊥OB,∴△AEB为等腰直角三角形,
在Rt△ABE中,AB=10米,AE=AB·sin B=10×=10(米).
∴点A到OB的距离为10米.
