二十五 圆内接正多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 圆内接正多边形的概念与计算
1.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,连接OA,OC,AC,则∠OAC的度数为(B)
A.15° B.18° C.20° D.24°
2.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)在正五边形的外接圆中,任一边所对的圆周角的度数为(D)
A.36° B.72°
C.144° D.36°或144°
3.(2024·日照一模)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入,发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面内,且所有碳碳键的键长都相等(如图1),组成了一个完美的六边形(正六边形),图2是其平面示意图,则∠1的度数为(B)
A.130° B.120° C.110° D.60°
4.(2024·西安模拟)已知正六边形的边心距为,则它的外接圆半径为 2 .
知识点2 正多边形的作法及应用
5.(2024·长沙模拟)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 9 .
6.已知☉O和☉O上的一点A.
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.
【解析】(1)作法:
①作直径AC;②作直径BD⊥AC;
③依次连接A,B,C,D四点,
四边形ABCD即为☉O的内接正方形;
④分别以A,C为圆心,以OA长为半径作弧,交☉O于E,H,F,G四点;
⑤顺次连接A,E,F,C,G,H各点.
六边形AEFCGH即为☉O的内接正六边形.
(2)连接OE,DE.
∵∠AOD==90°,∠AOE==60°,
∴∠DOE=∠AOD-∠AOE=90°-60°=30°.
∴DE是☉O的内接正十二边形的一边.
【B层 能力进阶】
7.(2024·沈阳一模)如图,在平面直角坐标系中,以正六边形ABCDEF的中心O为原点,顶点A,D在x轴上,若正六边形外接圆的半径是4,则顶点C的坐标为(C)
A.(2,-) B.(2,-4)
C.(2,-2) D.(,-4)
8.如图,点P1~P6是☉O的六等分点.若△P1P5P6,△P2P3P5的周长分别为C1,C2,面积分别为S1,S2,则下列正确的是(D)
A.C1=C2 B.C2=2C1 C.S1=S2 D.S2=2S1
9.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为(A)
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
10.(2023·陕西中考)如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E,则线段BE的长为 2+ .
11.(2024·保定期末)【观察思考】某公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设.
【规律总结】
(1)图1开始,每增加一块正六边形地砖,正方形地砖会增加 块,正三角形地砖会增加 块;
(2)若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为 块,正三角形地砖的数量为 块(用含a的代数式表示);
【问题解决】
(3)已知每块正方形地砖的面积为0.36 m2,现已知铺设这条小路使用的正方形地砖的总面积为90.36 m2,求铺设这条小路共用多少块正六边形地砖.
【解析】(1)答案:5 4
(2)当a=1时,正方形地砖的数量为6块,正三角形地砖的数量为6块;
当a=2时,正方形地砖的数量为11块,正三角形地砖的数量为10块;
当a=3时,正方形地砖的数量为16块,正三角形地砖的数量为14块,按照此规律.
若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为(5a+1)块;正三角形地砖的数量为(4a+2)块;
答案:(5a+1) (4a+2)
(3)由(2)可知,若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为(5a+1)块,
∵每块正方形地砖的面积为0.36 m2,
∴0.36(5a+1)=90.36,
解得a=50,
答:铺设这条小路共用50块正六边形地砖.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、推理能力、创新意识)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法如图2.
①作直径AF.
②以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.
③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
【解析】(1)∵五边形ABCDE是正五边形,
∴∠ABC==108°.
(2)△AMN是正三角形,
理由:连接ON,NF,由题意可得FN=OF=ON,∴△FON是等边三角形,
∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°,
同理可得,∠ANM=60°,
∴∠MAN=60°,∴△AMN是正三角形.
(3)∵∠AMN=60°,∴∠AON=120°,
∵∠AOD=×2=144°,∴∠NOD=∠AOD-∠AON=144°-120°=24°.
∵360°÷24°=15,∴n的值是15.二十五 圆内接正多边形
【A层 基础夯实】
知识点1 圆内接正多边形的概念与计算
1.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,连接OA,OC,AC,则∠OAC的度数为( )
A.15° B.18° C.20° D.24°
2.(易错警示题·忽略分类讨论而漏解)在正五边形的外接圆中,任一边所对的圆周角的度数为( )
A.36° B.72°
C.144° D.36°或144°
3.(2024·日照一模)苯分子的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的.随着研究的不断深入,发现苯分子中的6个碳原子与6个氢原子均在同一平面内,且所有碳碳键的键长都相等(如图1),组成了一个完美的六边形(正六边形),图2是其平面示意图,则∠1的度数为( )
A.130° B.120° C.110° D.60°
4.(2024·西安模拟)已知正六边形的边心距为,则它的外接圆半径为 .
知识点2 正多边形的作法及应用
5.(2024·长沙模拟)如图,A,B,C,D为一个正多边形的顶点,O为正多边形的中心,若∠ADB=20°,则这个正多边形的边数为 .
6.已知☉O和☉O上的一点A.
(1)作☉O的内接正方形ABCD和内接正六边形AEFCGH;
(2)在(1)题的作图中,如果点E在弧AD上,求证:DE是☉O的内接正十二边形的一边.
【B层 能力进阶】
7.(2024·沈阳一模)如图,在平面直角坐标系中,以正六边形ABCDEF的中心O为原点,顶点A,D在x轴上,若正六边形外接圆的半径是4,则顶点C的坐标为( )
A.(2,-) B.(2,-4)
C.(2,-2) D.(,-4)
8.如图,点P1~P6是☉O的六等分点.若△P1P5P6,△P2P3P5的周长分别为C1,C2,面积分别为S1,S2,则下列正确的是( )
A.C1=C2 B.C2=2C1 C.S1=S2 D.S2=2S1
9.(2023·山西中考)蜂巢结构精巧,其巢房横截面的形状均为正六边形.如图是部分巢房的横截面图,图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙,将其放在平面直角坐标系中,点P,Q,M均为正六边形的顶点.若点P,Q的坐标分别为(-2,3),(0,-3),则点M的坐标为( )
A.(3,-2) B.(3,2)
C.(2,-3) D.(-2,-3)
10.(2023·陕西中考)如图,正八边形的边长为2,对角线AB,CD相交于点E,则线段BE的长为 .
11.(2024·保定期末)【观察思考】某公园中的一条小路使用正六边形、正方形、正三角形三种地砖按照如图方式铺设.
【规律总结】
(1)图1开始,每增加一块正六边形地砖,正方形地砖会增加 块,正三角形地砖会增加 块;
(2)若铺设这条小路共用去a块正六边形地砖,则正方形地砖的数量为 块,正三角形地砖的数量为 块(用含a的代数式表示);
【问题解决】
(3)已知每块正方形地砖的面积为0.36 m2,现已知铺设这条小路使用的正方形地砖的总面积为90.36 m2,求铺设这条小路共用多少块正六边形地砖.
【C层 创新挑战(选做)】
12.(模型观念、推理能力、创新意识)如图1,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法如图2.
①作直径AF.
②以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.
③连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n的值.
