单元质量评价（三）第三章 圆(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,在☉O中,弦AB=5 cm,∠ACB=30°,则☉O的半径是(A)
A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.已知☉O的半径为3,点P是直线l上的一点,OP=3,则直线l与☉O的位置关系是(D)
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
3.如图,A,C为☉O上的点,过点C与☉O相切的直线CB交射线AO于点B,连接AC.若∠A=30°,OA=,则BC的长为(A)
A.3 B. C.2 D.3
4.(2024·青岛一模)如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,AC交BD于点G.若∠ADC=66°,则∠AGB的度数为(D)
A.66° B.69° C.104° D.114°
5.(2024·长沙模拟)如图,已知在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D.如果CD=8, AB=24,那么OA=(C)
A.12 B.12 C.13 D.16
6.如图,在6×6正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,O均在格点上,若☉O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值是(B)
A. B. C. D.2
7.如图,直角三角板ABC的锐角顶点A落在☉O上,其中∠BAC=45°,边AB,AC分别与☉O交于D,E两点,连接DE,若☉O的半径为4,则图中阴影部分的面积为(A)
A.4π-8 B.2π-8 C.4π D.2π-16
8.(2023·达州中考)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1…,,,,的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是(A)
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.一个扇形的弧长是20π,圆心角为120°,则扇形的面积为 300π .
10.(2024·宿迁一模)如图,AD是☉O的直径,△ABC是☉O的内接三角形.若
∠DAC=∠ABC,AC=5,则AD= 5 .
11.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,连接OC,OE,CE,则∠OCE的度数为 18 °.
12.如图,已知正六边形螺帽的边长是4 cm,那么与该螺帽匹配的扳手的开口a为 4 cm.
13.如图所示,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕顶点B逆时针旋转40°后得到△DBE,点C经过的路径为CE,则图中阴影部分的面积为 .
14.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为 2 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,AB为☉O的直径,=,CD⊥AB于点D,交BE于点F,连接CB.
求证:BC=CF.
【证明】连接AE,∵=,
∴∠A=∠FBC,∵AB为直径,∴∠E=90°,
∴∠A+∠ABE=90°,∵CD⊥AB于点D,∴∠FDB=90°,
∴∠CFB+∠ABE=90°,∴∠A=∠CFB,∴∠FBC=∠CFB,
∴BC=CF.
16.(8分)(2024·安徽中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
【解析】(1)∵FA=FE,∴∠FAE=∠AEF,∵∠FAE与∠BCE都是所对的圆周角,∴∠FAE=∠BCE,∵∠AEF=∠CEB,∴∠CEB=∠BCE,∵CE平分∠ACD,
∴∠ACE=∠DCE,∵AB是直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=90°,∴∠CDE=90°,∴CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
【解析】(2)由(1)知,∠BEC=∠BCE,∴BE=BC,∵AF=EF,FM⊥AB,
∴MA=ME=2,AE=4,∴OA=OB=AE-OE=3,∴BC=BE=OB-OE=2,
在△ABC中,AB=6,BC=2,∠ACB=90°,∴AC===4.
17.(8分)如图,在☉O中,直径MN=10,正方形BCDA的四个顶点分别在半径OM,OP以及☉O上,且∠POM=45°,求正方形ABCD的边长.
【解析】连接AO,∵四边形ABCD是正方形,∴∠DCO=90°,
∵∠POM=45°,∴∠CDO=45°,∴CD=CO,
∴BO=BC+CO=BC+CD,∴BO=2AB,∵MN=10,∴AO=5,
在Rt△ABO中,AB2+BO2=AO2,即AB2+(2AB)2=52,
∴AB=,即正方形ABCD的边长为.
18.(8分)牂牁江“佘月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
【解析】(1)设OA=OC=R m,∵OA⊥CD,∴CB=BD=CD=14 m,
在Rt△COB中,OC2=OB2+CB2,∴R2=(R-12)2+142,∴R=,∴OC=≈14.2(m).
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
【解析】(2)补全☉O,在CD的下方取一点N,连接CN,DN,CM,DM,
∵∠CND=∠COD=81°,∠CMD+∠N=180°,∴∠CMD=99°.
∵∠CMD=99°不变,是定值,
∴“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
19.(10分)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
【解析】(1)连接OD,∵AD平分∠CAB,∴∠CAD=∠BAD,
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA,∴∠CAD=∠ODA,∴OD∥AC,
∵DE⊥AC,∴OD⊥DE,∵OD是☉O的半径,∴直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
【解析】(2)△ABM是等边三角形,理由如下:
∵DE⊥AC,∠F=30°,∴∠EAF=60°,
∴∠EAD=∠DAF=30°,∴∠CBD=∠CAD=30°,
∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ABC=90°-∠EAF=30°,
∴∠ABM=∠ABC+∠CBD=60°,∴△ABM是等边三角形;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.
【解析】(3)∵△ABM是等边三角形,∴∠M=60°,∴∠MDE=30°,
∵ME=1,∴MD=2ME=2,∴AB=MB=4,
∵AB为☉O的直径,∠ABC=30°,∴AC=AB=2,∵∠CAD=30°,cos∠CAD=,
即cos 30°==,∴AP=.
20.(10分)(2024·烟台中考)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交☉O于点D,E是上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
【解析】(1)∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=∠ACB=90°,
又∵∠ABC=25°,∴∠CAB=90°-25°=65°,
∵四边形ABEC是☉O内接四边形,
∴∠CEB+∠CAB=180°,∴∠CEB=180°-∠CAB=115°;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
【解析】(2)DI=AD=BD,证明如下:连接AI,
∵点I为△ABC的内心,∴∠CAI=∠BAI,∠ACI=∠BCI=∠ACB=45°,
∴=,
∴∠DAB=∠DCB=∠ACI,AD=BD,
∵∠DAI=∠DAB+∠BAI,∠DIA=∠ACI+∠CAI,
∴∠DAI=∠DIA,∴DI=AD=BD;
(3)若CI=2,DI=,求△ABC的周长.
【解析】(3)过I分别作IQ⊥AB,IF⊥AC,IP⊥BC,垂足分别为Q,F,P,
∵点I为△ABC的内心,即为△ABC的内切圆的圆心,
∴Q,F,P分别为该内切圆与△ABC三边的切点,
∴AQ=AF,CF=CP,BQ=BP,
∵CI=2,∠IFC=90°,∠ACI=45°,
∴CF=CI·cos 45°=2=CP,
∵DI=AD=BD,DI=,∠ADB=90°,
∴AB=AD=×=13,
∴△ABC的周长为AB+AC+BC=AB+AF+CF+CP+BP=AB+AQ+BQ+2CF
=2AB+2CF=2×13+2×2=30.
【附加题】(10分)
如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点O作AC的垂线,垂足为D,分别交直线BC,于点E,F,射线AF交直线BC于点G.
(1)求证:AC=CG;
【解析】(1)过A作直径AM,
∵AB=AC,∴AM⊥BC,∴∠E+∠EOM=90°,
∵AC⊥EF,∴∠OAD+∠AOD=90°,∴∠E=∠OAD,
∵OA=OF,∴∠OAD+∠DAF=∠AFO=∠E+∠G,
∴∠DAF=∠G,∴AC=CG;
(2)若点E在CB的延长线上,且EB=CG,求∠BAC的度数;
【解析】(2)∵AB=AC,AM⊥BC,∴∠BAM=∠CAM,
设∠BAM=∠CAM=2α,
∴∠ABC=∠ACB=(180°-∠BAC)=90°-2α,
∴∠CAG=∠CGA=45°-α,
∴∠BAG=2α+2α+45°-α=45°+3α,
如图,连接AE,设AM交BC于点H,
∵EF⊥AC,又EF过圆心,∴EF垂直平分AC,∴EC=AE,
∵BH=HC,又EB=CG,∴HE=HG,∴AM垂直平分EG,∴AE=AG,∴EC=AG,
∵EB=CG,∴EB+BC=BC+CG,∴EC=BG,∴AG=BG,∴∠BAG=∠ABG,
∴45°+3α=90°-2α,∴α=9°,∴∠BAC=4α=36°;
(3)当BC=6时,随着CG的长度的增大,EB的长度如何变化 请描述变化过程,并说明理由.
【解析】(3)当CG=6时,BE=0;
当CG≥6时,BE随CG的增大而增大;
当3①当BE=0时,即点E与B重合,
在△BOH和△AOD中,,
∴△BOH≌△AOD(AAS),∴AD=BH=3,
∴AC=2AD=6,∴AB=AC=BC=6,
∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠ACB=60°,
∴∠CAG=30°,∠CAG+∠G=60°,
∴∠G=30°=∠CAG,∴CA=CG=6;
②当CG≥6时,如图:
∵∠E=∠CAH,∠EDC=∠AHC=90°,
∴△ECD∽△ACH,∴=,∴=,∴=,∴BE=CG2-6,
∴BE随CG的增大而增大;
③当3∵∠ACM=∠DCE,∠EDC=∠AMC=90°,
∴△AMC∽△EDC,
∴=,∴=,∴=,∴BE=-CG2+6,
∴BE随CG的增大而减小.
综上所述:
当CG=6时,BE=0;
当CG≥6时,BE随CG的增大而增大;
当3一、选择题(每小题3分,共24分)
1.如图,在☉O中,弦AB=5 cm,∠ACB=30°,则☉O的半径是( )
A.5 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm
2.已知☉O的半径为3,点P是直线l上的一点,OP=3,则直线l与☉O的位置关系是( )
A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交
3.如图,A,C为☉O上的点,过点C与☉O相切的直线CB交射线AO于点B,连接AC.若∠A=30°,OA=,则BC的长为( )
A.3 B. C.2 D.3
4.(2024·青岛一模)如图,BD是☉O的直径,点A,C在☉O上,=,AC交BD于点G.若∠ADC=66°,则∠AGB的度数为( )
A.66° B.69° C.104° D.114°
5.(2024·长沙模拟)如图,已知在☉O中,半径OC垂直于弦AB,垂足为D.如果CD=8, AB=24,那么OA=( )
A.12 B.12 C.13 D.16
6.如图,在6×6正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,点A,B,C,O均在格点上,若☉O是△ABC的外接圆,则cos∠BAC的值是( )
A. B. C. D.2
7.如图,直角三角板ABC的锐角顶点A落在☉O上,其中∠BAC=45°,边AB,AC分别与☉O交于D,E两点,连接DE,若☉O的半径为4,则图中阴影部分的面积为( )
A.4π-8 B.2π-8 C.4π D.2π-16
8.(2023·达州中考)如图,四边形ABCD是边长为的正方形,曲线DA1B1C1D1A2…是由多段90°的圆心角所对的弧组成的.其中,的圆心为A,半径为AD;的圆心为B,半径为BA1;的圆心为C,半径为CB1;的圆心为D,半径为DC1…,,,,的圆心依次为A,B,C,D循环,则的长是( )
A. B.2 023π C. D.2 022π
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.一个扇形的弧长是20π,圆心角为120°,则扇形的面积为 .
10.(2024·宿迁一模)如图,AD是☉O的直径,△ABC是☉O的内接三角形.若
∠DAC=∠ABC,AC=5,则AD= .
11.如图,点O是正五边形ABCDE的中心,连接OC,OE,CE,则∠OCE的度数为 °.
12.如图,已知正六边形螺帽的边长是4 cm,那么与该螺帽匹配的扳手的开口a为 cm.
13.如图所示,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,将△ABC绕顶点B逆时针旋转40°后得到△DBE,点C经过的路径为CE,则图中阴影部分的面积为 .
14.(2024·凉山州中考)如图,☉M的圆心为M(4,0),半径为2,P是直线y=x+4上的一个动点,过点P作☉M的切线,切点为Q,则PQ的最小值为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)如图,AB为☉O的直径,=,CD⊥AB于点D,交BE于点F,连接CB.
求证:BC=CF.
16.(8分)(2024·安徽中考)如图,☉O是△ABC的外接圆,D是直径AB上一点,∠ACD的平分线交AB于点E,交☉O于另一点F,FA=FE.
(1)求证:CD⊥AB;
(2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长.
17.(8分)如图,在☉O中,直径MN=10,正方形BCDA的四个顶点分别在半径OM,OP以及☉O上,且∠POM=45°,求正方形ABCD的边长.
18.(8分)牂牁江“佘月郎山,西陵晚渡”的风景描绘中有半个月亮挂在山上,月亮之上有个“齐天大圣”守护洞口的传说.真实情况是老王山上有个月亮洞,洞顶上经常有猴子爬来爬去,如图是月亮洞的截面示意图.
(1)科考队测量出月亮洞的洞宽CD约是28 m,洞高AB约是12 m,通过计算截面所在圆的半径可以解释月亮洞像半个月亮,求半径OC的长(结果精确到0.1 m);
(2)若∠COD=162°,点M在上,求∠CMD的度数,并用数学知识解释为什么“齐天大圣”点M在洞顶上巡视时总能看清洞口CD的情况.
19.(10分)如图,以线段AB为直径作☉O,交射线AC于点C,AD平分∠CAB交☉O于点D,过点D作直线DE⊥AC,交AC的延长线于点E,交AB的延长线于点F,连接BD并延长交AC的延长线于点M.
(1)求证:直线DE是☉O的切线;
(2)当∠F=30°时,判断△ABM的形状,并说明理由;
(3)在(2)的条件下,ME=1,连接BC交AD于点P,求AP的长.
20.(10分)(2024·烟台中考)如图,AB是☉O的直径,△ABC内接于☉O,点I为△ABC的内心,连接CI并延长交☉O于点D,E是上任意一点,连接AD,BD,BE,CE.
(1)若∠ABC=25°,求∠CEB的度数;
(2)找出图中所有与DI相等的线段,并证明;
(3)若CI=2,DI=,求△ABC的周长.
【附加题】(10分)
如图,在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点O作AC的垂线,垂足为D,分别交直线BC,于点E,F,射线AF交直线BC于点G.
(1)求证:AC=CG;
(2)若点E在CB的延长线上,且EB=CG,求∠BAC的度数;
(3)当BC=6时,随着CG的长度的增大,EB的长度如何变化 请描述变化过程,并说明理由.
