单元质量评价（一）第一章 直角三角形的边角关系
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·天津模拟)计算cos 30°-的值等于(A)
A.0 B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=1,则sin B的值是(C)
A. B. C. D.2
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,那么tan A的值等于(C)
A.1 B. C. D.
4.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=37°,
BC=40 cm,则高AD约为(A)
(结果取整数,参考数据:sin 37°=0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm
5.(2024·泉州模拟)甲、乙两座建筑物的位置如图所示.某数学兴趣小组测得这两座建筑物间的距离BD为35 m,甲建筑物的高AB为20 m,并且在点A处测得点C的仰角为α,则由以上数据可求得乙建筑物的高CD为(C)
A.(20+35sin α)m B.(20+35cos α)m
C.(20+35tan α)m D.(20+)m
6.如图,某地一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长为(B)
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
7.如图,A,B,C,D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上,则sin B+sin D的值为(B)
A.+ B.+ C. D.
8.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为(A)
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.计算:(sin 30°)-2= 4 .
10.在△ABC中,若|tan A-1|+(-cos B)2=0,则∠C的度数为 105° .
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交边BC于点D,如果BD=4CD,那么tan B= .
12.(2024·长沙模拟)如图所示,AC是操场上直立的一根旗杆,旗杆AC上有一点B,用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC=45°,到A点的仰角∠ADC=60°,若BC=3 米,则旗杆的高度AC= 3 米.
13.如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6 米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3 米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 (3+) 米.(结果保留根号)
14.(2024·济南模拟)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AD=2AB=4,E,F分别为边AD,BC上两点,连接EF,将 ABCD沿EF翻折,A,B对应点分别为A',B',点C在直线A'B'上,且A'E⊥AD,则AE= 3-3 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)(-tan 45°)2 023-tan 60°÷cos 30°.
【解析】(1)原式=(-1)2 023-÷=-1-×=-1-2=-3.
(2)tan 60°·sin 30°+-2|cos 60°-1|.
【解析】(2)原式=×+-2|-1|=+1-1=.
16.(8分)在△ABC中,AB=,tan∠ABC=,AC=2,求BC的长.
【解析】过点A作AD⊥BC,垂足为D,
在Rt△ABD中,AB=,tan ∠ABC=,
∴=,∴BD=3AD,∵AD2+BD2=AB2,
∴AD2+9AD2=10,∴AD=1,
∴BD=3AD=3,在Rt△ADC中,AD=1,AC=2,
∴DC===,
∴BC=BD+CD=3+.
17.(8分)如图所示,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,且sin B=,tan A=,AC=3.
(1)求∠B的度数与AB的长;
【解析】(1)如图,过点C作CE⊥AB于E.设CE=x,
在Rt△ACE中,∵tan A==,∴AE=2x,
∴AC==x,∴x=3,解得x=3.∴CE=3,AE=6.
在Rt△BCE中,∵sin B=,∴∠B=45°,
∴△BCE为等腰直角三角形,∴BE=CE=3,∴AB=AE+BE=9.
(2)求tan∠CDB的值.
【解析】(2)∵CD是边AB上的中线,∴BD=AB=4.5,
∴DE=1.5,∴tan∠CDE===2,即tan∠CDB的值为2.
18.(8分)(2024·呼伦贝尔中考)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,无人机在离地面40米的D处,测得操控者A的俯角为30°,测得楼BC楼顶C处的俯角为45°,又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米,则楼BC的高度是多少米 (点A,B,C,D都在同一平面内,参考数据:≈1.7)
【解析】如图,过D作DE⊥AB于点E,过C作CF⊥DE于点F,则四边形BCFE是矩形,
∴CF=BE,BC=EF,由题意知AE==40,DF=CF,
∴DF=CF=BE=AB-AE=80-40,
∴BC=EF=DE-DF=40-(80-40)=40-40,
∴楼BC的高度为(40-40)米.
19.(10分)如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长CD=15 m,斜坡的倾斜角为α,cos α=.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°,在D点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,C,D在同一平面内).
(1)求C,D两点的高度差;
【解析】(1)过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于点E,
在Rt△DCE中,cos α=,CD=15 m,∴CE=CD·cos α=12 m.
∴DE==9 m.∴C,D两点的高度差为9 m.
(2)求居民楼的高度AB.(结果保留根号)
【解析】(2)过点D作DF⊥AB于F,由题意得:四边形BEDF是矩形,
∴BF=DE,DF=BE,设AF=x m,
在Rt△ADF中,tan∠ADF=tan 30°===,解得DF=x,在Rt△ABC中,AB=AF+FB=AF+DE=(x+9) m,BC=BE-CE=DF-CE=(x-12) m,
tan 60°===,解得x=+6,经检验,x=+6是原方程的解且符合题意,
∴AB=x+9=+6+9= m.
答:居民楼的高度AB为 m.
20.(10分)已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连接BC,AP.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=,求BC的长.
【解析】(1)∵∠ACB=90°,∠CAD=60°,
∴AB==2AC,
∵BD=AC,∴AD=AC,
∴△ADC是等边三角形,
∴∠ACD=60°,
∵P是CD的中点,∴AP⊥CD,
在Rt△APC中,AP=,
∴AC==2,
∴BC=AC·tan 60°=2;
(2)过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,如图2所示,若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2AP.
【解析】(2)连接BE,
∵DE∥AC,∴∠CAP=∠DEP,
在△CPA和△DPE中,,
∴△CPA≌△DPE(AAS),
∴AP=EP=AE,DE=AC,
∵BD=AC,∴BD=DE,又∵DE∥AC,
∴∠BDE=∠CAD=60°,
∴△BDE是等边三角形,
∴BD=BE,∠EBD=60°,
∵BD=AC,∴AC=BE,
在△CAB和△EBA中,,
∴△CAB≌△EBA(SAS),
∴BC=AE,∴BC=2AP.
(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP 若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
【解析】(3)存在实数m,m=.
理由如下:作DE∥AC交AP的延长线于点E,连接BE,
由(2)同理可得DE=AC,∠EDB=∠CAD=45°,AE=2AP,
当BD=AC时,BD=DE,
∵∠EDB=45°,作BF⊥DE于点F,
∴BD=DF,
∴DE=DF,
∴点E,F重合,
∴∠BED=90°,
∴∠EBD=∠EDB=45°,
∴BE=DE=AC,
同(2)可证:△CAB≌△EBA(SAS),
∴BC=AE=2AP,
∴存在m=,使得BC=2AP.
【附加题】(10分)
在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.
(1)若a=5,b=10,求sin A,cos A,sin B,cos B;
【解析】(1)c==5,
∴sin A==,cos A==,sin B==,cos B==;
(2)若b=3,c=3,求sin A,cos A,sin B,cos B;
【解析】(2)a==3,
∴sin A==,cos A==,sin B==,cos B==;
(3)通过(1)(2)我们不难发现有这样一个规律:sin2 A+cos2 A=1,请你利用所学过的知识来证明这一规律;
【解析】(3)∵a2+b2=c2,
∴sin2A+cos2A=()2+()2===1,
即sin2A+cos2A=1;
(4)由(1)(2)的计算你还发现了什么 用语言描述你的发现;
【解析】(4)一个锐角的正弦值等于它余角的余弦值,一个锐角的余弦值等于它余角的正弦值;
(5)试解决下列问题:
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值;
②若sin α+cos α=,求sin α·cos α的值;
③∠A为锐角,化简.
【解析】(5)①∵sin A=cos(90°-A),
∴原式=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin245°+cos244°+cos243°+…+cos22°+cos21°
=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+(sin23°+cos23°)+…+sin245°=1+1+…+1+
=44+=;
②∵sin α+cos α=,
∴(sin α+cos α)2=,
即sin2α+cos2α+2sinαcos α=,
∵sin2α+cos2α=1,
∴2sin αcos α=,
∴sinα·cos α=;
③∵sin2A+cos2A=1,
∴原式=
=
=
=|cos A-1|
=1-cos A.单元质量评价（一）第一章 直角三角形的边角关系
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.(2024·天津模拟)计算cos 30°-的值等于( )
A.0 B. C. D.
2.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2,BC=1,则sin B的值是( )
A. B. C. D.2
3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=2BC,那么tan A的值等于( )
A.1 B. C. D.
4.如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,∠ABC=37°,
BC=40 cm,则高AD约为( )
(结果取整数,参考数据:sin 37°=0.60,cos 37°≈0.80,tan 37°≈0.75)
A.15 cm B.16 cm C.18 cm D.20 cm
5.(2024·泉州模拟)甲、乙两座建筑物的位置如图所示.某数学兴趣小组测得这两座建筑物间的距离BD为35 m,甲建筑物的高AB为20 m,并且在点A处测得点C的仰角为α,则由以上数据可求得乙建筑物的高CD为( )
A.(20+35sin α)m B.(20+35cos α)m
C.(20+35tan α)m D.(20+)m
6.如图,某地一座建筑物的截面图的高BC=5 m,坡面AB的坡度为1∶,则AB的长为( )
A.10 m B.10 m
C.5 m D.5 m
7.如图,A,B,C,D四点均在由边长为1的小正方形组成的网格格点上,则sin B+sin D的值为( )
A.+ B.+ C. D.
8.(2024·包头中考)如图,在矩形ABCD中,E,F是边BC上两点,且BE=EF=FC,连接DE,AF,DE与AF相交于点G,连接BG.若AB=4,BC=6,则sin∠GBF的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.计算:(sin 30°)-2= .
10.在△ABC中,若|tan A-1|+(-cos B)2=0,则∠C的度数为 .
11.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交边BC于点D,如果BD=4CD,那么tan B= .
12.(2024·长沙模拟)如图所示,AC是操场上直立的一根旗杆,旗杆AC上有一点B,用测角仪(测角仪的高度忽略不计)测得地面上的D点到B点的仰角∠BDC=45°,到A点的仰角∠ADC=60°,若BC=3 米,则旗杆的高度AC= 米.
13.如图所示,桔槔是一种原始的汲水工具,它是在一根竖立的架子上加上一根细长的杠杆,末端悬挂一重物,前端悬挂水桶.当人把水桶放入水中打满水以后,由于杠杆末端的重力作用,便能轻易把水提升至所需处,若已知:杠杆AB=6 米,AO∶OB=2∶1,支架OM⊥EF,OM=3 米,AB可以绕着点O自由旋转,当点A旋转到如图所示位置时∠AOM=45°,此时点B到水平地面EF的距离为 米.(结果保留根号)
14.(2024·济南模拟)如图,在 ABCD中,∠B=60°,AD=2AB=4,E,F分别为边AD,BC上两点,连接EF,将 ABCD沿EF翻折,A,B对应点分别为A',B',点C在直线A'B'上,且A'E⊥AD,则AE= .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)(-tan 45°)2 023-tan 60°÷cos 30°.
(2)tan 60°·sin 30°+-2|cos 60°-1|.
16.(8分)在△ABC中,AB=,tan∠ABC=,AC=2,求BC的长.
17.(8分)如图所示,在△ABC中,CD是边AB上的中线,∠B是锐角,且sin B=,tan A=,AC=3.
(1)求∠B的度数与AB的长;
(2)求tan∠CDB的值.
18.(8分)(2024·呼伦贝尔中考)综合实践活动中,数学兴趣小组利用无人机测量大楼的高度.如图,无人机在离地面40米的D处,测得操控者A的俯角为30°,测得楼BC楼顶C处的俯角为45°,又经过人工测量得到操控者A和大楼BC之间的水平距离是80米,则楼BC的高度是多少米 (点A,B,C,D都在同一平面内,参考数据:≈1.7)
19.(10分)如图,小文在数学综合实践活动中,利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB,在居民楼前方有一斜坡,坡长CD=15 m,斜坡的倾斜角为α,cos α=.小文在C点处测得楼顶端A的仰角为60°,在D点处测得楼顶端A的仰角为30°(点A,B,C,D在同一平面内).
(1)求C,D两点的高度差;
(2)求居民楼的高度AB.(结果保留根号)
20.(10分)已知在△ACD中,P是CD的中点,B是AD延长线上的一点,连接BC,AP.
(1)如图1,若∠ACB=90°,∠CAD=60°,BD=AC,AP=,求BC的长.
(2)过点D作DE∥AC,交AP的延长线于点E,如图2所示,若∠CAD=60°,BD=AC,求证:BC=2AP.
(3)如图3,若∠CAD=45°,是否存在实数m,当BD=mAC时,BC=2AP 若存在,请直接写出m的值;若不存在,请说明理由.
【附加题】(10分)
在△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C 的对边分别为a,b,c.
(1)若a=5,b=10,求sin A,cos A,sin B,cos B;
(2)若b=3,c=3,求sin A,cos A,sin B,cos B;
(3)通过(1)(2)我们不难发现有这样一个规律:sin2 A+cos2 A=1,请你利用所学过的知识来证明这一规律;
(4)由(1)(2)的计算你还发现了什么 用语言描述你的发现;
(5)试解决下列问题:
①求sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°的值;
②若sin α+cos α=,求sin α·cos α的值;
③∠A为锐角,化简.
