人教版九年级数学第一学期期末模拟测试题（含解析）

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人教版九年级数学第一学期期末模拟测试题
考试范围：人教版九年级第21章-第26章；考试时间：100分钟；总分：120分
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A．m≠0 B．m C．m D．m
3．一个不透明的袋子中有1个红球、2个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出1个球后放回，再随机摸出1个球，两次摸出的球都是黄球的概率（　　）
A． B． C． D．
4．如图，⊙O的半径为6，AB为弦，点C为的中点，若∠ABC＝30°，则弦AB的长为（　　）
A． B．6 C． D．
（4题图） （5题图） （7题图） （8题图）
5．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到△ADE，点B的对应点D恰好落在BC边上，若DE⊥AC，∠CAD＝25°，则旋转角α的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．在函数y（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，则下列各式中正确的是（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y1＜y3＜y2 D．y2＜y3＜y1
7．如图，正方形ABCD的边长为2，以BC为直径的半圆与对角线AC相交于点E，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
8．如图，平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y上，且0＜x1＜x2，分别过点A，点B作x轴的平行线，与双曲线y（k＞3）分别交于点C，点D．若△AOB的面积为，则的值为（　　）
A． B． C． D．
9．对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＞0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小．其中结论正确的个数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
10．如图，正方形ABCD中，AB＝8cm，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别从B，C两点同时出发，以1cm/s的速度沿BC，CD运动，到点C，D时停止运动，设运动时间为t（s），△OEF的面积为s（cm2），则S（cm2）与t（s）的函数关系可用图象表示为（　　）
A． B． C． D．
二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
11．若点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q在第三象限，那么m的取值范围是　 　．
12．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，C为切点，AB的延长线交直线CD于点E，连接AC，BC．若∠ACD＝60°，AC＝3，则BE的长度是 　 　．
（12题图） （13题图） （14题图） （15题图）
13．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，以边AB的中点O为圆心，作半圆与AC相切，点P、Q分别是边BC和半圆上的动点，连接PQ，则PQ长的最大值与最小值的和是　 　．
14．如图，点P（﹣2，3），过P作PC∥x轴，PB∥y轴，并分别交双曲线于C、B两点，连接OB、OC，若S四边形OBPC＝4，则k＝　 　．
15．如图，在正方形ABCD中，，点E在BC边上（不与端点重合），将△CDE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接AF，BF，当△ABF是等腰三角形时，CE的长等于 　 　．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．（8分）解方程：
（1）x2+4x﹣12＝0 （2）3（x﹣5）2＝2（x﹣5）
17．（9分）已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2（a+1）x+a2+5＝0的两实数根．
（1）若（m﹣1）（n﹣1）＝28，求a的值；
（2）已知等腰△ABC的一边长为7，若m，n恰好是△ABC另外两边的边长，求△ABC的周长．
18．（9分）阅读对一个人的成长的影响是巨大的，一本好书往往能改变人的一生．某中学为了解学生阅读课外书籍的情况，决定围绕“在艺术、科技、动漫、小说、其他五类课外书籍中，你最喜欢哪一类”的问题，在全校范围内随机抽取部分同学进行问卷调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
请根据图中信息解答下列问题：
（1）本次调查随机抽取的学生有 　 　人；
（2）请补全条形统计图；
（3）若该校共有1600名学生，请你估计这1600人中最喜欢“动漫”类书籍的有多少人？
（4）小东从图书馆借回2本动漫书和2本科技书放进一个空书包里准备回家阅读，他从书包里任取2本，用画树状图或列表的方法求恰好都是“科技”类图书的概率．
19．（9分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y相交于点A（﹣1，b）和点B．
（1）求k的值．
（2）点C是x轴上的一点，若△AOC的面积为3，求点C的坐标．
（3）若点M（a，m）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数y的图象上．根据图象直接写出m＞n时，a的取值范围．
20．（9分）如图在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点F，交AC于E．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若AE＝6，FB＝4，求⊙O的半径．
21．（10分）在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m，三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m时，球达到最大高度，然后准确落入篮圈，篮圈中心到地面的距离为3.05m，当建立如图所示的平面直角坐标系时，可知抛物线的表达式为y＝﹣0.09x2+3.86．
（1）请直接写出球达到的最大高度是多少？
（2）该运动员身高1.84m，在这次跳投中，球在头顶上方0.3m处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？
22．（10分）某经销商以每箱12元的价格购进一批消毒水进行销售，当每箱售价为26元时，日均销量为60箱．为了增加销量，该经销商准备适当降价．经市场调查发现，每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱．设每箱降价x元，日均销量为y箱．
（1）求日均销量y关于x的函数关系式．
（2）要使日均利润为800元，则每箱应降价多少元？
（3）促销后发现，该经销商每天的销售量不低于85箱．若每销售一箱消毒水可以享受政府m元（0＜m≤6）的补贴，且销售这种消毒水的日均最大利润为1020元，求m的值．
23．（11分）如图1，将一副三角板的直角重合放置，其中∠A＝30°，∠CDE＝45°．
（1）如图1，求∠EFB的度数；
（2）若三角板ACB的位置保持不动，将三角板CDE绕其直角顶点C顺时针方向旋转．
①当旋转至如图2所示位置时，恰好CD∥AB，则∠ECB的度数为　 　°；
②若将三角板CDE继续绕点C旋转，直至回到图1位置．在这一过程中，是否还会存在△CDE其中一边与AB平行？如果存在，请你画出示意图，并直接写出相应的∠ECB的大小；如果不存在，请说明理由．
参考答案
1．解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意；
C、是轴对称图形，是中心对称图形，此选项符合题意；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形，此选项不合题意；
选：C．
2．解：根据题意得，Δ＝b2﹣4ac＝[﹣（2m﹣1）]2﹣4m2＝﹣4m+1≥0，
解得：m，
选：B．
3．解：画树状图为：
共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的球都是黄球的结果数为4，
所以两次摸出的球都是黄球的概率为．
选：D．
4．解：如图，连接OB，OA，OC，OC交AB于E．
∵∠AOC＝2∠ABC＝2×30°＝60°，
∵点C为的中点，
∴OC⊥AB，
∴AE＝EB，
在Rt△AOE中，AE＝＝3，
∴AB＝2AE＝6，
选：D．
5．解：根据题意，
∵DE⊥AC，∠CAD＝25°，
∴∠ADE＝90°﹣25°＝65°，
由旋转的性质可得∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠ADB＝∠B＝65°，
∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，
∴旋转角α的度数是50°；
选：B．
6．解：∵y（k＜0）的图象上有A（1，y1）、B（﹣1，y2）、C（﹣2，y3）三个点，
∴1×y1＝k，﹣1×y2＝k，﹣2×y3＝k，
∴y1＝k，y2＝﹣k，y3k，
而k＜0，
∴y1＜y3＜y2．
选：C．
7．解：连接OE．
∵S△ADCAD CD2×2＝2，
S扇形OCEπ×12，
S△COE1×1，
∴S弓形CE，
∴阴影部分的面积为2﹣（）．
选：D．
8．解：如图，过点A作AF⊥x轴于点F，过点B作BH⊥x轴于点H，
∵A（x1，y1），点B（x2，y2）在双曲线y上，
∴AF，BH，FH＝x2﹣x1，S△AOF，S△BOH，
∴S梯形ABHFFH （AF+BH），
∵S△AOB＝S△AOF+S梯形ABHF﹣S△BOH，
∴x22﹣x12x1x2，即，
令t，则t，t＞1，
解得：t＝2或t（舍），
∴2，
∵AC∥BD∥x轴，点C，点D在双曲线y（k＞3）图象上，
∴点C（，），点D（，），
∴ACx1，BDx2，
∴，
选：C．
9．解：①由图象可知：a＞0，c＜0，
∵对称轴为直线：，
∴b＝﹣2a＜0，
∴abc＞0，①正确；
②∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②正确；
③∵对称轴为直线x＝1，则x＝0与x＝2的函数值相等，
∴当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，③错误；
④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣（﹣2a）+c＞0，
∴3a+c＞0，④正确；
⑤当x＝1时，y取到最小值，此时，y＝a+b+c，
而当x＝m时，y＝am2+bm+c，
所以a+b+c≤am2+bm+c，
a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），⑤正确，
⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，⑥正确，
综上，正确的是①②④⑤⑥共5个，
选：C．
10．解：根据题意BE＝CF＝t，CE＝8﹣t，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB＝OC，∠OBC＝∠OCD＝45°，
∵在△OBE和△OCF中
，
∴△OBE≌△OCF（SAS），
∴S△OBE＝S△OCF，
∴S四边形OECF＝S△OBC82＝16，
∴S＝S四边形OECF﹣S△CEF＝16（8﹣t） tt2﹣4t+16（t﹣4）2+8（0≤t≤8），
∴s（cm2）与t（s）的函数图象为抛物线一部分，顶点为（4，8），自变量为0≤t≤8．
选：B．
二．填空题（共10小题）
11．解：点P（m+1，8﹣2m）关于原点的对称点Q的坐标为（﹣m﹣1，﹣8+2m），
由题意得，，
解得，﹣1＜m＜4，
答案为：﹣1＜m＜4．
12．解：连接OC，
则OC＝OA＝OB，
∵CD与⊙O相切于点C，∠ACD＝60°，
∴CD⊥OC，
∴∠OCD＝∠OCE＝90°，
∴∠A＝∠OCA＝90°﹣∠ACD＝30°，
∴∠BOC＝2∠A＝60°，
∴∠E＝90°﹣∠BOC＝30°＝∠A，△BOC是等边三角形，
∴EC＝AC＝3，BC＝OB，∠OBC＝60°，
∴∠BCE＝∠OBC﹣∠E＝60°﹣30°＝30°＝∠E，
∴BE＝BC＝OB＝OC，
∴OE＝2BE，
∴，
∴，
答案为：．
13．解：如图，设⊙O与AC相切于点E，连接OE，作OP1⊥BC垂足为P1交⊙O于Q1，
此时垂线段OP1最短，P1Q1最小值为OP1﹣OQ1，
∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，
∴AB2＝AC2+BC2，
∴∠C＝90°，
∵∠OP1B＝90°，
∴OP1∥AC
∵AO＝OB，
∴P1C＝P1B，
∴OP1AC＝4，
∴P1Q1最小值为OP1﹣OQ1＝1，
如图，当Q2在AB边上时，P2与B重合时，P2Q2经过圆心，经过圆心的弦最长，
P2Q2最大值＝5+3＝8，
∴PQ长的最大值与最小值的和是9．
答案为：9．
14．解：∵点P（﹣2，3），过P作PC∥x轴，PB∥y轴，
∴当x＝﹣2时，y，当y＝3时，x，
∴点B、C的坐标为B（﹣2，），C（，3），
延长PB交x轴于点E，延长PC交y轴于点F，
则S四边形OBPC＝S矩形PEOF﹣S△OBE﹣S△OCF，
＝|﹣2|×3|﹣2| ||||×3，
＝6﹣|k|，
根据图象可得k＜0，
又∵S四边形OBPC＝4，
∴6+k＝4，
解得k＝﹣2．
答案为：﹣2．
15．解：当△ABF是等腰三角形时，有三种情况：
①AB＝AF，如图，
过点F作GH⊥BC交AD于G，交BC于H，
∵四边形ABCD是正方形，AD，
∴四边形ABHG和四边形CDGH都是矩形，
∴GH＝AB＝DC＝AD，
∵将△CDE沿DE折叠，使点C落在点F处，
∴DF＝DC＝AF＝AD，FE＝CE，
∴HC＝GDAD，FGGD，
∴FH＝GH﹣FG，EH＝HC﹣ECEC，
在Rt△EFH中，
由勾股定理，得FH2+EH2＝EF2，
即（）2+（CE）2＝CE2，
解得CE；
②FA＝FB，如图，
过点F作GH⊥BC交AD于G，交BC于H，
则∠FAB＝∠FBA，
∵四边形ABCD是正方形，AD，
∴四边形ABHG和四边形CDGH都是矩形，
∴GH＝AB＝DC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠AGF＝∠BHF＝90°，AG＝BH，
∴∠FAG＝∠FBH，
∴△FAG≌△FBH（AAS），
∴FG＝FH，
∵将△CDE沿DE折叠，使点C落在点F处，
∴DF＝DC＝AD，EF＝EC，
在Rt△DFH中，
由勾股定理，得DG，
∴CH，HE＝CH﹣CECE，
在Rt△EFH中，
由勾股定理，得FH2+EH2＝EF2，
即（）2+（CE）2＝CE2，
解得CE＝1；
③BF＝BA，此时点E与点B重合，不合题意，
综上，CE或1．
答案为：或1．
三．解答题（共8小题，满分75分）
16．解：（1）∵（x﹣2）（x+6）＝0，
∴x﹣2＝0或x+6＝0，
解得：x＝2或x＝﹣6；
（2）∵3（x﹣5）2﹣2（x﹣5）＝0，
∴（x﹣5）（3x﹣17）＝0，
则x﹣5＝0或3x﹣17＝0，
解得：x＝5或x．
17．解：（1）由根与系数关系得：m+n＝2（a+1），mn＝a2+5
依题意得：（m﹣1）（n﹣1）＝28，
mn﹣m﹣n+1＝28，
a2+5﹣2（a+1）+1＝28，
a2﹣2a﹣24＝0，
解得：a1＝6，a2＝﹣4，
由△≥0得：[﹣2（a+1）]2﹣4（a2+5）≥0，
a≥2，
∴a＝6；
（2）分两种情况：
①当m＝7或n＝7时，即方程有一根为7，把x＝7代入方程得：49﹣14（a+1）+a2+5＝0，
整理得a2﹣14a+40＝0，解得a1＝10，a2＝4，
当a＝10时，x1+x2＝2（a+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，舍去；
当a＝4时，x1+x2＝2（a+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
②当m＝n时，即方程有两个相等实根，x1＝x2，则Δ＝0，a＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，舍去，
所以这个三角形的周长为17．
18．解：（1）∵抽样人数为2÷4%＝50（人）．
答案为：50；
（2）∵抽样人数为50人，
∴小说类的人数为50×40%＝20（人），
补全条形统计图如下：
（3）∵抽样人数为50人，
∴动漫的百分比为12÷50＝24%，
∴喜欢动漫类书籍的人数约为1600×24%＝384（人），
答：估计这1600人中最喜欢动漫类书籍的有384人；
（4）画树状图如下：
由图知，共有12种等可能结果，其中都是“科技类”图书的有2种结果，
∴都是科技类图书的概率为．
19．解：（1）∵正比例函数y＝﹣2x经过点A（﹣1，b），
∴b＝﹣2×（﹣1）＝2，
∴A（﹣1，2），
∵点A在反比例函数y图象上，
∴k＝﹣1×2＝﹣2；
（2）∵点C是x轴上的一点，△AOC的面积为3，
∴OC yA＝3，即OC 2＝3，
∴OC＝3，
∴点C的坐标为（﹣3，0）或（3，0）；
（3）∵正比例函数y＝﹣2x与反比例函数y相交于点A（﹣1，2）和点B，
∴B（1，﹣2），
∵点M（a，m）在正比例函数y＝﹣2x的图象上，点N（a，n）在反比例函数y的图象上，
∴MN∥y轴，
由图象可知，当m＞n时，a的取值范围a＜﹣1或0＜a＜1．
20．解析：（1）连结AD、OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，即AD⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BD＝CD，
而OA＝OB，
∴OD为△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵EF是⊙O的切线；
∴OD⊥EF
OD∥AC，
∴EF⊥AC；
（2）设⊙O的半径为R，
∵OD∥AE，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
∴R＝4或（﹣3舍弃）．
∴⊙O的半径为4．
21．解：（1）依题意，当球运行的水平距离为4m时，球达到最大高度，即x＝0时，取得最大值，
将x＝0，代入y＝﹣0.09x2+3.86，
解得：y＝3.86．
∴球达到的最大高度是3.86 m．
（2）设运动员跳离地面高度为hm，
将x＝﹣4代入二次函数y＝﹣0.09x2+3.86，
得h+1.84+0.3＝﹣0.09×16+3.86，
解得h＝0.28．
答：运动员跳离地面的高度是0.28 m．
22．解：（1）∵每箱消毒水降价1元，则可以多销售5箱，每箱降价x元，
∴日均销量多销售5x箱，
∴日均销量y关于x的函数关系式为y＝5x+60．
（2）由题意得：
（26﹣x﹣12）（5x+60）＝800，
整理得：x2﹣2x﹣8＝0，
解得x1＝4，x2＝﹣2（不合题意，舍去）；
∴要使日均利润为800元，则每箱应降价4元．
（3）由题意得5x+60≥85，
∴x≥5，
设销售这种消毒水的日均利润为w元，由题意得：
w＝（26﹣x﹣12）（5x+60）+m（5x+60）
＝（5x+60）（14﹣x+m）
＝﹣5x2+10x+840+5mx+60m
＝﹣5x2+（10+5m）x+840+60m，
∵﹣5＜0，抛物线开口向下，
∴当x1时，w有最大值，
∵0＜m≤6，
∴对称轴取值范围小于等于4，
∴当x＝5时，w取最大值，即（5×5+60）（14﹣5+m）＝1020，
解得m＝3．
23．解：（1）∵∠A＝30°，∠CDE＝45°，
∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∠E＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EFB＝∠ABC﹣∠E＝60°﹣45°＝15°；
（2）①∵CD∥AB，
∴∠ACD＝∠A＝30°，
∵∠ACD+∠ACE＝∠DCE＝90°，
∠ECB+∠ACE＝∠ACB＝90°，
∴∠ECB＝∠ACD＝30°；
②如图1，CE∥AB，∠ACE＝∠A＝30°，
∠ECB＝∠ACB+∠ACE＝90°+30°＝120°；
如图2，DE∥AB时，延长CD交AB于F，
则∠BFC＝∠D＝45°，
在△BCF中，∠BCF＝180°﹣∠B﹣∠BFC，
＝180°﹣60°﹣45°＝75°，
∴∠ECB＝∠BCF+∠ECF＝75°+90°＝165°；
如图3，CD∥AB时，∠BCD＝∠B＝60°，
∠ECB＝∠BCD+∠EDC＝60°+90°＝150°；
如图4，CE∥AB时，∠ECB＝∠B＝60°，
如图5，DE∥AB或DE与AB在同一条直线上时，∠ECB＝60°﹣45°＝15°．
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