训练卷 高中数学卷（A）
23 随机变量及其分布
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．某学生通过某种数学游戏的概率为，他连续操作2次，则恰有1次通过的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．如果随机变量，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量，则（ ）
A．1 B．2 C． D．4
4．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）
（已知若，则，，）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
5．在—次实验中，同时抛掷4枚均匀的硬币16次，设4枚硬币正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的次数为，则的方差是（ ）
A．3 B．4 C．1 D．
6．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
7．设是一个离散型随机变量，其分布列为：
0 1
则等于（ ）
A．1 B． C． D．
8．已知随机变量的分布列为
则的值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知随机变量，且，，则，值为（ ）
A．8， B．6， C．12， D．5，
10．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）
A． B． C． D．
11．盒子里共有7个除了颜色外完全相同的球，其中有4个红球3个白球，从盒子中任取3个球，则恰好取到2个红球1个白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设随机变量服从正态分布，若，则函数有极值点的概率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件三个人去的景点各不相同，事件甲独自去一个景点，则__________．
14．设，则__________．
15．已知随机变量服从正态分布，且，则__________．
16．已知离散型随机变量的分布列为
0 1 2
则变量的数学期望_________，方差____________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）“酒后驾车”和“醉酒驾车”，其检测标准是驾驶人员血液中的酒精含量(简称血酒含量，单位是毫克毫升)，当时，为酒后驾车；当时，为醉酒驾车．某市交通管理部门于某天晚上8点至11点设点进行一次拦查行动，共依法查出了60名饮酒后违法驾驶机动车者，如图为这60名驾驶员抽血检测后所得结果画出的频率分布直方图(其中的人数计入人数之内)．
（1）求此次拦查中醉酒驾车的人数；
（2）从违法驾车的60人中按酒后驾车和醉酒驾车利用分层抽样抽取8人做样本进行研究，再从抽取的8人中任取3人，求3人中含有醉酒驾车人数的分布列和数学期望．
18．（12分）根据以往的经验，某建筑工程施工期间的降水量（单位：）对工期的影响如下表：
根据某气象站的资料，某调查小组抄录了该工程施工地某月前20天的降水量的数据，绘制得到降水量的折线图，如下图所示．
（1）根据降水量的折线图，分别求该工程施工延误天数，，，的频率；
（2）以（1）中的频率作为概率，求工期延误天数的分布列及数学期望与方差．
19．（12分）某市举行“中学生诗词大赛”海选，规定：成绩大于或等于90分的具有参赛资格，
某校有800名学生参加了海选，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图：
（1）求获得参赛资格的人数；
（2）若大赛分初赛和复赛，在初赛中每人最多有5次选题答题的机会，累计答对3题或答错3题即终止，答对3题者方可参加复赛，已知参赛者即答对每一个问题的概率都相同，并且相互之间没有影响，已知他连续两次答错的概率为，求甲在初赛中答题个数的分布列及数学期望．
20．（12分）某水产养殖基地要将一批海鲜用汽车从所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到城市乙只有两条公路，且运费由水产养殖基地承担．若水产养殖基地恰能在约定日期（×月×日）将海鲜送达，则销售商一次性支付给水产养殖基地40万元；若在约定日期前送到，每提前一天销售商将多支付给水产养殖基地2万元；若在约定日期后送到，每迟到一天销售商将少支付给水产养殖基地2万元．为保证海鲜新鲜度，汽车只能在约定日期的前两天出发，且只能选择其中的一条公路运送海鲜，已知下表内的信息：
不堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） 堵车的情况下到达城市乙所需时间（天） 堵车的概率 运费（万元）
公路1 2 3 2
公路2 1 4 1
（注：毛利润销售商支付给水产养殖基地的费用运费）
（1）记汽车走公路1时水产养殖基地获得的毛利润为（单位：万元），求的分布列和数学期望．
（2）假设你是水产养殖基地的决策者，你选择哪条公路运送海鲜有可能让水产养殖基地获得的毛利润更多？
21．（12分）甲、乙两人轮流射击，每人每次射击一次，先射中者获胜，射击进行到有人获胜或每人都已射击3次时结束．设甲每次射击命中的概率为，乙每次射击命中的概率为，且每次射击互不影响，约定由甲先射击．
（1）求甲获胜的概率；
（2）求射击结束时甲的射击次数的分布列和数学期望．
22．（12分）某学校为了制定治理学校门口上学、放学期间家长接送孩子乱停车现象的措施，对全校学生家长进行了问卷调查，根据从其中随机抽取的50份调查问卷，得到了如下的列联表．
同意限定区域停车 不同意限定区域停车 合计
男 18 7 25
女 12 13 25
合计 30 20 50
（1）学校计划在同意限定区域停车的家长中，按照分层抽样的方法，随机抽取5人在上学、放学期间在学校门口参与维持秩序，在随机抽取的5人中，选出2人担任召集人，求至少有一名女性的概率？
（2）已知在同意限定区域停车的12位女性家长中，有3位日常开车接送孩子，现从这12位女性家长中随机抽取3人参与维持秩序，记参与维持秩序的女性家长中，日常开车接送孩子的女性家长人数为，求的分布列和数学期望．
训练卷 高中数学卷答案（A）
23 随机变量及其分布
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】由二项分布得，故选C．
2．【答案】C
【解析】，
所以，．故选C．
3．【答案】C
【解析】∵随机变量，∴可得随机变量方差是，
∴的值为，故选C．
4．【答案】C
【解析】由题意可得，，所以的人数为，
的人数为，所以的人数为2280．故选C．
5．【答案】A
【解析】抛掷4枚均匀的硬币1次，正好出现3枚正面向上，1枚反面向上的概率为 ，因为，所以的方差是，选A．
6．【答案】A
【解析】∵，∴．
∴，∴．故答案为A．
7．【答案】C
【解析】由分布列的性质得，∴，所以等于，故选C．
8．【答案】C
【解析】，
，选C．
9．【答案】B
【解析】，选B．
10．【答案】B
【解析】∵，∴，∴，
∴．故选B．
11．【答案】B
【解析】由题意得所求概率为．选B．
12．【答案】C
【解析】函数有极值点，∴有解，
∴，∴，
∵随机变量服从正态分布，若，
∴．故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】甲独自去一个景点，则有3个景点可选，乙，丙只能在甲剩下的哪两个景点中选择，可能性为，所以甲独自去一个景点的可能性为3×2×2=12，
因为三个人去的景点不同的可能性为，所以．故答案为．
14．【答案】
【解析】由正态分布中三个特殊区间上的概率知，
∴．故答案为．
15．【答案】
【解析】由正态分布曲线特征有，
所以．
16．【答案】1，．
【解析】，解得：，
所以期望，．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）15；（2）见解析，．
【解析】（1）由已知得，，，
所以此次拦查中醉酒驾车的人数为15人．
（2）易知利用分层抽样抽取8人中含有醉酒驾车者为2人，
所以的所有可能取值为0，1，2．
，，，
X的分布列为
∴．
18．【答案】（1），，，；（2），．
【解析】（1）∵的天数为10，∴的频率为．
∵的天数为6，∴的频率为．
∵的天数为2，∴的频率为．
∵的天数为2，∴的频率为．
（2）的分布列为
．
．
19．【答案】（1）520；（2）．
【解析】（1）由题意知之间的频率为
，，
故获得参赛资格的人数为．
（2）设甲答对每一个问题的概率为，则，解得．
甲在初赛中答题个数的所有值为3，4，5．
，
；
．
故的分布列为
数学期望．
20．【答案】（1）见解析，；（2）走公路2可让水产养殖基地获得更多利润．
【解析】（1）由题意知，不堵车时万元，堵车时万元．
∴ 随机变量的分布列为：
38 36
∴万元．
（2）设走公路2利润为，
由题意得，不堵车时万元，万元，
∴随机变量的分布列为：
41 35
∴万元，∴．
∴走公路2可让水产养殖基地获得更多利润．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）记甲第次射中获胜为，
则彼此互斥，甲获胜的事件为．
∵，，，
∴．即甲获胜的概率为．
（2）所有可能取的值为1，2，3．
则，，
．
得的概率分布为
1 2 3
∴的数学期望．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意知，男性选出人，
女性选出人，共5人参与维持秩序，
所以选出2人担任招集人，求至少有一名女性的概率为．
（2）由题意知，同意限定区域停车的12位女性家长中，选出参与维持秩序的女性家长人数为3人．
随机变量的所有可能取值为0，1，2，3，
所以，，，
，
因此的分布列为
0 1 2 3
所以的期望为．训练卷 高中数学卷（B）
23 随机变量及其分布
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．
2．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图是在竖直平面内的一个“通道游戏”,图中竖直线段和斜线段都表示通道,并且在交点处相通,假设一个小弹子在交点处向左或向右是等可能的．若竖直线段有一条的为第一层,有两条的为第二层,……,依此类推,现有一颗小弹子从第一层的通道里向下运动．则该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率是（ ）
A． B． C． D．
4．从装有形状大小相同的3个黑球和2个白球的盒子中依次不放回地任意抽取3次，若第二次抽得黑球，则第三次抽得白球的概率等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知，两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从，盒中各取一个球，表示所取的个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
6．2018年元旦期间，某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数（单位：辆）均服从正态分布，若，假设三个收费口均能正常工作，则这个收费口每天至少有一个超过700辆的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．设随机变量，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是（ ）
注：若，则，．
A．6038 B．6587 C．7028 D．7539
8．某班级有男生人，女生人，现选举名学生分别担任班长、副班长、团支部书记和体育班委．男生当选的人数记为，则的数学期望为（ ）
A． B． C． D．
9．已知为正方形，其内切圆与各边分别切于，，，，连接，，，．现向正方形内随机抛掷一枚豆子，记事件：豆子落在圆内，事件：豆子落在四边形外，则（ ）
A． B． C． D．
10．已知随机变量的概率分布列为(为常数，)，，，，，
则（ ）
A． B． C． D．
11．盒中有红球5个，白球11个，其中红球中有2个玻璃球，3个木质球；白球中有4个玻璃球，7个木质球，现从中任取一球，假设每个球摸到的可能性相同，若已知取到的球是玻璃球，则它是白球的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．日期间，某种鲜花的进价是每束元，售价是每束5元，节后对没有卖出的鲜花以每束元处理．根据前5年节日期间对这种鲜花销售情况的统计，市场需求量(束)的分布如图所示，若购进这种鲜花500束在今年节日期间销售，则期望利润是（ ）
A．676元 B．698元 C．706元 D．756元
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知随机变量服从正态分布，且，则 ．
14．已知随机变量服从正态分布，若，则______．
15．甲、乙两人独立地破译一密码，他们能单独破译该密码的概率分别是，，假设他们破译密码彼此没有影响，则该密码被破译的概率为了__________．
16．一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中，的各位数字中，出现0的概率为，出现1的概率为，若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分．则100次重复试验的总得分的方差为___________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）某市开展支教活动，有五名教师被随机的分到，，三个不同的郊区中学，且每个郊区中学至少一名教师．
（1）求甲乙两名教师同时分到一个中学的概率；
（2）求中学分到两名教师的概率；
（3）设随机变量为这五名教师分到中学的人数，求的分布列和数学期望．
18．（12分）袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，每次摸取个球，取出的球不放回，直到其中有一人取到白球时终止．用表示取球终止时取球的总次数．
（1）求袋中原有白球的个数;
（2）求随机变量的概率分布及数学期望．
19．（12分）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：
电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类
电影部数 140 50 300 200 800 510
好评率 0．4 0．2 0．15 0．25 0．2 0．1
好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．
假设所有电影是否获得好评相互独立．
（1）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；
（2）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；
（3）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点．
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
①若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
②以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等问题，拟定出台“延迟
退休年龄政策”．为了了解人们]对“延迟退休年龄政策”的态度，责成人社部进行调研．
人社部从网上年龄在15～65岁的人群中随机调查100人，调査数据的频率分布直方图和
支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下：
年龄
支持“延迟退休”的人数 15 5 15 28 17
（1）由以上统计数据填列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0．05的前提下
认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异；
45岁以下 45岁以上 总计
支持
不支持
总计
（2）若以45岁为分界点，从不支持“延迟退休”的人中按分层抽样的方法抽取8人参加某项活动．现从这8人中随机抽2人
①抽到1人是45岁以下时，求抽到的另一人是45岁以上的概率．
②记抽到45岁以上的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
参考数据：
，其中．
22．（12分）如图是两个独立的转盘，，在两个图中的四个扇形区域的圆心角分别为、、、．用这两个转盘进行玩游戏，规则是：同时转动两个转盘待指针停下（当两个转盘中任意一个指针恰好落在分界线时，则这次转动无效，重新开始），记转盘指针所对的区域数为，转盘指针所对的区域数为，，设的值为，每一次游戏得到奖励分为．
（1）求且的概率；
（2）某人进行了次游戏，求他平均可以得到的奖励分．
训练卷 高中数学卷答案（B）
23随机变量及其分布
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】随机变量服从正态分布，∴正态曲线关于对称，
∵，∴，
∴，故选C．
2．【答案】B
【解析】∵，∴或
∵，
∴,可知故答案选B．
3．【答案】C
【解析】根据题意可知，每一个分叉处小球落入那一个通道的概率是相同的，
故该小弹子落入第四层从左向右数第3个竖直通道的概率为，故选C．
4．【答案】D
【解析】．故选D．
5．【答案】B
【解析】由题意可得：表示红球的个数，则可能取的值为：0，1，2，
根据题意可得：，，
，
所以的分布列为：
0 1 2
所以，
所以，并且，
所以当时，取最大值．故答案为B．
6．【答案】C
【解析】根据正态曲线的对称性，每个收费口超过700辆的概率为：
，
∴这三个收费口每天至少有一个超过700辆的概率，故选C．
7．【答案】B
【解析】∵，∴，，，
∵，∴，
则，∴阴影部分的面积为．
∴正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是6587．故选B．
8．【答案】C
【解析】由题得0，1，2，3，4．
，，，
，．
所以．故答案为C．
9．【答案】C
【解析】设正方形的边长为，则圆的半径为，其面积为，
设正方形的边长为，则，其面积为，
则在圆内且在内的面积为，
所以，故选C．
10．【答案】C
【解析】由，解得，
∴，故选C．
11．【答案】A
【解析】记“取到白球”为事件，“取到玻璃球”为事件，
则“已知取到的球是玻璃球，它是白球”的概率为，
∵ ，，∴，故选A．
12．【答案】C
【解析】设今年节日期间销售利润为，则，
∵，
∴，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】∵，，
∴，．
14．【答案】
【解析】由正态分布概率密度曲线的对称性可知，，
故答案是．
15．【答案】
【解析】两人独立地破译一个密码，能译出的概率分别为，，密码被译出的对立事件是密码不能被译出，而密码不能被译出的情况是：两个人同时不能破译这个密码，
所以密码被译出的概率为，故答案是．
16．【答案】
【解析】启动一次出现数字为的概率由题意知变量符合二项分布，
根据成功概率和实验的次数的值，有
∴的数学方差为．设得分为，
所以．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）；（3）见解析，．
【解析】（1）设“甲乙两名教师同时分到一个中学为”事件，
基本事件总数，所以．
（2）设“中学分到两名教师”为事件，则．
（3）由题意知的取值为1,2,3．
则有：，，．
∴的分布列为：数学期望．
18．【答案】（1）6；（2）见解析，．
【解析】解：（1）设袋中原有个白球，则从个球中任取个球都是白球的概率为，
由题意知，即，化简得，
解得(舍去)，故袋中原有白球的个数为．
（2）由题意，的可能取值为1，2，3，4．
；；；
．
所以取球次数的概率分布列为：
X 1 2 3 4
所求数学期望为．
19．【答案】（1）；（2）；（3）．
【解析】（1）由题意知，样本中电影的总部数是，
第四类电影中获得好评的电影部数是．故所求概率为．
（2）设事件为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”，
事件为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”．
故所求概率为．
由题意知：估计为，估计为．
故所求概率估计为．
（3）．
20．【答案】（1）；（2）①，②应对余下的产品作检验．
【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为．
因此．
令，得．当时，；当时，．
所以的最大值点为．
（2）由（1）知，
①令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，
即．所以．
②如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元．
由于，故应该对余下的产品作检验．
21．【答案】（1）有差异，见解析；（2）①，②．
【解析】（1）由频率分布直方图知45岁以下与45岁以上各50人，故填充列联表如下：
45岁以下 45岁以上 总计
支持 35 45 80
不支持 15 5 20
总计 50 50 100
因为的观测值，
所以在犯错误的概率不超过的前提下认为以45岁为分界点的不同人群对“延迟退休
年龄政策”的支持度有差异．
（2）①抽到1人是45岁以下的概率为，抽到1人是45岁以下且另一人是45岁以
上的概率为，故所求概率．
②从不支持“延迟退休”的人中抽取8人，则45岁以下的应抽6人，45岁以上的应抽2人．
所以的可能取值为0，1，2．
，，．
故随机变量的分布列为：
0 1 2
所以．
22．【答案】（1）；（2）分．
【解析】（1）由题意可知：，，，；
，，，；
则，，
所以．
（2）由条件可知的可能取值为：2，3，4，5，6，7，8．
则：，
，
同理可得：，，，
，．
∴的分布列为：
他平均一次得到的奖励分即为的期望值：
．
所以给他玩次平均可以得到分．
