训练卷 高中数学卷（A）
26 坐标系与参数方程
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．直线的斜率为（ ）
A．1 B． C． D．
2．点的极坐标为,则的直角坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．在极坐标系中，方程表示的曲线是（ ）
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
4．参数方程的普通方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．点的直角坐标是，则点的极坐标为（ ）
A． B．
C． D．
6．与极坐标表示的不是同一点的极坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．点的直线坐标为，则它的极坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
8．圆半径是1，圆心的极坐标是，则这个圆的极坐标方程是（ ）
A． B． C． D．
9．若曲线（为参数）与曲线相交于，两点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知曲线的参数方程为（为参数），则该曲线离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．在极坐标系中，设圆与直线交于，两点，则以线段为直径的圆的极坐标方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．在平面直角坐标系中以原点为极点，以轴正方向为极轴建立的极坐标系中，直线与曲线相交，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．但
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．在直角坐标系中，点到直线（为参数）的距离是__________．
14．极坐标方程化为直角坐标方程是_______
15．在极坐标系中，直线与圆相切，则__________．
16．点在椭圆上，求点到直线的最大距离是_______________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在极坐标系下，已知曲线：和曲线：．
（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；
（2）当时，求曲线和曲线公共点的一个极坐标．
18．（12分）已知曲线的极坐标方程是，在以极点为原点，极轴为轴的正半轴的平面直角坐标系中，将曲线所有点的横坐标伸长为原来的3倍，得到曲线．
（1）求曲线的参数方程；
（2）直线过点，倾斜角为，与曲线交于、两点，求的值．
19．（12分）在平面直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）设点在曲线上，点在曲线上，求的最大值．
20．（12分）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求曲线的普通方程；
（2）极坐标方程为的直线与交，两点，求线段的长．
21．（12分）在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线相交于，两点，求的面积．
22．（12分）在直角坐标系中．直线：，圆：，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）求，的极坐标方程；
（2）若直线的极坐标方程为，设与的交点为，，求的面积
训练卷 高中数学卷答案（A）
26 坐标系与参数方程
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】由，可得，斜率．故选C．
2．【答案】D
【解析】设点，根据直角坐标与极坐标之间的互化公式，
可得，，即点的坐标为，故选D．
3．【答案】B
【解析】方程，可化简为：，即．
整理得，表示圆心为，半径为的圆．故选B．
4．【答案】C
【解析】由题意可知：，，
且，据此可得普通方程为．故选C．
5．【答案】C
【解析】由于，得，，
由，得，结合点在第二象限，可得，
则点的坐标为，故选C．
6．【答案】B
【解析】点在直角坐标系中表示点，
而点在直角坐标系中表示点，
所以点和点表示不同的点，故选B．
7．【答案】C
【解析】，，
因为点在第二象限，故取，，故选C．
8．【答案】C
【解析】极坐标方程化为直角坐标方程可得圆心坐标为：，
则圆的标准方程为：，即，
化为极坐标方程即：，整理可得：．故选C．
9．【答案】C
【解析】曲线的普通方程为，
曲线的直角坐标方程为，圆心到直线的距离为，
又，∴，故选C．
10．【答案】A
【解析】由题得曲线的普通方程为，所以曲线是椭圆，，．
所以椭圆的离心率为．故选A．
11．【答案】A
【解析】以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，
则由题意，得圆的直角坐标方程，直线的直角坐标方程．
由，解得或，所以，，
从而以为直径的圆的直角坐标方程为，
即．将其化为极坐标方程为：，
即，故选A．
12．【答案】C
【解析】所以，故选C．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】直线一般方程为，利用点到直线距离公式，填．
14．【答案】
【解析】极坐标方程即：，则直角坐标方程是．
15．【答案】
【解析】圆，转化成，
用，，，转化成直角坐标方程为，
把直线的方程转化成直角坐标方程为，
由于直线和圆相切，∴利用圆心到直线的距离等于半径，
则，解得，，则负值舍去，故，故答案为．
16．【答案】
【解析】设点的坐标为，
则点到直线的，
由，∴当时，取得最大值为，
故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）：，：；（2）．
【解析】（1）圆：，即，
曲线的直角坐标方程为：，即，
曲线：，即，
则曲线的直角坐标方程为：，即．
（2）由，得，
则曲线和曲线公共点的一个极坐标为．
18．【答案】（1），（为参数）；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的直角坐标方程为．
∴曲线的参数方程为，（为参数）．
（2）设的参数方程为，
代入曲线的方程化简得，∴．
19．【答案】（1）：（为参数），：；（2）．
【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），
的直角坐标方程为，即．
（2）由（1）知，曲线是以为圆心，1为半径的圆．
设，则
．
当时，取得最大值．
又因为，当且仅当，，三点共线，且在线段上时，等号成立．
所以．
20．【答案】（1）；（2）2．
【解析】（1）曲线的参数方程为（为参数），
可得，．因为，可得：．
即曲线的普通方程：．
（2）将的直线化为普通方程可得：
，即，
因为直线与交，两点，曲线的圆心，半径，
圆心到直线的距，
所以线段的长．
21．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）因为，
所以曲线的直角坐标方程为．
（2）将直线的参数方程（为参数）代入曲线的直角坐标方程，
得，设，两点对应的参数分别为，，则，，
于是，
直线的普通方程为，则原点到直线的距离，
所以．
22．【答案】（1）：，：；（2）．
【解析】（1）因为，，
所以的极坐标方程为，
的极坐标方程为．
（2）将代入，
得，解得，．
故，即．
由于的半径为1，所以是直角三角形，其面积为．单元训练卷 高中数学卷（B）
26坐标系与参数方程
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若直线与圆相切，则（ ）
A．或6 B．或4 C．或9 D．或1
2．椭圆的参数方程为，则它的两个焦点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．直线的参数方程为，则直线的倾斜角大小为（ ）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为．若以射线为极轴建立极坐标系，则曲线的极坐标方程为（ ）
A． B． C． D．
5．在极坐标系中,圆的垂直于极轴的两条切线方程分别为（ ）
A．和 B．和
C．和 D．和
6．已知点的极坐标为，则点关于直线的对称点坐标为（ ）
A． B． C． D．
7．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
8．若曲线C的参数方程为，则曲线（ ）
A．表示直线 B．表示线段 C．表示圆 D．表示半个圆
9．已知为曲线上的动点，设为原点，则的最大值
是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，是曲线上的动点．以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，若曲线的极坐标方程为，则点到的距离的最大值为（ ）
A． B． C． D．
11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是，以射线为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是，则直线与曲线相交所得的弦的长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知点在曲线上，则点到直线的距离的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．在极坐标系中，点与圆的圆心的距离为_________．
14．若点在以为焦点的抛物线上，则等于_________．
15．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位．
已知直线极坐标方程为，它与曲线相交于两点、，
则__________．
16．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点为，动点在抛物线上．
以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，动点在圆上，
则的最小值为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）在直角坐标平面内，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．
已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为．
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）若点在曲线上，且到直线的距离为1，求满足这样条件的点的个数．
18．（12分）在平面直角坐标系中，倾斜角为的直线的参数方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）已知点，若点的极坐标为，直线经过点且与曲线相交于，两点，
设线段的中点为，求的值．
19．（12分）已知曲线的参数方程为，在同一平面直角坐标系中，将曲线上的点按坐标变换得到曲线．
（1）求的普通方程；
（2）若点在曲线上，点，当点在曲线上运动时，求中点的轨迹方程．
20．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线．
（1）写出曲线，的普通方程；
（2）过曲线的左焦点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求．
21．（12分）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为，
以为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）求已知曲线和曲线交于，两点，且，求实数的值．
22．（12分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为，
以原点为极点，以轴非负半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）写出曲线的极坐标方程；
（2）设直线（为任意锐角）、分别与曲线交于，两点，试求面积的最小值．
单元训练卷 高中数学卷答案（B）
26 坐标系与参数方程
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】A
【解析】把直线与圆的参数方程分别化为普通方程得：直线：；圆：．
∵此直线与该圆相切，∴，解得或6．故选A．
2．【答案】A
【解析】消去参数可得椭圆的标准方程，
所以椭圆的半焦距，两个焦点坐标为，故选A．
3．【答案】C
【解析】将直线的参数方程化成普通方程可得，
所以直线的斜率，从而得到其倾斜角为，故选C．
4．【答案】D
【解析】由得曲线普通方程为，
又由，可得曲线的极坐标方程为，故选D．
5．【答案】B
【解析】如图所示，在极坐标系中，圆是以为圆心，1为半径的圆
故圆的两条切线方程分别为，，故选B．
6．【答案】A
【解析】点的极坐标为，即为，
∴点关于直线的对称点坐标为，故选A．
7．【答案】C
【解析】，，圆心到直线的距离，
∴两曲线相交，有2个交点．故选C．
8．【答案】D
【解析】将参数方程消去参数可得．
又，∴．∴曲线表示圆的右半部分．故选D．
9．【答案】D
【解析】从曲线的参数方程中消去，则有，故曲线为圆，而，故的最大值为，故选D．
10．【答案】B
【解析】由曲线的极坐标方程为，
可得曲线的直角坐标方程为，
由曲线的参数方程，设曲线上点的坐标为，
由点到直线的距离公式可得，
当时，取得最大值，此时最大值为，故选B．
11．【答案】C
【解析】曲线的参数方程是，
化为普通方程为：，表示圆心为，半径为2的圆．
直线的极坐标方程是，化为直角坐标方程即为：．
圆心到直线的距离为：．
直线与曲线相交所得的弦的长为：．故选C．
12．【答案】D
【解析】直线的普通方程为，
点到直线距离为 ，
因为，所以 因此取值范围是，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】2
【解析】由题得点的坐标为，
∵，∴，∴，∴．
∴圆心的坐标为，∴点到圆心的距离为，故答案为2．
14．【答案】4
【解析】抛物线可化为，
∵点在以为焦点的抛物线，上，
∴，∴，∵，∴，故答案为4．
15．【答案】2
【解析】∵，利用，进行化简，
∴，，相消去可得圆的方程为：
得到圆心，半径为3，
圆心到直线的距离，
∴，∴线段的长为2，故答案为2．
16．【答案】4
【解析】∵抛物线的参数方程为，
∴抛物线的普通方程为，则，
∵动点在圆上，∴圆的标准方程为
过点作垂直于抛物线的准线，垂足为，如图所示：
∴
分析可得：当为抛物线的顶点时，取得最小值，其最小值为4．故答案为4．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）3个．
【解析】（1）由得，
故曲线的直角坐标方程为：，即．
（2）由直线的参数方程消去参数得，即．
因为圆心到直线的距离为，恰为圆半径的，
所以满足这样条件的点的个数为3个．
18．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）消去直线的参数方程中的参数，
得到直线的普通方程为：，
把曲线的极坐标方程左右两边同时乘以，
得到：，
利用公式代入，化简出曲线的直角坐标方程：．
（2）点的直角坐标为，将点的直角坐标为代入直线中，
得，即，联立方程组：，得中点坐标为，
从而．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）将代入，得的参数方程为，
∴曲线的普通方程为．
（2）设，，又，且中点为，
∴，又点在曲线上，∴代入的普通方程得，
∴动点的轨迹方程为．
20．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1），
即曲线的普通方程为，
∵，，，曲线的方程可化为，
即．
（2）曲线左焦点为直线的倾斜角为，，
∴直线的参数方程为将其代入曲线整理可得，
∴．设，对应的参数分别为，，则∴，．
∴．
21．【答案】（1），；（2）或．
【解析】（1）的参数方程，消参得普通方程为，
的极坐标方程化为，即．
（2）将曲线的参数方程标准化为代入曲线
得，由，得，
设，对应的参数为，，由题意得即或，
当时，，解得，当时，解得，
综上：或．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由，将曲线的参数方程，消参得
，又，，所以，
化简整理得曲线的极坐标方程为：．①
（2）将代入①式得，，
同理，
于是，
由于（当且仅当时取“”），
故，．
