训练卷 高中数学卷（A）
27 不等式选讲
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知，，则使不等式一定成立的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．设，，则“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．设，，且，则的最小值是（ ）
A．9 B．25 C．162 D．50
4．使不等式成立的一个必要不充分条件是（ ）
A． B．
C． D．
5．不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
6．不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
7．对任意实数，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知：关于的不等式的解集为；：关于的不等式的解集为，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
9．若关于的不等式存在实数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．若存在实数使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数，若不等式的解集为，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．已知，且，则的最小值为（ ）
A．1 B．3 C．6 D．9
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．不等式的解集是__________．
14．不等式的解集为__________．
15．已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是________．
16．已知正实数，满足，则的最小值为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若存在满足，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若不等式的解集非空，求实数的取值范围．
19．（12分）已知函数．
（1）当时，解不等式；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．（12分）已知集合，．
（1）求集合和；
（2）若，求实数的取值范围．
21．（12分）（1）设，求的最小值；
（2）已知，求的最小值．
22．（12分）已知函数
（1）若在上恒成立，求的取值范围；
（2）求在上的最大值．
训练卷 高中数学卷答案（A）
27 不等式选讲
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】因为若，，则，已知不等式不成立，所以，故选D．
2．【答案】D
【解析】因为成立，，的符号是不确定的，所以不能推出成立，反之也不行，
所以是既不充分也不必要条件，故选D．
3．【答案】D
【解析】∵，，又，∴．故选D．
4．【答案】B
【解析】解不等式，可得，即，故“”是“”的一个必要不充分条件，故选B．
5．【答案】C
【解析】不等式可等价化为：
，由数轴标根法可得或，故选C．
6．【答案】A
【解析】不等式等价于或或；
解得或，故选A．
7．【答案】C
【解析】∵，∴最小值为1，所以实数的取值范围是，故选C．
8．【答案】B
【解析】关于的不等式的解集为；设，
函数在为减函数，在函数值为4，在上是增函数，所以函数的最小值为4，要使关于的不等式的解集为，只需，即；关于的不等式的解集为，只要，有，即，表示的集合是表示的集合的真子集，则是成立的必要不充分条件．故选B．
9．【答案】D
【解析】存在实数解的实质就是求，由几何意义知表示数轴上到与到2的距离之和，故最小值是3，解，故选D．
10．【答案】D
【解析】存在实数使成立，所以；
又因为，所以只需即可；
由得，即．故选D．
11．【答案】A
【解析】，
因为不等式的解集为，所以，所以．故选A．
12．【答案】D
【解析】∵，∴ ，
当且仅当时等号成立，故选D．
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】由题意得，不等式，等价于，解得，
所以不等式的解集为．
14．【答案】
【解析】当时，，无解；当时，，则；当时，，则；
综上可知不等式的解集为．
15．【答案】
【解析】绘制函数的图象如图所示，观察函数图象可得函数的最小值为1，
则关于的不等式无解，则实数的取值范围是．故答案为．
16．【答案】
【解析】∵，∴=5，即
因为正实数，，所以，
当且仅当，即，时等号成立，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
①当时，不等式等价于，解得，即；
②当时，不等式等价于，解得，即；
③当时，不等式等价于，解得，即．
综上所述，原不等式的解集为．
（2）由，即，得，
又，
∴，即，解得．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由可化为：
或或，不等式解集为：．
（2）因为，所以，即的最小值为；
要使不等式解集非空，需，
从而，解得或，所以的取值范围为．
19．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，等价于：
①，得；②，无解；
③，得；
综上，解集为．
（2），
则或，得，所以的取值范围为．
20．【答案】（1），；（2）．
【解析】（1）由题意得，
．
（2）∵，，∴，解得．∴实数的取值范围为．
21．【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1），当且仅当时取“=”号．
（2）由柯西不等式，
所以，当且仅当，即，时，等号成立，
所以的最小值为．
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）即对恒成立，
①当时，显然成立，此时；当时，可变形为，
令，
②当时，，，
③当时，，所以，故此时．
综合①②③，得所求实数的取值范围是．
（2）得：，，，
①当时，∵，，∴，；
②当时，∴，，即
③当时，∵，，∴，
即所以．训练卷 高中数学卷（B）
27 不等式选讲
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知的解集是，则实数，的值是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
2．设，是满足的实数，那么（ ）
A． B．
C． D．
3．设，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
4．设集合，，，则的取值范围为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．若存在实数，使成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
7．若关于的不等式恰好有4个整数解，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．两圆和恰有三条公切线，若，，
且，则的最小值为（ ）
A． B． C．1 D．3
9．设实数，，，，满足关系：，，则实数的最大值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
10．不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知，，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知，，则与的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．不确定
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．已知函数的定义域为，则实数的取值范围是__________．
14．已知函数函数，则不等式的解集为________．
15．若实数，则的最小值为__________．
16．若关于的不等式在上恒成立，则实数的取值范围是__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）已知函数．
（1）若，求函数的最小值；
（2）如果关于的不等式的解集不是空集，求实数的取值范围．
18．（12分）已知函数
（1）求不等式的解集；
（2）若对于恒成立，求的取值范围．
19．（12分）已知函数
（1）当，求函数的定义域；
（2）当时，求证：．
20．（12分）已知，且．
（1）试利用基本不等式求的最小值；
（2）若实数，，满足，求证：．
21．（12分）已知函数，关于的不等式的解集记为．
（1）求；
（2）已知，，求证：．
22．（12分）已知，，．若函数的最小值为2．
（1）求的值；
（2）证明：．
训练卷 高中数学卷答案（B）
27 不等式选讲
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】由题得，所以，因为的解集是，
所以且，所以，．故选D．
2．【答案】B
【解析】用赋值法．令，，代入检验；A．选项为不成立，
C．选项为不成立，D．选项为不成立，故选B．
3．【答案】A
【解析】当时，由得，得，此时无解，
当时，由得，得，
综上，不等式的解为．
由得，所以，所以不等式的解为．
因为，则“”是“”的必要不充分条件，故选A．
4．【答案】B
【解析】，，所以，故选B．
5．【答案】D
【解析】由，不等式有解，
可得，即，求得，故选D．
6．【答案】A
【解析】因为，所以，∴或，故选A．
7．【答案】B
【解析】本题可用排除法，当时，解得有无数个整数解，排除D，当时，不等式化为，得有5数个整数解，排除C，当时，不等式化为，得，恰有4数个整数解，排除A，故选B．
8．【答案】C
【解析】因为两圆的圆心和半径分别为，，，，所以由题设可知两圆相外切，则，故，即，
所以，故选C．
9．【答案】B
【解析】解：根据柯西不等式可知：，
∴，即，∴，∴，故选B．
10．【答案】A
【解析】结合绝对值三角不等式的性质可得：，
即的最大值为4，由恒成立的条件可得：，解得：或，
即实数的取值范围为．故选A．
11．【答案】D
【解析】用基本不等式公式求得，利用柯西不等式公式求得
从而求得．故选D．
12．【答案】B
【解析】
，
所以，故选B．
二．填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】因为函数的定义域为，
所以恒成立，又，
则，即或，即或，
即实数的取值范围是．
14．【答案】
【解析】，，
所以，所以的解集为．故答案为．
15．【答案】
【解析】由柯西不等式得，
∴，即的最小值为，故答案为．
16．【答案】
【解析】由式子可知，显然，在上恒成立，
即存在，，则，在上恒成立，
令，，
在单调递增，，，
当，即，在上单调递增，，
解得，
当，即，在上单调递减，在上单调递增。，解得，即
当，即，在上单调递减，，
解得，所以．综上所述，，故答案为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）3；（2）．
【解析】（1）当时，知，
当，即时取等号，∴的最小值是3．
（2）∵，当时取等号，
∴若关于的不等式的解集不是空集，只需，解得，
即实数的取值范围是．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）∵，
当时，有，解得，即；
当时，恒成立，即；
当时，有，解得，即．综上，解集为．
（2）由恒成立得恒成立，
∵，当且仅当，
即是等号成立；又因为，当且仅当时等号成立，
又因为，所以，所以．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）当时，
所以，得，解得．
（2），
当且仅当时等号成立．
20．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由三个数的均值不等式得：
（当且仅当即，时取“=”号），故有．
（2）∵，由柯西不等式得：
（当且仅当即，时取“=”号）
整理得：，即．
21．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）由，得，
即或或
解得或，所以，集合．
（2）证明：∵，，∴，
∴，，，
∵，
∴．
22．【答案】（1）2；（2）见解析．
【解析】（1）∵，
当且仅当时，等号成立，∴的最小值为，∴．
（2）由（1）可知，，且，，都是正数，
所以，
当且仅当时，取等号，所以得证．
