训练卷 高中数学卷（A）
28 综合测试
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．9 B．8 C．5 D．4
3．函数的图象大致为（ ）
4．已知向量，满足，，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．0
5．双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）
A． B． C． D．
8．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
10．若在是减函数，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
11．已知是定义域为的奇函数，满足．若，
则（ ）
A． B．0 C．2 D．50
12．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．曲线在点处的切线方程为__________．
14．若满足约束条件则的最大值为__________．
15．已知，，则__________．
16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
18．（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图．
为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型①：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为，，，）建立模型②：．
（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；
（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．（12分）设抛物线的焦点为，过且斜率为的直线与交于，两点，．
（1）求的方程；
（2）求过点，且与的准线相切的圆的方程．
20．（12分）如图，在三棱锥中，，，为的中点．
（1）证明：平面；
（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值．
21．（12分）已知函数．
（1）若，证明：当时，；
（2）若在只有一个零点，求．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为
（为参数）．
（1）求和的直角坐标方程；
（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
设函数．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若，求的取值范围．
训练卷 高中数学卷答案（A）
28 综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】D
【解析】，故选D．
2．【答案】A
【解析】，，，，，，
当时，，，；当时，，，；
当时，，，；所以共有9个，故选A．
3．【答案】B
【解析】，，为奇函数，舍去A，
，舍去D；
，，，所以舍去C；
故选B．
4．【答案】B
【解析】，故选B．
5．【答案】A
【解析】，，，
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．
6．【答案】A
【解析】，
，，故选A．
7．【答案】B
【解析】由得程序框图先对奇数项累加，偶数项累加，最后再相减．
因此在空白框中应填入，选B．
8．【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，故选C．
9．【答案】C
【解析】以D为坐标原点，，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，异面直线与所成角的余弦值为，故选C．
10．【答案】A
【解析】因为，
所以由得，
因此，，，
，从而的最大值为，故选A．
11．【答案】C
【解析】因为是定义域为的奇函数，且，
所以，，，
因此，
，，
，从而，故选C．
12．【答案】D
【解析】因为为等腰三角形，，所以，
由斜率为得，，，，
由正弦定理得，，
，，故选D．
二、填空题（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请把答案填在题中横线上）
13．【答案】
【解析】，，．
14．【答案】9
【解析】作可行域，则直线过点时取最大值9．
15．【答案】
【解析】，，
，，，
因此．
16．【答案】
【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，
因为的面积为，设母线长为，所以，，
因与圆锥底面所成角为，所以底面半径为，
因此圆锥的侧面积为．
三、解答题（本大题有6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．【答案】（1）；（2），最小值为．
【解析】（1）设的公差为，由题意得，
由得．所以的通项公式为．
（2）由（1）得，
当时，取得最小值，最小值为．
18．【答案】（1）利用模型①预测值为，利用模型②预测值为；（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
【解析】（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为(亿元)．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：（1）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．（2）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理．说明利用模型②得到的预测值更可靠．
19．【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）由题意得，的方程为，设，，
由，得，，故，
所以，
由题设知，解得（舍去），．
因此的方程为．
（2）由（1）得AB的中点坐标为，所以AB的垂直平分线方程为，即，
设所求圆的圆心坐标为，
则，解得或，
因此所求圆的方程为或．
20．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）因为，为的中点，所以，且，
连结．因为，所以为等腰直角三角形，
且，，由知，
由知平面．
（2）如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系．
由已知得，，，，，，
取平面的法向量，设，则，
设平面的法向量为．由，，
得，可取，
，由已知得，
，解得（舍去），，
，又，所以．
所以与平面所成角的正弦值为．
21．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）当时，等价于，
设函数，则，
当时，，所以在单调递减，
而，故当时，，即．
（2）设函数，在只有一个零点当且仅当在只有一个零点．
当时，，没有零点；
当时，．
当时，；当时，．
在单调递减，在单调递增．
故是在的最小值．
①若，即，在没有零点；
②若，即，在只有一个零点；
③若，即，由于，所以在有一个零点，
由（1）知，当时，，所以．
故在有一个零点，因此在有两个零点．
综上，在只有一个零点时，．
22．【答案】（1）当时，的直角坐标方程；当时，
的直角坐标方程为；（2）．
【解析】（1）曲线的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为，
当时，的直角坐标方程为．
（2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程
．①
因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，，则．
又由①得，故，于是直线的斜率．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，可得的解集为．
（2）等价于，
而，且当时等号成立，故等价于，
由可得或，所以的取值范围是．训练卷 高中数学卷（B）
28 综合测试
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．设，则（ ）
A．0 B． C． D．
2．已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
则下面结论中不正确的是（ ）
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．记为等差数列的前项和．若，，则（ ）
A． B． C． D．12
5．设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．在中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，
圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B． C． D．2
8．设抛物线的焦点为，过点且斜率为的直线与交于，两点，
则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．已知函数，，若存在2个零点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边，，的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ，在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为，，，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知双曲线，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为，．若为直角三角形，则（ ）
A． B．3 C． D．4
12．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面所成的角都相等，则截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．若，满足约束条件，则的最大值为________．
14．记为数列的前项和．若，则________．
15．从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女生入选，则不同的选法共有________种．（用数字填写答案）
16．已知函数，则的最小值是________．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．（12分）在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
18．（12分）如图，四边形为正方形，，分别为，的中点，以为折痕把折起，使点到达点的位置，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求与平面所成角的正弦值．
19．（12分）设椭圆的右焦点为，过的直线与交于，两点，点的坐标为．
（1）当与轴垂直时，求直线的方程；
（2）设为坐标原点，证明：．
20．（12分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品，检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．
（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为，求的最大值点；
（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．
（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求；
（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？
21．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若存在两个极值点，，证明：．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在直角坐标系中，曲线的方程为．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）若与有且仅有三个公共点，求的方程．
23．【选修4-5：不等式选讲】（10分）
已知．
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时不等式成立，求的取值范围．
训练卷 高中数学卷答案（B）
28 综合测试
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．【答案】C
【解析】，∴，∴故选C．
2．【答案】B
【解析】，则，故选B．
3．【答案】A
【解析】假设建设前收入为，则建设后收入为，所以种植收入在新农村建设前为，新农村建设后为；其他收入在新农村建设前为，新农村建设后为，养殖收入在新农村建设前为，新农村建设后为．故不正确的是A．
4．【答案】B
【解析】
，．故选B．
5．【答案】D
【解析】∵为奇函数，∴，即，∴，∴，
∴切线方程为，∴故选D．
6．【答案】A
【解析】．故选A．
7．【答案】B
【解析】三视图还原几何体为一圆柱，如图，将侧面展开，最短路径为连线的距离，
所以，所以选B．
8．【答案】D
【解析】由题意知直线的方程为，设，与抛物线方程联立有，可得或，∴，，
∴．故选D．
9．【答案】C
【解析】∵存在2个零点，即与有两个交点，的图象如下：
要使得与有两个交点，则有即，∴故选C．
10．【答案】A
【解析】取，则，∴区域的面积为，
区域Ⅱ的面积为，区域Ⅲ的面积为，
故．故选A．
11．【答案】B
【解析】渐近线方程为，即，∵为直角三角形，假设，
如图，
∴，直线方程为．联立
∴，即，∴，∴，故选B．
12．【答案】A
【解析】由于截面与每条棱所成的角都相等，所以平面中存在平面与平面平行（如图），
而在与平面平行的所有平面中，面积最大的为由各棱的中点构成的截面，而平面的面积．故选A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【答案】6
【解析】
画出可行域如图所示，可知目标函数过点时取得最大值，．
14．【答案】
【解析】依题意，作差得，所以为公比为2的等比数列，
又因为，所以，所以，所以．
15．【答案】16
【解析】恰有1位女生，有种；恰有2位女生，有种，
∴不同的选法共有种．
16．【答案】
【解析】∵，∴最小正周期为，
∴，令，即，
∴或．∴当，为函数的极小值点，
即或；当，．
∴，，，，∴最小值为．
三、解答题（共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。）
（一）必考题：共60分。
17．【答案】（1）；（2）5．
【解析】（1）在中，由正弦定理得：，∴，
∵，∴．
（2），∴，
∴，∴．∴．
18．【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）分别为的中点，则，∴，
又，，∴平面，
平面，∴平面平面．
（2），，∴，
又，，∴平面，∴，
设，则，，∴，
过作交于点，
由平面平面，∴平面，连结，
则即为直线与平面所成的角，
由，∴，
而，∴，
∴与平面所成角的正弦值．
19．【答案】（1）；（2）见解析．
【解析】（1）如图所示，将代入椭圆方程得，得，∴，
∴，∴直线的方程为：．
（2）证明：当斜率不存在时，由（1）可知，结论成立；当斜率存在时，设其方程为，，，联立椭圆方程有，
即，∴，，
，
∴，∴．
20．【答案】（1），；（2）（i）元；（ii）是．
【解析】（1）由题可知．
∴，
∴当时，，即在上递增；当时，，即在上递减．∴在点处取得最大值，即．
（2）（i）设余下产品中不合格品数量为，则，由题可知，
∴．∴（元）．
（ii）由（i）可知一箱产品若全部检验只需花费400元，若余下的不检验则要490元，所以应该对余下的产品作检验．
21．【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）①∵，∴，∴当时，，，∴此时在上为单调递增．
②∵，即或，此时方程两根为，．
当时，此时两根均为负，∴在上单调递减．当时，，此时在上单调递减，在上单调递增，
在上单调递减．
∴综上可得，时，在上单调递减；时，在，上单调递减，在上单调递增．
（2）由（1）可得，=0，两根得，，，
令，∴，．
∴，要证成立，即要证成立，∴，∴，即要证，
令，可得在上为增函数，∴，
∴成立，即成立．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由可得：，化为．
（2）与有且仅有三个公共点，说明直线与圆相切，圆圆心为，半径为2，则，解得，故的方程为．
23．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）当时，，
∴的解集为．
（2）当时，1，当时，不成立．
当时，，∴，不符合题意．
当时，，成立．
当时，，∴，即．
综上所述，的取值范围为．
