2025年中考数学几何辅助线解题方法 第4招 线段成比例，平行线给力（含解析）

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第4招 线段成比例，平行线给力
在平面几何问题中，涉及比例线段的问题处处都是.对这类问题的求解，往往要设法构建平行线，充分利用平行线分线段成比例这一基本事实进行探究.这是因为平行线分线段成比例这一基本事实是研究相似形的最基本、最重要的理论依据.它一方面可以直接判定线段成比例；另一方面，当难以证明有关比例成立时，常要利用这一基本事实把两条线段的比“转移”成另两条线段的比来分析.如图4-1所示，设直线 p 分别交直线l1,l2,l3于点A,B,C,直线n分别交直线l1,l2,l3于点 D,E,F.若当l ∥l ∥l 时,则 (或 这样一来，我们就可把研究 的问题转化为研究‘ 的问题.
因此，线段成比例最需要想到的就是平行线.这招辅助线我们可将它表述为：
线段成比例，平行线给力.
例1 如图4-2所示，在△ABC中，已知E，F是BC边上的三等分点，BM是AC边上的中线,AE,AF分别与BM交于点 D,G,求BD:DG:GM.
解析 过点M作PM∥BC交AE 于点 P,交AF于点 N.(线段成比例，平行线给力)
如图4-3所示,设BC=3x,
∵E,F是BC边上的两个三等分点,∴BE=EF=CF=x.
∵M为AC 的中点,PM∥EC,
(线段成比例，平行线给力)
(线段成比例，平行线给力)
(线段成比例，平行线给力)
设MD=2a,则 故
由此可得BD:DG:GM=5:3:2.
点评 本题考查了平行线分线段成比例定理，考查三角形中位线定理，考查计算推理能力.解题关键在于作出平行于 BC 的辅助线PM，将三等分点及中线的信息串通起来，并利用比例线段定理先确定 PM、MN 与BC 的关系式，进而求出所要求的线段比.本题充分体现了转化思想在解题中的作用.
例2 (1) 如图4-4所示,在△ABC中,D 是BC 边上的一点,则△ABD与△ADC有一个相同的高，它们的面积比等于相应的底之比，记为： 的面积分别用S△ABD,S△ADC:表示)，现有 则、S△ABD : S△ADC= .
(2)如图4-5所示,在△ABC中,E,F分别是BC,AC边上的点,且BE:EC=1:2,AF:FC=1:1,AE与BF 相交于点G,过E点作EH∥BF交AC于点H,依次求 FH:HC,AG:GE与BG:GF的值.
(3)如图4-6所示,在△ABC中,点 P 在边AB 上,点M,N在边AC上,且有AP=PB,AM=MN=NC,BM,BN与CP 分别交于点R,Q,已知△ABC的面积为1,求△BRQ的面积.
解析 (1)在图4-4中,
∴DC=2BD.
令hA为点A 到BC 边的距离，
则有
故答案为1：2.
(2)在图4-5中,∵EH∥BF,(线段成比例,平行线给力)
即 FH: HC=1:2.
所以
即AG:GE=3:1.
从而可得 即BG:GF=1:1.
所以FH: HC,AG:GE与BG:GF的比依次为1:2,3:1,1:1.
(3) 解法 1 如图 4-7 所示,过点 P 作PD∥AC,交BM于点D,过点R作RE∥AC,交BN 于点 E.(线段成比例，平行线给力)
∵AP=PB,∴BD=DM,从而可得AM=2PD.
∵AM=MN=NC,∴MC=4PD.
∵PD∥MC,
从而
从而
∴PR:RQ:QC=2:3:5.
解法2 依题意,△ABC 的面积为1,结合中线 CP,得△BPC的面积为
由前问的启示,过点 P作PG∥AC,交BM于点D,交 BN于点G,如图4-8所示.
则可得 且
由此可得R 为PC 的五等分点，Q为 PC 的中点.
∵PR+RQ+QC=PC,
∴S△BPR : S△BRQ : S△BQC=2:3:5.
故
点评 本题是相似形的综合题，主要考查平行线分线段成比例定理，同高的两三角形面积的关系，熟练掌握平行线分线段成比例定理是关键.第(1)问，根据三角形面积公式，利用共高的两个三角形面积的比就是对应底边的比是解题的基本思路；第(2)问，直接利用平行线分线段成比例定理分析是解题的必由之路；第(3)问，有一定的难度.解法1关键在于能否快速地作出辅助线 PD∥AC，RE∥AC，利用平行线分线段成比例定理挖掘 又根据RE∥MC,挖掘 PR:RQ:QC=2:3:5,再利用共高的两三角形面积的关系分析.这种步步推证的作法颇有创意.解法2 充分利用前问的启示，作辅助线 PG∥AC，挖掘点 R 为 PC 的五等分点，Q为PC 的中点，发现 并利用共高的三角形对面积进行分析，一举两得，促使问题获得巧解.本解法注重将题设信息及已推得的结论进行综合分析，具有较大的探究性，充分体现了“借前结论攻后题”的战术思想.
例3 如图4-9所示,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,AB=b,CD=a,E为AD边上的任意一点,EF∥AB,且EF交BC于点F.某学生在研究这一问题时，发现如下事实：
①当 时，有
② 当 时，有
③当 时，有
于是，当 时，参照上述研究结论，
请你猜想用k 表示EF 的一般结论，并给出证明.
解析 解法1 猜想： 证明如下：
在图4-10中，过点E作BC 的平行线交AB 于点G，交 CD的延长线于点 H.(线段成比例，平行线给力)
∵AB∥CD,
∴∠EAG=∠EDH,∠EGA=∠EHD.
∴△AGE∽△DHE,从而
又EF∥AB∥CD,且易知CH=EF=GB,
∴DH=EF-a,AG=b-EF.
从而可得
解得
解法2 猜想： 证明如下：
在图4-11中,过点E作EG∥BC交AB 于点G,过点D作DP∥BC
交AB 于点 P.(线段成比例，平行线给力)
∵EF∥AB∥CD,
∴四边形 EFBG、四边形 DCBP 均为平行四边形.
由EG∥DP,得
从而可得AP=AG+GP=(1+k)AG,故
所以
点评 本题主要考查平行线分线段成比例定理，考查从特殊到一般的探究、推理能力.解法1通过辅助线GH，将相关的已知条件集结于两平行线间的线段来分析，挖掘△AGE∽△DHE，具有较大的探究性.解法 2 通过辅助线 EG，DP 挖掘四边形 EFBG、四边形DCBP 均为平行四边形，再利用平行线分线段成比例这一基本事实来处理.由本题的求解可体会到，从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出一般性的猜想，然后加以证明或否定.这种探究、猜想、证明的过程是数学基本思想的体现.
跟踪训练
1. 如图所示,在△ABC中, AD交CE 于点F,则 的值为( ).
A. B. 1 C. D. 2
2. 如图所示，在 中,D 是AC 的中点,E 是BD 的三等分点,AE的延长线交BC 于点 F.
(1) 求的值.
(2) 求的值.
3. 如图所示，在 中,AD 为BC 边上的中线,F为AB 上任意一点,CF交AD 于点E,求证:AE·BF=2DE·AF.
4. 在 中，D为边BC的中点，E为边AC上的任意一点，BE交AD于点O.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
①如图1所示，当 时，有
②如图2所示，当 时，有
③如图3所示，当 时，有
在图4中，当 时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示 的一般结论，并给出证明.(其中n为正整数)
答案
1. C 解法1 如图1所示，设M，N为AB上的四等分点，P为BC上的三等分点，过点 D作DH∥AB,交CE于点 H,
由图可得DH∥ME,且DH=ME=AE,
∴四边形 AEDH 为平行四边形.
∴AF=FD,EF=FH. ①
又由DH∥AB,D为BC 的三等分点,
得
∴EF=FH=HC,FC=2EF. ②
由①②,得 故选 C.
解法2 作EG∥BC交AD 于点G,如图2所示,
则 战战
从而可得
作DH∥AB交CE于点H,则
则 故选 C.
2. (1) 解法1 过点 D作DG∥BC,交AF于点G,如图所示.
∵E是BD 的三等分点,可得△BEF∽△DEG.
则
又 D为AC 的中点,
解法2 过点 D作DM∥AF交BC 于点M,如图所示.
由平行线分线段成比例定理，得
从而可得
又 D为AC的中点，则M为FC中点.
从而可得FC=2FM,所以
(2) 由(1)解法2知,则
即S△BDM=9S△BEF.
∵D是AC的中点,
即
3. 证明 过点 D作DG∥AB交CF于点G,如图所示.
∵DG∥AF,∴∠FAE=∠GDE,∠AFE=∠DGE.
又D为BC的中点,DG∥BF,
∴AE·BF=2DE·AF.
4. 依题意，可以猜想：
当 时，有 成立.
证明 过点 D作DF∥BE交AC 于点F.
因为D是BC 的中点，所以 F是EC 的中点.
由 可知 (分比定理)
所以 (合比定理)
由此可得