3.1.1 椭圆的标准方程 课件（共20张PPT） 湘教版（2020）高中数学选择性必修第一册

(共20张PPT)
第三章 圆锥曲线与方程
3.1 椭 圆
3.1.1 椭圆的标准方程
1.了解椭圆的实际背景，感受椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．（重点）
2．掌握椭圆的定义，会求椭圆的标准方程.（重点、难点）
通过图片我们看到，在我们所生活的世界中，随处可见椭圆这种图形，而且我们也已经知道了椭圆的大致形状，那么我们能否动手画一个标准的椭圆呢？
平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
平面内，到两个定点的距离等于定长的点的集合又叫做什么呢？
实验操作
(1)取一条定长的细绳；
(2)把它的两端都固定在图板的同一点处；
(3)套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆．如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点处套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是椭圆.
根据刚才的实验请同学们回答下面几个题：
1.在画椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的
还是运动的？
2.在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明
了什么？
3.在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小
有怎样的关系？
椭圆定义：
我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆.
两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点.
两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距.
归纳总结
M点的轨迹是线段。
M点的轨迹不存在。
当M到两定点距离之和等于 时
当M到两定点距离之和小于 时
根据椭圆的定义如何求椭圆的方程呢？
思考：求曲线的方程的基本步骤是什么呢？
（1）建系设点;
（2）写出点集；
（3）列出方程；
（4）化简方程；
（5）检验.
O
x
y
M
F1
F2
方案一
F1
F2
方案二
O
x
y
M
如何建立适当的坐标系呢？
x
F1
F2
M
O
y
设M(x, y)是椭圆上任意一点，椭圆的两个焦点分别为F1和F2，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2 的距离的和等于2a(2a>2c>0) .
解：以焦点F1,F2的所在直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy(如图).
设M(x, y )是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c(c>0)，M与F1和F2的距离的和等于正常数2a (2a>2c) ，则F1，F2的坐标分别是( c,0)、(c,0) .
限制条件： |MF1|+|MF2|=2a
因为|MF1|= ,|MF2|= ,所以
+
=2a
为化简这个方程，将左边的一个根式移到右边，得
将这个方程两边平方，得
整理得
上式两边在平方，得
整理得
两边同时除以 ，得
=2a-
M
c
a
o
y
x
M
c
a
如果焦点在y轴上，椭圆的方程是什么？
焦点位置 焦点在x轴 焦点在y轴
标准方程
图象
焦点
的关系
椭圆的标准方程
归纳总结
（1）椭圆的标准方程的形式：左边是两个分式
的平方和，右边是1;
（2）椭圆的标准方程中，x2与y2的分母哪一个大，
则焦点在哪一个轴上;
（3）椭圆的标准方程中a，b，c满足a2=b2+c2.
椭圆的标准方程有哪些特征呢？
归纳总结
例1.求下列椭圆的交点坐标及椭圆上任意一点到两焦点的距离之和。
例2：（1）两个焦点的坐标分别为（-4，0）和（4，0），
且椭圆经过（5，0）
（2）焦点在y轴，且椭圆经过（1，0）和（0，2）
（3）椭圆经过（3，-2）和（-6，1）
待定系数法
定义法
B
y
o
F1
F2
M
x
N
6
14
2.填空
1.已知F1，F2是椭圆 的两个焦点，
过F1的直线交椭圆于M，N两点，则三角形
MNF2的周长为（ ）
A.10 B.20 C.30 D.40
定 义
图
形
方 程
焦 点
F(±c，0)
F(0，±c)
a,b,c
的关系
{P||PF1|+|PF2|=2a,2a>|F1F2|}
1
2
y
o
F
F
P
x
y
x
o
2
F
P
F
1