四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·龙泉驿期中）已知直线 经过 两点，则 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】利用已知条件结合两点求斜率公式，得出 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率。
2．（2024高二上·龙泉驿期中）已知点在平面内，并且对空间任一点，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：易知点，，，四点共面，因为，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知点，，，四点共面，根据共面向量的推论可得求解即可.
3．（2024高二上·龙泉驿期中）已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2 B．19和4 C．19和8 D．19和16
【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，可得数据，，...，的平均数为10，标准差为2，方差为4，
则，，...，的平均数为，方差为，标准差为4.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据平均数和方差的性质求解即可.
4．（2024高二上·龙泉驿期中）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：分别掷两枚质地均匀的硬币， 第一枚为正面 与第二枚正面以及两枚结果相同互不影响，则事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，即A与B，A与C均相互独立.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据相互独立事件的概念直接判断即可.
5．（2024高二上·龙泉驿期中）已知两平行直线和，则与的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线，即为，，
则与的距离为．
故答案为：A．
【分析】由题意，直接利用两平行线间的距离公式求解即可．
6．（2024高二上·龙泉驿期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
【解析】【解答】解：由题意可知：三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可.
7．（2024高二上·龙泉驿期中）设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：易知，
直线过点，且与线段相交，如图所示：
则直线的斜率取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用斜率公式，数形结合即可求得直线的斜率取值范围.
8．（2024高二上·龙泉驿期中）如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
故，
即直线与所成角的余弦值为．
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求与所成角的余弦值即可.
9．（2024高二上·龙泉驿期中）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．
故答案为：B、C、D．
【分析】
利用均值公式计算判定A错误，代入方差公式，判断B正确、利用分层随机抽样方法按比例抽样，判断C正确、根据古典概型概率公式项判断D正确．
10．（2024高二上·龙泉驿期中）在四面体中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则．
【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：A、若，
则，故A正确；
B、因为Q为的重心，所以，
则，
即，即，故B正确；
C、若，，则
，故C正确；
D、因为四面体的各棱长都为2，所以，
，
则，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】由题意，利用空间向量运算逐项计算判断即可.
11．（2024高二上·龙泉驿期中）直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．则下列说法正确的是（ ）
A．直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是
B．已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为
C．已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为
D．直线，，若，则或2
【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，因为，所以，
又因为直线在x轴上的截距为，所以直线过点，
所以直线的方程为，即，
A、联立，解得，即直线与的交点坐标为，
由，可得，即直线在y轴上的截距是，故A正确；
B、当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得，
所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；
C、由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，所以直线为，即，
所以到距离为，故C正确；
D、因为，所以，解得或2，
当时，直线与平行，符合题意；
当时，直线与重合，不符合题意，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由题意，求出直线方程，联立直线方程求出两直线交点即可判断A；根据截距的关系求出直线方程即可判断B；根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解即可判断C；根据直线平行求出a再检验即可判断D．
12．（2024高二上·龙泉驿期中）已知直线经过，则该直线过定点 ．
【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线可化为，
，解得，即直线恒过点.
故答案为：.
【分析】先将直线化为，由即可确定定点坐标.
13．（2024高二上·龙泉驿期中）数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是 ．
【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：12位同学的身高从小到大排列为，
，则这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即.
故答案为：.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的定义求解即可.
14．（2024高二上·龙泉驿期中）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题：
①四点共面；
②三棱锥的体积与的取值有关；
③当时，；
④当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为.
其中正确的有 （填写序号）.
【答案】①③
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：①、易知，因为，所以四点共面，故①正确；
②、因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
又易知到底面的距离等于定值，而的面积一定，
所以三棱锥的体积为定值，故②错误；
③、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
因为，所以，所以，
当时，，解得
所以与重合，所以，故③正确；
④、当时，为的中点，
过作且，如图所示：
易证，所以易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
又易知，则等腰梯形的高为，
故截面等腰梯形的面积为，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】根据相交直线确定唯一平面即可判断①；转化顶点即可判断②；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，即可判断③；当时，为的中点，过作且，则易证，易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，再计算等腰梯形的面积即可判断④.
15．（2024高二上·龙泉驿期中）A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是，A，B，C三人闯关都成功的概率是，A，B，C三人闯关都不成功的概率是．
（1）求B，C两人各自闯关成功的概率；
（2）求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；
（3）求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．
【答案】（1）解：记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是；
（2）解：设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件G，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为；
（3）解：设A，B，C三人中无人闯关成功为事件H，则，
故设A，B，C三人至少有一人闯关成功的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得B，C两人各自闯关成功的概率即可；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
（3）利用对立事件的概率公式计算即可.
（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是．
（2）设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件G，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为．
（3）设A，B，C三人中无人闯关成功为事件H，则，
故设A，B，C三人至少有一人闯关成功的概率为.
16．（2024高二上·龙泉驿期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，
（1）若，求过点且与直线平行的直线方程；
（2）已知原点到直线的距离为4，求的值；
（3）已知直线在两条坐标轴上截得的截距相等，求的值．
【答案】（1）解：当时，直线的方程为，斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，即；
（2）解：原点到直线的距离为，解得；
（3）解：时，不满足条件；
当时，令，，令，，则有，解得：或.
【知识点】两条直线平行的判定；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）当时，直线的方程为，求其斜率，利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用点到直线的距离公式，求的值即可；
（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可.
（1）当时，直线的方程为，斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.
（2）原点到直线的距离为，解得：.
（3）时，不满足条件；
当时，令，，令，，则有，解得：或.
17．（2024高二上·龙泉驿期中）已知是边长为2的正方体，点E为的中点，点F为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值．
（3）求点到直线的距离．
【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，，
则，
即，故；
（2）解：由（1）可知：平面BFC的一个法向量为，，，
设平面EFC的一个法向量为，
则，令，得，
则，
故平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）知，，，
所以，，
则，
故点到直线的距离为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量法证明即可；
（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求解即可；
（3）利用点到直线距离向量公式求解即可．
（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
所以，则.
（2）由图可知，平面BFC的一个法向量为，
由（1）知，，，
设平面EFC的一个法向量为，
，令，得，
则，
所以平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为.
（3）由（1）知，，，
所以，，
则，
所以点到直线的距离为.
18．（2024高二上·龙泉驿期中）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
质量指标值
产品 60 100 160 300 200 100 80
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
（2）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
【答案】（1）解：；
；
（2）解：由知，，则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
故可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)由题意，利用平均数和方差的计算公式计算即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（1）由题，可知
．
．
（2）由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
19．（2024高二上·龙泉驿期中）如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
【答案】（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，
则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，所以，
又因为平面，所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
则点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，则或（舍去），即存在点符合题意，此时.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明线面平行即可；
（2）由（1）的坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可；
（3）假设存在，根据线面角公式列出方程求解即可.
（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，
则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
1 / 1四川省成都市龙泉驿区东竞高级中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷
1．（2024高二上·龙泉驿期中）已知直线 经过 两点，则 的斜率为（ ）
A．2 B． C． D．
2．（2024高二上·龙泉驿期中）已知点在平面内，并且对空间任一点，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高二上·龙泉驿期中）已知，，...，的平均数为10，标准差为2，则，，...，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2 B．19和4 C．19和8 D．19和16
4．（2024高二上·龙泉驿期中）分别掷两枚质地均匀的硬币，“第一枚为正面”记为事件A，“第二枚为正面”记为事件B，“两枚结果相同”记为事件C，那么事件A与B，A与C间的关系是（ ）
A．A与B，A与C均相互独立 B．A与B相互独立，A与C互斥
C．A与B，A与C均互斥 D．A与B互斥，A与C相互独立
5．（2024高二上·龙泉驿期中）已知两平行直线和，则与的距离为（ ）
A．1 B． C． D．2
6．（2024高二上·龙泉驿期中）在一个实验中，某种豚鼠被感染A病毒的概率均为40%，现采用随机模拟方法估计三只豚鼠中被感染的概率：先由计算机产生出[0，9]之间整数值的随机数，指定1，2，3，4表示被感染，5，6，7，8，9，0表示没有被感染.经随机模拟产生了如下20组随机数：
192 907 966 925 271 932 812 458 569 683
257 393 127 556 488 730 113 537 989 431
据此估计三只豚鼠中至少一只被感染的概率为（ ）.
A．0.25 B．0.4 C．0.6 D．0.75
7．（2024高二上·龙泉驿期中）设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2024高二上·龙泉驿期中）如图，在直三棱柱中，，则与所成的角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高二上·龙泉驿期中）在某次数学练习中，高三班的男生数学平均分为120，方差为2，女生数学平均分为112，方差为1，已知该班级男女生人数分别为25、15，则下列说法正确的有（ ）
A．该班级此次练习数学成绩的均分为118
B．该班级此次练习数学成绩的方差为16.625
C．利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取5名男生
D．从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率为
10．（2024高二上·龙泉驿期中）在四面体中，下列说法正确的有（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体的各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则．
11．（2024高二上·龙泉驿期中）直线的方程为，若在x轴上的截距为，且．则下列说法正确的是（ ）
A．直线与的交点坐标为，直线在y轴上的截距是
B．已知直线经过与的交点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，的方程为
C．已知动直线经过与的交点，当原点到距离最大时，到距离为
D．直线，，若，则或2
12．（2024高二上·龙泉驿期中）已知直线经过，则该直线过定点 ．
13．（2024高二上·龙泉驿期中）数据3.2，3.6，4.5，2.4，4.6，6.4，7.8，7.9，8.0，8.1，8.4，8.6的上四分位数是 ．
14．（2024高二上·龙泉驿期中）在棱长为1的正方体中，为底面的中心，是棱上一点，且，，为线段的中点，给出下列命题：
①四点共面；
②三棱锥的体积与的取值有关；
③当时，；
④当时，过三点的平面截正方体所得截面的面积为.
其中正确的有 （填写序号）.
15．（2024高二上·龙泉驿期中）A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是，A，B，C三人闯关都成功的概率是，A，B，C三人闯关都不成功的概率是．
（1）求B，C两人各自闯关成功的概率；
（2）求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率；
（3）求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率．
16．（2024高二上·龙泉驿期中）在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线的方程为，
（1）若，求过点且与直线平行的直线方程；
（2）已知原点到直线的距离为4，求的值；
（3）已知直线在两条坐标轴上截得的截距相等，求的值．
17．（2024高二上·龙泉驿期中）已知是边长为2的正方体，点E为的中点，点F为的中点．
（1）求证：；
（2）求平面EFC与平面BFC夹角的余弦值．
（3）求点到直线的距离．
18．（2024高二上·龙泉驿期中）《中国制造2025》是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领，制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某电子产品制造企业为了提升生产效率，对现有的一条电子产品生产线进行技术升级改造，为了分析改造的效果，该企业质检人员从该条生产线所生产的电子产品中随机抽取了1000件，检测产品的某项质量指标值，根据检测数据得到下表(单位：件)．
质量指标值
产品 60 100 160 300 200 100 80
（1）估计这组样本的质量指标值的平均数和方差(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；
（2）设表示不大于x的最大整数，表示不小于x的最小整数，s精确到个位，，，，根据检验标准，技术升级改造后，若质量指标值有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量初级稳定；若有落在内，则可以判断技术改造后的产品质量稳定，可认为生产线技术改造成功．请问：根据样本数据估计，是否可以判定生产线的技术改造是成功的？
19．（2024高二上·龙泉驿期中）如图，四棱台中，上 下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，，分别为的中点，上下底面中心的连线垂直于上下底面，且与侧棱所在直线所成的角为.
（1）求证：∥平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）边上是否存在点，使得直线与平面所成的角的正弦值为，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】利用已知条件结合两点求斜率公式，得出 。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合两点求斜率公式，进而求出直线的斜率。
2．【答案】B
【知识点】空间向量基本定理；共面向量定理
【解析】【解答】解：易知点，，，四点共面，因为，
所以，解得.
故答案为：B.
【分析】由题意，易知点，，，四点共面，根据共面向量的推论可得求解即可.
3．【答案】B
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【解答】解：由题意，可得数据，，...，的平均数为10，标准差为2，方差为4，
则，，...，的平均数为，方差为，标准差为4.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据平均数和方差的性质求解即可.
4．【答案】A
【知识点】互斥事件与对立事件；相互独立事件
【解析】【解答】解：分别掷两枚质地均匀的硬币， 第一枚为正面 与第二枚正面以及两枚结果相同互不影响，则事件A是否发生对事件B、C是否发生不产生影响，即A与B，A与C均相互独立.
故答案为：A.
【分析】由题意，根据相互独立事件的概念直接判断即可.
5．【答案】A
【知识点】平面内两条平行直线间的距离
【解析】【解答】解：直线，即为，，
则与的距离为．
故答案为：A．
【分析】由题意，直接利用两平行线间的距离公式求解即可．
6．【答案】D
【知识点】古典概型及其概率计算公式；随机数法
【解析】【解答】解：由题意可知：三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，
随机数中满足三只豚鼠都没被感染的有907，966，569，556，989共5个，
故三只豚鼠都没被感染的概率为，
则三只豚鼠中至少一只被感染的概率为.
故答案为：D.
【分析】由题意可知：三只豚鼠中至少一只被感染的对立事件为三只豚鼠都没被感染，根据题意分析随机数中没有1，2，3，4中的数的个数，再根据对立事件的概率求解即可.
7．【答案】C
【知识点】斜率的计算公式
【解析】【解答】解：易知，
直线过点，且与线段相交，如图所示：
则直线的斜率取值范围是.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用斜率公式，数形结合即可求得直线的斜率取值范围.
8．【答案】A
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
，，
故，
即直线与所成角的余弦值为．
故答案为：A.
【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求与所成角的余弦值即可.
9．【答案】B,C,D
【知识点】分层抽样方法；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】对于A，该班级此次练习数学成绩的均分，故A错误；
对于B，该班级此次练习数学成绩的方差
，故B正确；
对于C，利用分层抽样的方法从该班级抽取8人，则应抽取的男生人数为，C正确；
对于D，从该班级随机选择2人参加某项活动，则至少有1名女生的概率，故D正确．
故答案为：B、C、D．
【分析】
利用均值公式计算判定A错误，代入方差公式，判断B正确、利用分层随机抽样方法按比例抽样，判断C正确、根据古典概型概率公式项判断D正确．
10．【答案】A,B,C
【知识点】空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：A、若，
则，故A正确；
B、因为Q为的重心，所以，
则，
即，即，故B正确；
C、若，，则
，故C正确；
D、因为四面体的各棱长都为2，所以，
，
则，故D错误．
故答案为：ABC.
【分析】由题意，利用空间向量运算逐项计算判断即可.
11．【答案】A,C
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程；直线的截距式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【解答】解：易知直线的斜率为，因为，所以，
又因为直线在x轴上的截距为，所以直线过点，
所以直线的方程为，即，
A、联立，解得，即直线与的交点坐标为，
由，可得，即直线在y轴上的截距是，故A正确；
B、当直线经过与的交点且过原点时，方程为，即，满足题意，
当直线不过原点时，设直线方程为，代入点可得，
所以直线方程为，综上满足条件的直线为或，故B错误；
C、由题意过点的动直线中，到原点距离最大的直线与原点和连线所在直线垂直，
故所求直线的斜率为，所以直线为，即，
所以到距离为，故C正确；
D、因为，所以，解得或2，
当时，直线与平行，符合题意；
当时，直线与重合，不符合题意，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由题意，求出直线方程，联立直线方程求出两直线交点即可判断A；根据截距的关系求出直线方程即可判断B；根据条件求出直线的方程，利用点到直线距离公式求解即可判断C；根据直线平行求出a再检验即可判断D．
12．【答案】
【知识点】恒过定点的直线
【解析】【解答】解：直线可化为，
，解得，即直线恒过点.
故答案为：.
【分析】先将直线化为，由即可确定定点坐标.
13．【答案】
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：12位同学的身高从小到大排列为，
，则这组数据的上四分位数为第9和第10个数据的平均数，即.
故答案为：.
【分析】先将数据从小到大排列，再根据百分位数的定义求解即可.
14．【答案】①③
【知识点】共面向量定理；空间向量的数量积运算的坐标表示；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：①、易知，因为，所以四点共面，故①正确；
②、因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，
又易知到底面的距离等于定值，而的面积一定，
所以三棱锥的体积为定值，故②错误；
③、以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，
，
因为，所以，所以，
当时，，解得
所以与重合，所以，故③正确；
④、当时，为的中点，
过作且，如图所示：
易证，所以易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，
又易知，则等腰梯形的高为，
故截面等腰梯形的面积为，故④错误.
故答案为：①③.
【分析】根据相交直线确定唯一平面即可判断①；转化顶点即可判断②；以为坐标原点，建立空间直角坐标系，当时，即可判断③；当时，为的中点，过作且，则易证，易得过三点的平面截正方体所得截面为等腰梯形，再计算等腰梯形的面积即可判断④.
15．【答案】（1）解：记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是；
（2）解：设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件G，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为；
（3）解：设A，B，C三人中无人闯关成功为事件H，则，
故设A，B，C三人至少有一人闯关成功的概率为.
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【分析】（1）由题意，记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得B，C两人各自闯关成功的概率即可；
（2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可；
（3）利用对立事件的概率公式计算即可.
（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，
三人闯关成功与否得相互独立，且满足，
解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是．
（2）设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件G，
则，
所以三人中恰有两人闯关成功的概率为．
（3）设A，B，C三人中无人闯关成功为事件H，则，
故设A，B，C三人至少有一人闯关成功的概率为.
16．【答案】（1）解：当时，直线的方程为，斜率为，
则过点且与直线平行的直线方程为，即；
（2）解：原点到直线的距离为，解得；
（3）解：时，不满足条件；
当时，令，，令，，则有，解得：或.
【知识点】两条直线平行的判定；直线的点斜式方程；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析】（1）当时，直线的方程为，求其斜率，利用点斜式写出直线方程即可；（2）利用点到直线的距离公式，求的值即可；
（3）求在两条坐标轴上截得的截距，建立等式求解即可.
（1）当时，直线的方程为，斜率为，则过点且与直线平行的直线方程为，即.
（2）原点到直线的距离为，解得：.
（3）时，不满足条件；
当时，令，，令，，则有，解得：或.
17．【答案】（1）证明：以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，，
，，
则，
即，故；
（2）解：由（1）可知：平面BFC的一个法向量为，，，
设平面EFC的一个法向量为，
则，令，得，
则，
故平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为；
（3）解：由（1）知，，，
所以，，
则，
故点到直线的距离为.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量法证明即可；
（2）求出两平面的法向量，利用面面角的余弦夹角公式求解即可；
（3）利用点到直线距离向量公式求解即可．
（1）证明：以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，
则，
所以，则.
（2）由图可知，平面BFC的一个法向量为，
由（1）知，，，
设平面EFC的一个法向量为，
，令，得，
则，
所以平面EFC与平面BFC夹角的余弦值为.
（3）由（1）知，，，
所以，，
则，
所以点到直线的距离为.
18．【答案】（1）解：；
；
（2）解：由知，，则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
故可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差
【解析】【分析】(1)由题意，利用平均数和方差的计算公式计算即可；
(2)根据题中公式，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，计算出区间并判段数据落在该区间的概率，与题中条件比较即可得出结论.
（1）由题，可知
．
．
（2）由知，，
则，，
该抽样数据落在内的频率约为；
又，，
该抽样数据落在内的频率约为，
∴可以判断技术改造后的产品质量初级稳定，但不能判定生产线技术改造成功．
19．【答案】（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：
易知侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，
则，，，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，令，则，
因为，所以，所以，
又因为平面，所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
则点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，则，
设直线与平面所成角为，，
化简得，则或（舍去），即存在点符合题意，此时.
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，根据直线的方向向量和平面的法向量垂直，证明线面平行即可；
（2）由（1）的坐标系，利用点到平面的距离公式求解即可；
（3）假设存在，根据线面角公式列出方程求解即可.
（1）证明：因为平面，以点为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为侧棱所在的直线与上下底面中心的连线所成的角为，则
，，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，
则，
令，则，
因为，
所以，所以，
又因为平面，
所以∥平面；
（2）解：由（1）知，，
所以点到平面的距离为；
（3）解：假设边上存在点满足条件，，
则，
设直线与平面所成角为，
由题意可得，
化简得，则或（舍去），
即存在点符合题意，此时.
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