四川省成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·成都期中）（ ）
A．2 B． C．5 D．
【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数模长公式直接求解即可.
2．（2024高三上·成都期中）已知，；，，则（ ）
A．假假 B．假真 C．真真 D．真假
【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：不等式转化为，即，解集为，
则为假命题；
由，可得，解得，则，使.所以为真命题.
故答案为：B.
【分析】解不等式求解集即可判断的真假.
3．（2024高三上·成都期中）已知，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】易知，根据向量垂直，求得，化简可得两向量的夹角即可.
4．（2024高三上·成都期中）给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】集合的表示方法；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，
则，
当且仅当，即时等号成立，即，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用基本不等式求得集合，再根据集合的定义逐项判断即可.
5．（2024高三上·成都期中）若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以函数的周期，
当时，，且为偶函数，则函数图象如下图所示：
数形结合可知：方程有四个零点.
【分析】由题意，根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图象，数形结合确定零点个数即可．
6．（2024高三上·成都期中）已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．17
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
则，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，利用基本不等式结合“”的妙用求解即可.
7．（2024高三上·成都期中）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A．三棱锥的体积大小与点的位置有关
B．与平面相交
C．平面平面
D．
【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，平面，
因为，所以到平面的距离不变，
即三棱锥的体积与点的位置无关，故A错误；
B、因为，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又因为，所以平面平面，
平面，所以平面，故B错误；
C、因为，，，
所以平面，则，同理，
又因为，所以平而，
又由平面，所以平面平面，故C错误；
D、当与重合时，可得与的夹角为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正方体的性质，结合三棱锥的体积即可判断A；由线面平行的判定定理，分别证得平面和平面得到平面平面即可判断B；根据线面垂直的判定定理，证得平而，得到平面平面即可判断C；根据当与重合时，得到与的夹角为即可判定D.
8．（2024高三上·成都期中）已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若，显然不是恒大于零，故，
当时，在上恒成立，
当时，等价于，
令在上单调递增，
因为，所以，即，
再设，令，
时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，
则，即.
故答案为：D．
【分析】易知时不等式不恒成立，则，恒成立，判断的情形，不等式变形为，再变形为，令函数，求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，不等式又变形为，，再令函数，由导数求得其最大值即得的范围．
9．（2024高三上·成都期中）关于函数描述正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是
C．一条对称轴是 D．一个对称中心是
【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、函数
，则函数的最小正周期为，故A错误；
B、当，即时，
取得最大值，最大值为，故B正确；
C、由于时，，故是函数的一条对称轴，故C正确；
D、时，，故一个对称中心是，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期即可判断A；当时，函数取得最大值即可判断B；代入进行检验即可判断CD.
10．（2024高三上·成都期中）已知定义在区间[a，b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，当时，，
由，则，
当时，，如下图所示：
由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，故A正确；
B、，当时，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，故B错误；
C、，当时，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，故C错误；
D、当时，，，
由，可得，
故函数在上有两个“中值点”，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，求各函数的导函数，逐项判断方程在上的根的个数判断即可.
11．（2024高三上·成都期中）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或
B．若，且，则双曲线的离心率为
C．若，则的取值范围是
D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：A、双曲线渐近线的夹角为，则或即或，故A正确；
B、设，则，
故，解得，又，
即，故B正确；
C、 令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，
同理点横坐标为，即直线的方程为，
设直线的倾斜角为 ，那么 ，
在中，，
在中， ，渐近线的斜率为，
因为均在右支上，故，
如图所求，，故C错误；
D、，故，，，故，
由余弦定理可知，即，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，直接求离心率即可判断A；根据双曲线定义即可判断B；结合内切圆性质即可判断C；结合定义及余弦定理计算可得离心率即可判断D.
12．（2024高三上·成都期中）若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则 ．
【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：设数列的公差为，因为等差数列的前四项和为10， 所以，即，且，则，
整理得，解得，则.
故答案为：.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列前n项和、通项公式及等比数列性质列方程求基本量，再由等差数列通项公式求项即可.
13．（2024高三上·成都期中）若，则 ．
【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用同角三角函数关系、辅助角公式、二倍角公式和诱导公式化简求值即可.
14．（2024高三上·成都期中）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）.
【答案】；
【知识点】基本计数原理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，
根据乘法原理和加法原理得到，
在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，
即的个数为、、、、，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，两式相减得到.
故答案为：；.
【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式.
15．（2024高三上·成都期中）为数列的前项和．已知，．
（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列为等差数列，且，求数列的前项和．
【答案】证明：（1）因为，所以，
又因为，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，
因为，所以．
当时，；经检验，也符合，则；
（2）因为数列为等差数列，且，所以公差，即，
因为，
所以
．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；等差数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的概念结合等比数列的性质求解即可；
（2）根据等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和即可．
16．（2024高三上·成都期中）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表：
语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣
答卷份数 350 470 380 400 300 500
兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望．
【答案】（1）解：设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A，答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，故；
（2）解：设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，，，，则所求的概率为：
；
（3）解：从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人，
其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人，
再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故．
【知识点】分层抽样方法；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，求出英语兴趣良好的人数，直接计算概率即可；
（2）利用独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算，结合对立事件概率公式求解即可；
（3）由分层抽样确定7人中参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，3，计算出各概率得分布列，再由期望公式计算期望即可．
（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A，
答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，故．
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，
，，，则所求的概率为：
．
（3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人，
其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人，
再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3．
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故．
17．（2024高三上·成都期中）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．
（1）求证：B，D，E，四点共面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：在三棱柱中，，，
因为，，即，，
所以，则四边形为平行四边形，故，又，
所以，故B，D，E，四点共面；
（2）解：连接，取AC的中点O，连接，BO，
三棱柱中，四边形为平行四边形，，，
所以为等边三角形，又O为AC的中点，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，又，O为AC的中点，所以，
因为，，所以，
以O为原点，OB，OC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故，
因为，
由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．
【知识点】平面的基本性质及推论；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题设，，进而有，易得四边形为平行四边形，再结合证明即可；
（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，根据已知证明线面、线线垂直并构建空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.
（1）在三棱柱中，，，
因为，，即，，
所以，则四边形为平行四边形，故，又，
所以，故B，D，E，四点共面．
（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示．
三棱柱中，四边形为平行四边形，，，
所以为等边三角形，又O为AC的中点，所以．
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，又，O为AC的中点，所以．
因为，，所以．
以O为原点，OB，OC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故．
因为，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
18．（2024高三上·成都期中）设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”.
性质①：对于任意，都有；
性质②：对于任意，都有.
（1）已知，.分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”理由如下：，是对称轴为，开口向下的抛物线，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，且与存在交集，
所以区间不是函数的“美好区间；
（2）解：记，，若区间是函数的一个“美好区间”，则或，
由，得，
当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图象，如图所示：
（i）当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
（ii）当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iii）当，在区间上单调送减，在上单调递增，
且，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，
即，构造函数，
则，
由于，所以恒成立，
则在区间上单调递增，
所，
则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分别求出在区间和的值域，结合“美好区间”的定义判断即可；
（2）记，，根据“美好区间”的定义可得或，利用导数研究在的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围.
（1）区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”理由如下：
，是对称轴为，开口向下的抛物线，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，且与存在交集，
所以区间不是函数的“美好区间”.
（2）记，，
若区间是函数的一个“美好区间”，则或，
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图象如下：
（i）当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
（ii）当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iii）当，在区间上单调送减，在上单调递增，
且，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，
即，构造函数，
则，
由于，所以恒成立，
则在区间上单调递增，
所，
则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是.
19．（2024高三上·成都期中）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
【答案】（1）解：由题意可得，2ab=4，结合，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
由韦达定理可得：，
=
因为，所以，
整理得，解得，
又因为，
所以，
所以直线和直线的斜率之和为定值0；
②由①，不妨取，则，
设原点到直线AB的距离为d，
则
，
又因为，所以
当且仅当时取等号，．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，找出之间的关系式，列方程求解即可；
（2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；
②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意，2ab=4，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直线和直线的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又，所以
当且仅当时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
1 / 1四川省成都市四川师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题
1．（2024高三上·成都期中）（ ）
A．2 B． C．5 D．
2．（2024高三上·成都期中）已知，；，，则（ ）
A．假假 B．假真 C．真真 D．真假
3．（2024高三上·成都期中）已知，，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·成都期中）给定集合，，定义且，若，，下列选项错误的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高三上·成都期中）若定义在上的偶函数满足且时，，则方程的零点个数是
A．个 B．个 C．个 D．个
6．（2024高三上·成都期中）已知，，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．17
7．（2024高三上·成都期中）如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列结论一定成立的是（ ）
A．三棱锥的体积大小与点的位置有关
B．与平面相交
C．平面平面
D．
8．（2024高三上·成都期中）已知函数，当时，恒成立，则m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·成都期中）关于函数描述正确的是（ ）
A．最小正周期是 B．最大值是
C．一条对称轴是 D．一个对称中心是
10．（2024高三上·成都期中）已知定义在区间[a，b]上的函数，是的导函数，若存在，使得．则称ξ为函数f（x）在[a，b]上的“中值点”．下列函数，其中在区间上至少有两个“中值点”的函数为（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高三上·成都期中）已知双曲线的左、右焦点分别为．过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为与轴的交点为，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，则下列说法正确的有（ ）
A．若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为2或
B．若，且，则双曲线的离心率为
C．若，则的取值范围是
D．若直线的斜率为，则双曲线的离心率为
12．（2024高三上·成都期中）若公差不为0的等差数列的前四项和为10，且，，成等比数列，则 ．
13．（2024高三上·成都期中）若，则 ．
14．（2024高三上·成都期中）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数.已知维向量，其中，记范数为奇数的的个数为，则 ； （用含的式子表示，）.
15．（2024高三上·成都期中）为数列的前项和．已知，．
（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列为等差数列，且，求数列的前项和．
16．（2024高三上·成都期中）某校为了了解学情，对各学科的学习兴趣作了问卷调查，经过数据整理得到下表：
语文兴趣 数学兴趣 英语兴趣 物理兴趣 化学兴趣 生物兴趣
答卷份数 350 470 380 400 300 500
兴趣良好频率 0.7 0.9 0.8 0.5 0.8 0.8
假设每份调查问卷只调查一科，各类调查是否达到良好的标准相互独立．
（1）从收集的答卷中随机选取一份，求这份试卷的调查结果是英语兴趣良好的概率；
（2）从该校任选一位同学，试估计他在语文兴趣良好、数学兴趣良好、生物兴趣良好方面，至少具有两科兴趣良好的概率；
（3）按分层抽样的方法从参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学中抽取7人，再从这7人中抽取3人，记3人中来自化学兴趣的人数为，求的分布列和期望．
17．（2024高三上·成都期中）如图，在三棱柱中，平面平面ABC，，，，，，．
（1）求证：B，D，E，四点共面；
（2）求二面角的余弦值．
18．（2024高三上·成都期中）设函数的定义域为，对于区间，当且仅当函数满足以下①②两个性质中的任意一个时，则称区间是的一个“美好区间”.
性质①：对于任意，都有；
性质②：对于任意，都有.
（1）已知，.分别判断区间和区间是否为函数的“美好区间”，并说明理由；
（2）已知且，若区间是函数的一个“美好区间”，求实数的取值范围.
19．（2024高三上·成都期中）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，且四个顶点所围成的菱形的面积为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）四边形ABCD的顶点在椭圆上，且对角线AC，BD过原点O，设，满足．
①求证：直线AB和直线BC的斜率之和为定值；
②求四边形ABCD面积的最大值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】复数的模
【解析】【解答】解：.
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数模长公式直接求解即可.
2．【答案】B
【知识点】命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：不等式转化为，即，解集为，
则为假命题；
由，可得，解得，则，使.所以为真命题.
故答案为：B.
【分析】解不等式求解集即可判断的真假.
3．【答案】A
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【解答】解：易知，
因为，所以，
所以，所以，
又因为，所以，所以，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】易知，根据向量垂直，求得，化简可得两向量的夹角即可.
4．【答案】C
【知识点】集合的表示方法；基本不等式
【解析】【解答】解：A、当时，，
则，
当且仅当，即时等号成立，即，故A正确；
B、，故B正确；
C、，故C错误；
D、，故D正确.
故答案为：C.
【分析】由题意，利用基本不等式求得集合，再根据集合的定义逐项判断即可.
5．【答案】C
【知识点】函数的周期性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为偶函数满足，所以函数的周期，
当时，，且为偶函数，则函数图象如下图所示：
数形结合可知：方程有四个零点.
【分析】由题意，根据函数的周期性和奇偶性，画出函数图象，数形结合确定零点个数即可．
6．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为，且，所以，
则，
当且仅当，即，时等号成立，即的最小值为.
故答案为：B.
【分析】由题意可得，利用基本不等式结合“”的妙用求解即可.
7．【答案】C
【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中平面与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：A、在正方体中，平面，
因为，所以到平面的距离不变，
即三棱锥的体积与点的位置无关，故A错误；
B、因为，平面，平面，
所以平面，同理可证平面，
又因为，所以平面平面，
平面，所以平面，故B错误；
C、因为，，，
所以平面，则，同理，
又因为，所以平而，
又由平面，所以平面平面，故C错误；
D、当与重合时，可得与的夹角为，故D错误.
故答案为：C.
【分析】根据正方体的性质，结合三棱锥的体积即可判断A；由线面平行的判定定理，分别证得平面和平面得到平面平面即可判断B；根据线面垂直的判定定理，证得平而，得到平面平面即可判断C；根据当与重合时，得到与的夹角为即可判定D.
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：若，显然不是恒大于零，故，
当时，在上恒成立，
当时，等价于，
令在上单调递增，
因为，所以，即，
再设，令，
时，，时，，在上单调递增，在上单调递减，
则，即.
故答案为：D．
【分析】易知时不等式不恒成立，则，恒成立，判断的情形，不等式变形为，再变形为，令函数，求导，利用导数判断函数在区间上的单调性，不等式又变形为，，再令函数，由导数求得其最大值即得的范围．
9．【答案】B,C,D
【知识点】简单的三角恒等变换；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：A、函数
，则函数的最小正周期为，故A错误；
B、当，即时，
取得最大值，最大值为，故B正确；
C、由于时，，故是函数的一条对称轴，故C正确；
D、时，，故一个对称中心是，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用三角恒等变换得到，利用求出最小正周期即可判断A；当时，函数取得最大值即可判断B；代入进行检验即可判断CD.
10．【答案】A,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、由题意可得：，当时，，
由，则，
当时，，如下图所示：
由图可知，直线与曲线在上的图象有两个交点，故A正确；
B、，当时，，
由，所以，，
因为函数在上单调递增，故方程在上不可能有两个根，故B错误；
C、，当时，，
由，可得，解得，
故函数在上只有一个“中值点”，故C错误；
D、当时，，，
由，可得，
故函数在上有两个“中值点”，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由题意，求各函数的导函数，逐项判断方程在上的根的个数判断即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：A、双曲线渐近线的夹角为，则或即或，故A正确；
B、设，则，
故，解得，又，
即，故B正确；
C、 令圆切分别为点，则，
，令点，而，
因此，解得，又，则点横坐标为，
同理点横坐标为，即直线的方程为，
设直线的倾斜角为 ，那么 ，
在中，，
在中， ，渐近线的斜率为，
因为均在右支上，故，
如图所求，，故C错误；
D、，故，，，故，
由余弦定理可知，即，故D正确．
故答案为：ABD.
【分析】由题意，直接求离心率即可判断A；根据双曲线定义即可判断B；结合内切圆性质即可判断C；结合定义及余弦定理计算可得离心率即可判断D.
12．【答案】25
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的性质；等比中项
【解析】【解答】解：设数列的公差为，因为等差数列的前四项和为10， 所以，即，且，则，
整理得，解得，则.
故答案为：.
【分析】设数列的公差为，利用等差数列前n项和、通项公式及等比数列性质列方程求基本量，再由等差数列通项公式求项即可.
13．【答案】
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；三角函数诱导公式二~六；辅助角公式
【解析】【解答】解：，
则.
故答案为：.
【分析】由题意，利用同角三角函数关系、辅助角公式、二倍角公式和诱导公式化简求值即可.
14．【答案】；
【知识点】基本计数原理的应用；二项展开式
【解析】【解答】解：当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，
根据乘法原理和加法原理得到，
在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，
即的个数为、、、、，
根据乘法原理和加法原理得到，
，
，两式相减得到.
故答案为：；.
【分析】当时，范数为奇数，则的个数为偶数，即的个数为、，根据乘法原理和加法原理得到；在维向量中，范数为奇数，则的个数为奇数，即的个数为、、、、，根据乘法原理和加法原理结合二项式定理可求得的表达式.
15．【答案】证明：（1）因为，所以，
又因为，所以是以为首项，以2为公比的等比数列，
因为，所以．
当时，；经检验，也符合，则；
（2）因为数列为等差数列，且，所以公差，即，
因为，
所以
．
【知识点】等比数列概念与表示；数列的求和；等差数列的性质；等差数列与等比数列的综合
【解析】【分析】（1）由题意，根据等比数列的概念结合等比数列的性质求解即可；
（2）根据等差数列的定义及通项公式和裂项相消法求和即可．
16．【答案】（1）解：设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A，答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，故；
（2）解：设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，，，，则所求的概率为：
；
（3）解：从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人，
其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人，
再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3，
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故．
【知识点】分层抽样方法；互斥事件与对立事件；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）由题意，求出英语兴趣良好的人数，直接计算概率即可；
（2）利用独立事件概率公式和互斥事件概率公式计算，结合对立事件概率公式求解即可；
（3）由分层抽样确定7人中参与物理兴趣和化学兴趣调查的同学的人数，然后确定的所有取值为0，1，2，3，计算出各概率得分布列，再由期望公式计算期望即可．
（1）设“这份试卷的调查结果是英语兴趣良好”为事件A，
答卷总份数为，
其中英语兴趣良好有，故．
（2）设“语文兴趣良好”“数学兴趣良好”“生物兴趣良好”分别为事件，，，
，，，则所求的概率为：
．
（3）从参与物理兴趣和化学兴趣调查的700人中按分层抽样的方法抽取7人，
其中参与物理兴趣调查的抽取4人，参与化学兴趣调查的抽取3人，
再从中选取3人，则的所有取值为0，1，2，3．
，，
，，
则的分布列为
0 1 2 3
故．
17．【答案】（1）证明：在三棱柱中，，，
因为，，即，，
所以，则四边形为平行四边形，故，又，
所以，故B，D，E，四点共面；
（2）解：连接，取AC的中点O，连接，BO，
三棱柱中，四边形为平行四边形，，，
所以为等边三角形，又O为AC的中点，所以，
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，又，O为AC的中点，所以，
因为，，所以，
以O为原点，OB，OC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故，
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故，
因为，
由图可知，二面角为锐角，则二面角的余弦值为．
【知识点】平面的基本性质及推论；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）由题设，，进而有，易得四边形为平行四边形，再结合证明即可；
（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，根据已知证明线面、线线垂直并构建空间直角坐标系，利用向量法求二面角的余弦值即可.
（1）在三棱柱中，，，
因为，，即，，
所以，则四边形为平行四边形，故，又，
所以，故B，D，E，四点共面．
（2）连接，取AC的中点O，连接，BO，如图所示．
三棱柱中，四边形为平行四边形，，，
所以为等边三角形，又O为AC的中点，所以．
因为平面平面ABC，平面平面，平面，
所以平面ABC，又，O为AC的中点，所以．
因为，，所以．
以O为原点，OB，OC，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图所示．
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故．
设平面的一个法向量为，则，
令，则，，故．
因为，
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．
18．【答案】（1）解：区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”理由如下：，是对称轴为，开口向下的抛物线，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，且与存在交集，
所以区间不是函数的“美好区间；
（2）解：记，，若区间是函数的一个“美好区间”，则或，
由，得，
当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图象，如图所示：
（i）当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
（ii）当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iii）当，在区间上单调送减，在上单调递增，
且，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，
即，构造函数，
则，
由于，所以恒成立，
则在区间上单调递增，
所，
则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【分析】（1）分别求出在区间和的值域，结合“美好区间”的定义判断即可；
（2）记，，根据“美好区间”的定义可得或，利用导数研究在的单调性，分，，以及四种情况讨论在区间上的值域，利用集合间的关系，即可得到实数的取值范围.
（1）区间是函数的“美好区间”，区间不是函数的“美好区间”理由如下：
，是对称轴为，开口向下的抛物线，
当时，，所以区间是函数的“美好区间”
当时，，且与存在交集，
所以区间不是函数的“美好区间”.
（2）记，，
若区间是函数的一个“美好区间”，则或，
由，可得，
所以当或时，，则的单调递增区间为：，；
当时，，则的单调递增区间为：，
且，，，得到在的大致图象如下：
（i）当时，在区间上单调递减，且，
所以，则，即对于任意，都有，满足性质②，
故当时，区间是函数的一个“美好区间”；
（ii）当，在区间上单调递减，在上单调递增，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iii）当，在区间上单调送减，在上单调递增，
且，此时，
所以，，
则当时，区间不是函数的一个“美好区间”；
（iv）当时，在区间上单调递减，在上单调递增，
且，此时，因为，
则要使区间是函数的一个“美好区间”，则，
即，构造函数，
则，
由于，所以恒成立，
则在区间上单调递增，
所，
则，不满足题意，
故当时，区间不是函数的一个“美好区间”，
综上，实数的取值范围是.
19．【答案】（1）解：由题意可得，2ab=4，结合，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）证明：①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
由韦达定理可得：，
=
因为，所以，
整理得，解得，
又因为，
所以，
所以直线和直线的斜率之和为定值0；
②由①，不妨取，则，
设原点到直线AB的距离为d，
则
，
又因为，所以
当且仅当时取等号，．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
【知识点】基本不等式；平面内点到直线的距离公式；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）由题意，找出之间的关系式，列方程求解即可；
（2）①设出方程，直线与曲线联立，运用韦达定理，以及斜率公式求证即可；
②结合①的信息，令，则，根据点到直线距离公式和三角形面积公式，结合基本不等式求解即可.
（1）由题意，2ab=4，
又，解得，
所以椭圆的标准方程为．
（2）如图所示
①设直线AB的方程为，设
联立，得
(*)
=
，，
整理得，
所以直线和直线的斜率之和为定值0．
②由①，不妨取，则
设原点到直线AB的距离为d，则
又，所以
当且仅当时取等号．
．
即四边形ABCD的面积的最大值为4．
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