浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2024高二上·杭州期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（2024高二上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
3．（2024高二上·杭州期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高二上·杭州期中）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2024高二上·杭州期中）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2024高二上·杭州期中）设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高二上·杭州期中）已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高二上·杭州期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
9．（2024高二上·杭州期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高二上·杭州期中）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．由可得是的整数倍
B．的表达式可改写成
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
11．（2024高二上·杭州期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
12．（2024高二上·杭州期中）已知，，向量与垂直，则实数的值为 .
13．（2024高二上·杭州期中）已知直线在轴和轴上的截距互为相反数且过点，则这条直线的方程为 .
14．（2024高二上·杭州期中）已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为 .
15．（2024高二上·杭州期中）已知直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过点与直线垂直的直线的方程.
16．（2024高二上·杭州期中）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.
（1）求角的度数；
（2）求的长.
17．（2024高二上·杭州期中）已知空间三点，，.
（1）求以，为邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标.
18．（2024高二上·杭州期中）设直线，直线.
（1）若，求，之间的距离；
（2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程.
19．（2024高二上·杭州期中）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：已知，
所以复数在复平面对应的点的坐标为，所以z位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先利用复数的乘法运算可得，再结合复数的几何意义即可求解.
2．【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，
又因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用一元一次不等式的解法求出集合A，再利用补集的定义即可求解.
3．【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：已知直线则直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，
则，解得.
所以该直线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】先利用直线的斜截式方程求出直线倾斜，再利用斜率和倾斜角的关系即可求解.
4．【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】 【解答】解：三棱柱中，由为中点，如图所示：
则
.
故选：A.
【分析】空间向量加减法几何意义及数乘的几何意义可得化简运算即可求解.
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，由，得，
解得或，
反之，当时，共线，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】先利用共线向量的坐标表示可得，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
6．【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于.
此即，解得.
故答案为：C.
【分析】先利用偶函数的定义结合单调性，解绝对值不等式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，如图所示：
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故答案为：C
【分析】先设求出关于直线的对称点，再设关于轴的对称点，结合点关于直线对称的性质列出方程，求出点Q，T的坐标，利用两点间的距离公式求解的长即可求解．
8．【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以D为原点建立直角坐标系，如图空间：
则，
，.
故点到直线的距离.
故答案为：B
【分析】以D为坐标原点建立系，求出相应点的坐标，再利用空间向量求出，，再利用点到线距离公式即可求解.
9．【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，
A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可.
10．【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：已知，
化简得.
A，由，即，
因为函数的最小正周期，则是的整数倍，
所以不一定是的整数倍，故A选项错误；
B，
，故B选项正确；
C，当时，，即函数关于不对称，故C选项错误；
D，当时，，
即当时，取到最小值，则的图象关于直线对称，故D选项正确.
故答案为：BD．
【分析】先利用三角恒等变换将函数化简，再利用函数图象和性质，分别进行求解判断即可．
11．【答案】C,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设.
A、，
所以不成立，故A选项错误；
B、，
又，
所以，故B选项错误；
C、，
所以，故C选项正确；
D、
，故D选项正确.
故答案为：CD
【分析】先设，再利用空间向量的线性运算和数量积的定义计算及求模公式，逐项判断即可求解.
12．【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知向量，，则，，
因为向量与垂直，所以，解得.
故答案为：
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示列式即可求解.
13．【答案】或
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：设在轴和轴上的截距分别为和.
若，则过原点，设直线方程为y=kx，把点代入方程可得k=2，
即直线方程为，化成一般式方程为；
若，则过两个不同点和，设直线方程为.
又因为还过点，可得，解得，故其方程为，即.
故答案为：或.
【分析】设出直线的截距，分截距是否为零分别设出直线方程，把点（1，2）代入即可求解.
14．【答案】4
【知识点】两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：已知的方程及，可得恒过定点，
的方程及，可得恒过定点.
已知可得两直线垂直，故，所以.
故，
所以.
当时，有，此时.
所以的最大值是.
故答案为：.
【分析】先求出直线恒过定点A，B，再利用几何关系得到，再证明，时，即可得到结果.
15．【答案】（1）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
（2）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，
从而的方程是，即
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求出直线l的斜率，再利用两直线平行斜率相等，用点斜式即可得到方程.
（2）先求出直线l的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，用点斜式即可得到方程.
（1）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
（2）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
16．【答案】解：（1）由题设可得即，
而为三角形内角，故.
（2）由韦达定理可得，
由余弦定理可得，
故.
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形
【解析】【分析】（1）利用诱导公式可得角的余弦值，从而可求的大小.
（2）先利用根与系数关系得，再利用余弦定理可求的长.
17．【答案】（1）解：由，，
得，，
所以，由，得，
.
（2）解：设，
由或，
或.
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量坐标运算表示出，再利用夹角公式计算，再结合三角形面积公式计算即可求解；
（2）设，则，解之即可.
（1）由，，
得，，
所以，由，得，
.
（2）设，
由或，
或.
18．【答案】（1）解：已知两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即.
所以的距离是.
（2）解：已知的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，，
而相应面积.
所以即要求在时的最大值，
由于，且当时，
故最大时有.将代入，
知此时的方程为，即.
【知识点】两条直线平行的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析（1）先利用两直线平行求出，再根据平行线之间的距离公式计算即可求解；
（2）先求出直线的截距，再利用二次函数知识得到，再代入已知条件即可得到结果.
（1）根据两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即.
所以的距离是.
（2）由于的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，，
而相应面积.
所以即要求在时的最大值，
由于，且当时，
故最大时有.将代入，
知此时的方程为，即.
19．【答案】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：
则，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：由已知得，，，，
，，
又平面，平面，
所以，建立空间直角系如图所示：
则，，，，，.
显然平面的法向量，，
点到平面的距离.
（3）解：假设存在点满足题意，令，，则，
显然平面的法向量，设平面的法向量为
由，取，
，
即，解得.
，，.
记与平面所成角为，
则.
存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，利用平行的传递性可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角系，利用空间向量法求平面的法向量再利用点面距公式即可求解；
（3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可.
（1）取中点，连接，，则，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由已知得，，，，
，，
又平面，平面，
所以，建立如图空间直角系.
则，，，，，.
显然平面的法向量，，
点到平面的距离.
（3）假设存在点满足题意，令，，则，
显然平面的法向量，设平面的法向量为
由，取，
，
即，解得.
，，.
记与平面所成角为，
则.
存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为.
1 / 1浙江省杭州市S9联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题
1．（2024高二上·杭州期中）在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数运算的几何意义
【解析】【解答】解：已知，
所以复数在复平面对应的点的坐标为，所以z位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先利用复数的乘法运算可得，再结合复数的几何意义即可求解.
2．（2024高二上·杭州期中）已知集合，，则（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【答案】C
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：，
又因为，
所以或.
故答案为：C.
【分析】先利用一元一次不等式的解法求出集合A，再利用补集的定义即可求解.
3．（2024高二上·杭州期中）直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】直线的倾斜角
【解析】【解答】解：已知直线则直线的斜率为，
设该直线的倾斜角为，
则，解得.
所以该直线的倾斜角为.
故答案为：D.
【分析】先利用直线的斜截式方程求出直线倾斜，再利用斜率和倾斜角的关系即可求解.
4．（2024高二上·杭州期中）在三棱柱中，为中点，若，，，则下列向量中与相等的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算
【解析】 【解答】解：三棱柱中，由为中点，如图所示：
则
.
故选：A.
【分析】空间向量加减法几何意义及数乘的几何意义可得化简运算即可求解.
5．（2024高二上·杭州期中）已知，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充分必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，由，得，
解得或，
反之，当时，共线，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】先利用共线向量的坐标表示可得，再结合充分条件、必要条件的定义判断得解.
6．（2024高二上·杭州期中）设偶函数在上单调递增，则满足的的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由于是偶函数，且在上递增，故原不等式等价于.
此即，解得.
故答案为：C.
【分析】先利用偶函数的定义结合单调性，解绝对值不等式即可求解.
7．（2024高二上·杭州期中）已知点，，从点射出光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后又经直线OB反射回点P，则光线经过的路程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内中点坐标公式；与直线关于点、直线对称的直线方程；平面内两点间的距离公式
【解析】【解答】由题意直线方程为，设关于直线的对称点，如图所示：
则，解得，即，又关于轴的对称点为，
．
故答案为：C
【分析】先设求出关于直线的对称点，再设关于轴的对称点，结合点关于直线对称的性质列出方程，求出点Q，T的坐标，利用两点间的距离公式求解的长即可求解．
8．（2024高二上·杭州期中）如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为的中点，则点到直线的距离为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】解：以D为原点建立直角坐标系，如图空间：
则，
，.
故点到直线的距离.
故答案为：B
【分析】以D为坐标原点建立系，求出相应点的坐标，再利用空间向量求出，，再利用点到线距离公式即可求解.
9．（2024高二上·杭州期中）已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【解答】解：已知，，
A、，故A正确；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据空间向量线性运算、数量积、模的坐标表示计算，依次判断选项即可.
10．（2024高二上·杭州期中）已知函数，下列命题正确的有（ ）
A．由可得是的整数倍
B．的表达式可改写成
C．的图象关于点对称
D．的图象关于直线对称
【答案】B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：已知，
化简得.
A，由，即，
因为函数的最小正周期，则是的整数倍，
所以不一定是的整数倍，故A选项错误；
B，
，故B选项正确；
C，当时，，即函数关于不对称，故C选项错误；
D，当时，，
即当时，取到最小值，则的图象关于直线对称，故D选项正确.
故答案为：BD．
【分析】先利用三角恒等变换将函数化简，再利用函数图象和性质，分别进行求解判断即可．
11．（2024高二上·杭州期中）如图，在平行六面体中，，，，，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C,D
【知识点】空间向量的加减法；空间向量的数乘运算；空间向量的数量积运算
【解析】【解答】解：设.
A、，
所以不成立，故A选项错误；
B、，
又，
所以，故B选项错误；
C、，
所以，故C选项正确；
D、
，故D选项正确.
故答案为：CD
【分析】先设，再利用空间向量的线性运算和数量积的定义计算及求模公式，逐项判断即可求解.
12．（2024高二上·杭州期中）已知，，向量与垂直，则实数的值为 .
【答案】
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：已知向量，，则，，
因为向量与垂直，所以，解得.
故答案为：
【分析】先利用向量线性运算的坐标表示求出的坐标，再利用向量垂直的坐标表示列式即可求解.
13．（2024高二上·杭州期中）已知直线在轴和轴上的截距互为相反数且过点，则这条直线的方程为 .
【答案】或
【知识点】直线的截距式方程
【解析】【解答】解：设在轴和轴上的截距分别为和.
若，则过原点，设直线方程为y=kx，把点代入方程可得k=2，
即直线方程为，化成一般式方程为；
若，则过两个不同点和，设直线方程为.
又因为还过点，可得，解得，故其方程为，即.
故答案为：或.
【分析】设出直线的截距，分截距是否为零分别设出直线方程，把点（1，2）代入即可求解.
14．（2024高二上·杭州期中）已知直线过定点，直线过定点，与的交点为，则的最大值为 .
【答案】4
【知识点】两条直线垂直的判定；恒过定点的直线
【解析】【解答】解：已知的方程及，可得恒过定点，
的方程及，可得恒过定点.
已知可得两直线垂直，故，所以.
故，
所以.
当时，有，此时.
所以的最大值是.
故答案为：.
【分析】先求出直线恒过定点A，B，再利用几何关系得到，再证明，时，即可得到结果.
15．（2024高二上·杭州期中）已知直线.
（1）求过点与直线平行的直线的方程；
（2）求过点与直线垂直的直线的方程.
【答案】（1）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
（2）解：由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，
从而的方程是，即
【知识点】两条直线平行的判定；两条直线垂直的判定；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）先求出直线l的斜率，再利用两直线平行斜率相等，用点斜式即可得到方程.
（2）先求出直线l的斜率，再利用两直线垂直斜率之积为-1，用点斜式即可得到方程.
（1）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
（2）由于的方程可化为，故斜率为，所以的斜率是，从而的方程是，即.
16．（2024高二上·杭州期中）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程的两根，.
（1）求角的度数；
（2）求的长.
【答案】解：（1）由题设可得即，
而为三角形内角，故.
（2）由韦达定理可得，
由余弦定理可得，
故.
【知识点】三角函数诱导公式二~六；解三角形
【解析】【分析】（1）利用诱导公式可得角的余弦值，从而可求的大小.
（2）先利用根与系数关系得，再利用余弦定理可求的长.
17．（2024高二上·杭州期中）已知空间三点，，.
（1）求以，为邻边的平行四边形的面积；
（2）若向量分别与，垂直，且，求向量的坐标.
【答案】（1）解：由，，
得，，
所以，由，得，
.
（2）解：设，
由或，
或.
【知识点】空间向量垂直的坐标表示；空间向量的数量积运算的坐标表示
【解析】【分析】（1）根据空间向量坐标运算表示出，再利用夹角公式计算，再结合三角形面积公式计算即可求解；
（2）设，则，解之即可.
（1）由，，
得，，
所以，由，得，
.
（2）设，
由或，
或.
18．（2024高二上·杭州期中）设直线，直线.
（1）若，求，之间的距离；
（2）求直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最大时的直线的方程.
【答案】（1）解：已知两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即.
所以的距离是.
（2）解：已知的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，，
而相应面积.
所以即要求在时的最大值，
由于，且当时，
故最大时有.将代入，
知此时的方程为，即.
【知识点】两条直线平行的判定；平面内点到直线的距离公式
【解析】【分析（1）先利用两直线平行求出，再根据平行线之间的距离公式计算即可求解；
（2）先求出直线的截距，再利用二次函数知识得到，再代入已知条件即可得到结果.
（1）根据两直线平行，可知，解得，所以的方程是，即.
所以的距离是.
（2）由于的横纵截距分别为和，即和，故根据题意有，，
而相应面积.
所以即要求在时的最大值，
由于，且当时，
故最大时有.将代入，
知此时的方程为，即.
19．（2024高二上·杭州期中）四棱锥中，平面，，，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求点到平面的距离；
（3）在线段上，是否存在一点，使得平面与平面的夹角为？如果存在，求出与平面所成角的正弦值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：取中点，连接，，如图所示：
则，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）解：由已知得，，，，
，，
又平面，平面，
所以，建立空间直角系如图所示：
则，，，，，.
显然平面的法向量，，
点到平面的距离.
（3）解：假设存在点满足题意，令，，则，
显然平面的法向量，设平面的法向量为
由，取，
，
即，解得.
，，.
记与平面所成角为，
则.
存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，，利用平行的传递性可得，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）以A为坐标原点，建立空间直角系，利用空间向量法求平面的法向量再利用点面距公式即可求解；
（3）假设存在点满足题意，令（），利用空间向量法求解面面角建立关于的方程，解出，再次利用空间向量法求解线面角即可.
（1）取中点，连接，，则，
又，所以且，
所以四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，
所以平面.
（2）由已知得，，，，
，，
又平面，平面，
所以，建立如图空间直角系.
则，，，，，.
显然平面的法向量，，
点到平面的距离.
（3）假设存在点满足题意，令，，则，
显然平面的法向量，设平面的法向量为
由，取，
，
即，解得.
，，.
记与平面所成角为，
则.
存在点，满足要求，且与平面所成角的正弦值为.
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