2024-2025学年高二上学期数学期末模拟测试（人教A版2019选择性必修第一册至第二册第四章）（含解析）
文档属性
| 名称 | 2024-2025学年高二上学期数学期末模拟测试（人教A版2019选择性必修第一册至第二册第四章）（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 1.1MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-13 17:04:58 | ||
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文档简介
2024-2025学年第一学期高二数学期末模拟测试
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．若向量则，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项和为（ ）
A．6 B．11 C．36 D．51
3．已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+)
6．过的直线交圆O：于.M，N两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)．
9．已知数列满足，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为 D．的前20项和为284
10．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交C于点，（其中），与C的准线交于点D．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．F为线段AD中点 D．的面积为
11．已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A．当实数变化时，直线恒过定点
B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C．当时，圆关于直线对称
D．当时，直线与圆没有公共点
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为 .
13．已知数列满足：，，则当 时，数列的前n项和取得最小值.
14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点． 若，则的横坐标为 ．
四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
17．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足的点P的轨迹方程．
18．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是棱上的动点，且，，M是边中点.
(1)当时，证明：平面.
(2)当点E到直线距离最近时，求点D到平面的距离.
19．已知为坐标原点，是椭圆的左，右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的左，右顶点，不与y轴垂直的直线交椭圆于两点，
①若直线过点，求的面积的最大值；
②记直线的斜率为，直线的斜率为，且．证明：直线过定点．
高二数学期末模拟测试参考答案
1．C解析：向量，则，
，
所以，的夹角的余弦值为.故选：C
2．C分析：由，，成等比数列，求出，由等差数列的前项和即可求出答案.
解析：等差数列的首项为1，所以，，，成等比数列，所以，
所以解得：，所以数列的前6项和为：.故选：C.
3．B解析：依题意，设，，则，又，
两式做差可得即，所以.故选；B
4．C分析：首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
解析：直线的斜率，直线的斜率，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或 .故选：．
点睛：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．
5．C分析：由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
解析：因为是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，
所以，则，
代入得，当且仅当时取等号，
因为，所以，又点是双曲线右支上任意一点，所以，即，即，
所以，又，所以.故选：C．
6．C解析：，故为的中点，
，由垂径定理得.故选：C
7．A解析：在四面体中，，分别是，的中点，
选：A．
8．A分析：首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解.
解析：当时，；
当时，符合上式，所以，
所以．故选：A.
9．ABD分析：当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
解析：当时，，当时，，
两式相减可得：，
所以，当时，满足，故，故A正确；
的前项和为，故B正确；
令，的前100项和为：
，故C错误；令，
所以的前20项和为：
，故D正确.故选：ABD.
10．BC分析：求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段AD中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项.
解析：
由已知可得，，准线，直线的方程为.
联立直线的方程与抛物线的方程可得，.
由韦达定理可得，，.又，，所以，
又，所以，故A项错误；
对于B项，结合图象，解可得，，.
过点作，垂足为，则.
根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确；
对于C项，因为，所以，则点.
将代入直线的方程为可得，，即.
所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确；
对于D项，.
点到直线，即的距离为，
所以，的面积，故D项错误. 故选：BC.
11．AD分析：A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确.
解析：A选项，变形为，，解得，
故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；
B选项，当直线与直线平行时，，故直线，
故两条直线的距离为，B错误；
C选项，当时，直线，
，故圆心为，
其中，故圆心不在上，故圆不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，
圆心到直线的距离，的半径为，
由于，故直线与圆没有公共点，D正确.故选：AD
12．分析：方法1：如图点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，由等面积法可得答案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案.
解析：方法1：由正方体棱长为2，则，又为的中点，
则.
点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，
取中点为F，连接EF，则EF为边上的高，
则；
方法2：如图建立空间直角坐标系，则，
，.
则在上的投影向量为：.
则到直线的距离.故答案为：.
13．4分析：根据题意得到数列为等差数列，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
解析：由数列满足，，
根据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
可得,
因为，所以时，数列的前n项和取得最小值.故答案为：
14．5解析：设，则，所以故答案为：5.
15．分析：（1）设的公差为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.
解析：（1）设的公差为．由，
得，化简得，解得．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以 ①
则 ②
由①－②得：
，
所以数列的前n项和．
16．分析：（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立；
（2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．
（3）根据向量法求点到平面的距离.
解析：（1）因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．
又因为EF平面PCD，DC 平面PCD，所以EF平面PCD．
又因为EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，
所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.
（2）因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，则，所以，.
设平面PAB的一个法向量为，则可取
设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，由，，
得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．
（3）由点到平面的距离公式可得，即点A到平面PCD的距离为.
17．分析：（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，
（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.
解析：（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1．
（2）设，则，．
由于，则，
整理得点P的轨迹方程为：．
经检验，上的点都符合条件．
18．分析：（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可证为平行四边形，即可根据线面平行的判断求解，
（2）建立空间直角坐标系．利用向量，结合点到线的距离公式求出距离的表达式，进而结合二次函数的性质求解最值，即可得，进而求解平面的法向量，又点到面的距离公式即可求解.
解析：（1）取中点，连接,
当时，是棱上的中点，故且 ，
又且 ，M是边中点,所以且 ，
故四边形为平行四边形，因此,
又平面,平面,故平面.
（2）取棱的中点，连接，由于平面，四边形是菱形，，
所以，，两两垂直，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，,，，，
故，，，．
因为，所以，则．
，，
点E到直线距离为,
故当时，此时取到最小值，此时点E到直线距离最小，
设平面的法向量为，则，
令，得．，
所以点D到平面的距离为
19．分析：（1）根据离心率以及即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式表达面积，即可利用换元法以及函数的单调性求解①，根据点差法可将问题转化为，根据斜率公式，代入韦达定理化简即可求解②.
解析：（1）由题意可知，故，
故椭圆方程为
（2）①设直线方程为联立得，
设，则，
故，
点到直线的距离为，
因此，
令，则，，故，
由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号，故，
故的面积的最大值为
②设直线，
联立得，且，
设，则，
由于在椭圆上，故,
,
由于，故,
，解得，
时，，
故直线，故直线恒过，
点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第Ⅰ卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．
1．若向量则，的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前6项和为（ ）
A．6 B．11 C．36 D．51
3．已知椭圆的右焦点为，点P，Q在直线上，，O为坐标原点，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．，，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点且，则双曲线离心率的取值范围是（ ）
A．(1,2] B．[2 +) C．(1,3] D．[3，+)
6．过的直线交圆O：于.M，N两点，若，则（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在四面体中，，分别是，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知数列的前n项和，则的值为( )
A．68 B．67 C．65 D．56
二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)．
9．已知数列满足，则（ ）
A． B．的前项和为
C．的前100项和为 D．的前20项和为284
10．已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为的直线交C于点，（其中），与C的准线交于点D．下列结论正确的是（ ）
A． B．
C．F为线段AD中点 D．的面积为
11．已知直线，圆的方程为，下列表述正确的是（ ）
A．当实数变化时，直线恒过定点
B．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为
C．当时，圆关于直线对称
D．当时，直线与圆没有公共点
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）
12．在棱长为的正方体中，为的中点，则点到直线的距离为 .
13．已知数列满足：，，则当 时，数列的前n项和取得最小值.
14．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点． 若，则的横坐标为 ．
四、解答题（本题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．已知等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前n项和．
16．如图，在三棱锥中，平面ABQ，，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，连接GH．
(1)求证：；
(2)求平面PAB与平面PCD所成角的余弦值；
(3)求点A到平面PCD的距离．
17．已知圆与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)求满足的点P的轨迹方程．
18．如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是棱上的动点，且，，M是边中点.
(1)当时，证明：平面.
(2)当点E到直线距离最近时，求点D到平面的距离.
19．已知为坐标原点，是椭圆的左，右焦点，的离心率为，点是上一点，的最小值为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知是椭圆的左，右顶点，不与y轴垂直的直线交椭圆于两点，
①若直线过点，求的面积的最大值；
②记直线的斜率为，直线的斜率为，且．证明：直线过定点．
高二数学期末模拟测试参考答案
1．C解析：向量，则，
，
所以，的夹角的余弦值为.故选：C
2．C分析：由，，成等比数列，求出，由等差数列的前项和即可求出答案.
解析：等差数列的首项为1，所以，，，成等比数列，所以，
所以解得：，所以数列的前6项和为：.故选：C.
3．B解析：依题意，设，，则，又，
两式做差可得即，所以.故选；B
4．C分析：首先求出直线、的斜率，然后结合图象即可写出答案．
解析：直线的斜率，直线的斜率，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是或 .故选：．
点睛：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况，属于基础题．
5．C分析：由双曲线定义，变形后由基本不等式得最小值，从而得，再利用双曲线中的范围有，由此结合可得离心率的范围．
解析：因为是双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上的任意一点，
所以，则，
代入得，当且仅当时取等号，
因为，所以，又点是双曲线右支上任意一点，所以，即，即，
所以，又，所以.故选：C．
6．C解析：，故为的中点，
，由垂径定理得.故选：C
7．A解析：在四面体中，，分别是，的中点，
选：A．
8．A分析：首先利用与之间的关系求出数列的通项公式，然后结合等差数列求和公式即可求解.
解析：当时，；
当时，符合上式，所以，
所以．故选：A.
9．ABD分析：当时，，两式相减可求出，检验满足，可判断A；由等差数列的前项和公式可判断B；由分组求和法可判断C，D.
解析：当时，，当时，，
两式相减可得：，
所以，当时，满足，故，故A正确；
的前项和为，故B正确；
令，的前100项和为：
，故C错误；令，
所以的前20项和为：
，故D正确.故选：ABD.
10．BC分析：求出直线的方程，与抛物线联立，根据韦达定理得出，，推出，可判断A项；解方程得出点坐标，根据抛物线的定义求出的值，可判断B项；求出点，得出线段AD中点的坐标，即可判断C项；根据B可得出，进而求出点到直线的距离，即可得出面积，判断D项.
解析：
由已知可得，，准线，直线的方程为.
联立直线的方程与抛物线的方程可得，.
由韦达定理可得，，.又，，所以，
又，所以，故A项错误；
对于B项，结合图象，解可得，，.
过点作，垂足为，则.
根据抛物线的定义可得，，同理可得，故B项正确；
对于C项，因为，所以，则点.
将代入直线的方程为可得，，即.
所以，线段中点坐标为，恰好为点，故C项正确；
对于D项，.
点到直线，即的距离为，
所以，的面积，故D项错误. 故选：BC.
11．AD分析：A选项，变形后得到直线恒过；B选项，先根据直线平行得到，进而利用两直线距离公式求出答案；C选项，求出圆心，代入检验得到圆心不在直线上，从而C错误；D选项，求出圆心到直线的距离，与圆的半径比较后得到D正确.
解析：A选项，变形为，，解得，
故当实数变化时，直线恒过定点，A正确；
B选项，当直线与直线平行时，，故直线，
故两条直线的距离为，B错误；
C选项，当时，直线，
，故圆心为，
其中，故圆心不在上，故圆不关于直线对称，C错误；
D选项，当时，，
圆心到直线的距离，的半径为，
由于，故直线与圆没有公共点，D正确.故选：AD
12．分析：方法1：如图点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，由等面积法可得答案；方法2：如图建立空间直角坐标系，由空间向量知识可得答案.
解析：方法1：由正方体棱长为2，则，又为的中点，
则.
点到直线的距离为等腰三角形边AE所对应的高，
取中点为F，连接EF，则EF为边上的高，
则；
方法2：如图建立空间直角坐标系，则，
，.
则在上的投影向量为：.
则到直线的距离.故答案为：.
13．4分析：根据题意得到数列为等差数列，求得，得到，结合二次函数的性质，即可求解.
解析：由数列满足，，
根据等差数列的定义知，数列是首项为，公差为的等差数列，所以，
可得,
因为，所以时，数列的前n项和取得最小值.故答案为：
14．5解析：设，则，所以故答案为：5.
15．分析：（1）设的公差为，则由已知条件列方程组可求出，从而可求出通项公式；
（2）由（1）得，然后利用错位相减法可求出.
解析：（1）设的公差为．由，
得，化简得，解得．
所以数列的通项公式为．
（2）由（1）知，
所以 ①
则 ②
由①－②得：
，
所以数列的前n项和．
16．分析：（1）由中位线定理得EFDC，然后由线面平行判定定理和性质定理得出线线平行，从而证得结论成立；
（2）以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．用空间向量法求二面角的余弦值．
（3）根据向量法求点到平面的距离.
解析：（1）因为D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，所以EFAB，DCAB，所以EFDC．
又因为EF平面PCD，DC 平面PCD，所以EF平面PCD．
又因为EF 平面EFQ，平面EFQ平面PCD＝GH，
所以EFGH，又因为EFAB，所以ABGH.
（2）因为，PB⊥平面ABQ，所以BA，BQ，BP两两垂直．
以点B为坐标原点，分别以BA，BQ，BP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，则，所以，.
设平面PAB的一个法向量为，则可取
设平面PDC的一个法向量为＝(x，y，z)，由，，
得，取z＝1，得＝(0，2，1)．所以cos〈〉＝，
所以平面PAB与平面PCD所成角的余弦值为．
（3）由点到平面的距离公式可得，即点A到平面PCD的距离为.
17．分析：（1）将圆的一般方程配成标准方程，即可求解圆心，利用相切即可求解半径，
（2）根据两点间的距离公式即可列等式，化简即可求解.
解析：（1）圆C的标准方程为，所以圆C的圆心坐标为．又圆C与y轴相切，所以，即，故圆C的半径为1．
（2）设，则，．
由于，则，
整理得点P的轨迹方程为：．
经检验，上的点都符合条件．
18．分析：（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可证为平行四边形，即可根据线面平行的判断求解，
（2）建立空间直角坐标系．利用向量，结合点到线的距离公式求出距离的表达式，进而结合二次函数的性质求解最值，即可得，进而求解平面的法向量，又点到面的距离公式即可求解.
解析：（1）取中点，连接,
当时，是棱上的中点，故且 ，
又且 ，M是边中点,所以且 ，
故四边形为平行四边形，因此,
又平面,平面,故平面.
（2）取棱的中点，连接，由于平面，四边形是菱形，，
所以，，两两垂直，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
则，,，，，
故，，，．
因为，所以，则．
，，
点E到直线距离为,
故当时，此时取到最小值，此时点E到直线距离最小，
设平面的法向量为，则，
令，得．，
所以点D到平面的距离为
19．分析：（1）根据离心率以及即可求解，
（2）联立直线与椭圆方程得韦达定理，进而根据弦长公式以及点到直线的距离公式表达面积，即可利用换元法以及函数的单调性求解①，根据点差法可将问题转化为，根据斜率公式，代入韦达定理化简即可求解②.
解析：（1）由题意可知，故，
故椭圆方程为
（2）①设直线方程为联立得，
设，则，
故，
点到直线的距离为，
因此，
令，则，，故，
由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号，故，
故的面积的最大值为
②设直线，
联立得，且，
设，则，
由于在椭圆上，故,
,
由于，故,
，解得，
时，，
故直线，故直线恒过，
点睛：圆锥曲线中定点问题的两种解法
（1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.
（2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.
技巧：若直线方程为,则直线过定点;
若直线方程为 (为定值),则直线过定点