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【北师大版八年级数学（下）课时练习】
§2.2不等式的基本性质
一、选择题（共30分）
1．（3分）若，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
解：、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
∴，
∴，该选项正确，不合题意；
、∵，
当时，；当时，，
∴不一定正确，该选项符合题意；
故选：．
2．（3分）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
解：设■，●，▲的质量分别为，
根据题意可得：，，
，
，
，
，
，
●与■的质量比可能为，
故选：A．
3．（3分）如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（ ）
A．ab＞0 B． C． D．
解：根据不等式的性质依次分析各项即可判断．
A、如果a＜b＜0，则a，b同是负数，因而，本选项正确；
B、如果a＜b＜0，则a，b同是负数，因而，本选项正确；
C、a＜b＜0，则|a|＞|b|，则，，也可以设a=-2，b=-1代入检验得到是错误的，故本选项错误；
D、如果a＜b＜0，则，本选项正确；
故选C．
4．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a-3＞b-3 B． C．-2a＜-2b D．-2+a＜-2+b
解：A、a-3＞b-3，正确；
B、，正确；
C、-2a＜-2b，正确；
D、根据不等式的性质可得：-2+a＜-2+b不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．该选项错误．
故选D．
5．（3分）若m>n，则下列各式中不成立的是（ ）
A．m-5>n-5 B．m+4>n+4 C．6m>6n D．-3m>-3n
解A 正确；因为在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；
B 正确；因为在不等式的两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向不变；
C 正确；因为在不等式的两边同时乘以一个大于0 的数，不等式的方向不变;
D 错误；因为在不等式的两边同时乘以一个小于0的数，不等式要变号;
故选D.
6．（3分）若，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：A选项，不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变，故本选项不符合题意；
B选项，不等式两边同时乘以（或除以减）同一个负数，不等号方向改变，故本选项不符合题意；
C选项，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，故本选项符合题意；
D选项，不等式两边同时乘以（或除以减）同一个正数，不等号方向不变，故本选项不符合题意；
故选：C．
7．（3分）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、∵x>y，∴，故此选项不符合题意；
B、∵x>y，∴，故此选项不符合题意；
C、∵x>y，当z≠0时，，当z=0时，，∴不成立，故此选项符合题意；
D、∵x>y，∴，故此选项不符合题意；
故选：C．
8．（3分）如果，则下列变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、如果，则，故变形错误；
B、如果，则，故变形错误；
C、如果，则的大小无法确定，故变形错误；
D、如果，则，故变形正确；
故选：D．
9．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．如果，，那么
解A、对顶角相等，本选项为定理，所以为真命题，不符合题意；
B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
C、依据平行线定理，只有平行的两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，故本选项说法不正确，是假命题，符合题意；
D、如果，，那么，本选项为定理，所以是真命题，不符合题意；
故选：C．
10．（3分）如果，那么下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
解：A、由可以得到，故此选项不符合题意；
B、当，由不可以得到，故此选项符合题意；
C、由可以得到，故此选项不符合题意；
D、由可以得到，故此选项不符合题意；
故选B．
二、填空题（共15分）
11．（3分）已知，且，则与的大小关系是 ．
解：，且，
，
故答案为：．
12．（3分）以下是一位同学求解不等式时的过程：
发现有错后，请你修改正确答案.
他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意．
① “”内应修改的正确答案是
② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是 （请写明基本性质的具体内容）
解：①“”内应修改的正确答案是12；
②“去分母”这步，依据的不等式基本性质是不等式两边同时乘或除以一个正数，不等号开口方向不变．
故答案为：①12；②不等式的两边同时乘以或除以一个正数，不等号的方向不变．
13．（3分）如果，那么 ．
解：，
，
，
故答案为：．
14．（3分）在新冠肺炎防控期间，全国各地高速路口加强了对车辆的管控．某高速公路收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每30分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，统计这两个出口30分钟一共通过的小客车的数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车的数量（辆） 160 230 200 260 140
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每30分钟通过小客车的数量最多一个收费出口是 ．
解：∵230-160=70，230-200=30，260-200=60，260-140=120，160-140=20，
∴C＞A，B＞D，E＞C，D＞A，B＞E，
由B＞D和D＞A得B＞A，
由E＞C和B＞E得B＞C，
∴每30分钟通过小客车数量最多的一个收费出口的编号是B，
故答案为：B．
15．（3分）用“”或“”填空：
（1）如果，，那么a b；
（2）如果，，那么a b；
（3）如果，，那么a b；
（4）当，b 0时，或者，b 0时，有．
解：（1）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向不变，
得a＞b，
故答案是：＞；
（2）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向不变，
得a＜b，
故答案是：＜；
（3）因为，，在不等式两边同时乘以b，不等号方向改变，
得a＞b，
故答案是：＞；
（4）当，b＞0时，a＞0，
在不等式b＞0两边同时乘以a，不等式方向不变，即；
当，b＜0时，
在不等式b＜0两边同时乘以a，不等式方向改变，即．
故答案是：＞；＜.
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知．
(1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
（1）解：当时，
，
；
当时，
，
；
当时，
，
；
故答案为：1，，，，8，4
（2）解：由（1）可得，当时，；当时，；当时，；
猜想：无论a为何值，始终成立．
故答案为：＞
（3）解：
∵，
∴，
∴，
∴．
17．（7分）一直关于的不等式两边都除以，得．
（1）求的取值范围；
（2）试化简．
解（1）∵ 关于的不等式两边都除以得,
∴ ,
∴ ；
由（1）得,
∴，,
∴.
18．（8分）由不等式得到，试化简．
解∵由不等式得到
∴，即
∴．
19．（8分）某网店在年的“庆国庆”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．
(1)小华的妈妈在该网店购买了一台标价元的吸尘器，他应付多少元？
(2)徐老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？
(3)某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元．若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价．求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含的代数式表示）
（1）解：∵元，
∴他应付元．
（2）解：设榨汁机原价为元，
根据题意得：，
解得：，
∵元，
∴一次性购买台灯，榨汁机原价的和是元，
∵元，
∴王老师一次性购买，只需要付款元．
（3）解：根据题意，第二次购物商品的标价为元，
∵第一次购物商品标价少于第二次购物商品的标价，
∴，
解得：，
若，则，
该顾客两次购物的实际付款共元；
若，则，
该顾客两次购物的实际付款共元；
若，则，
该顾客两次购物的实际付款共元．
综上所述，时，该顾客两次购物的实际付款共元；时，该顾客两次购物的实际付款共元；，该顾客两次购物的实际付款共元．
20．（8分）某商店准备购进甲乙两种服装共100件进行销售，其中甲种服装每件利润40元，乙种服装每件利润50元．设购进甲种服装（）件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)该店购进甲，乙服装各多少件时，才能使销售总利润最大？最大利润为多少元？
(3)实际进货时，厂家对甲服装的出厂价下调（）元，且限定该店最多只能购进甲服装60件．若该店保持售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100件服装总利润最大的进货方案．
（1）解：根据题意得，；
（2）解：∵，随的增大而减小，
∴当时，有最大值为（元）．
∴当购进甲服装30件，乙服装70件时，总利润最大，为4700元；
（3）解：．
①当时，即时，随的增大而增大，
∴当时，取最大值．即购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大，
此时，
∵，
∴，
∴；
②当时，即时，．
∴当购进甲服装满足的整数时，均获得最大利润．
③当时，即时，随的增大而减小．
∴当时，取最大值，即购进30件甲服装，70件乙服装时，总利润最大，
此时，
∵，
∴，
∴．
综上可知，购进60件甲服装，40件乙服装时，总利润最大．
21．（9分）阅读材料，解决下列问题．
八年级的小逸同学刚学完了不等式的基本性质1和2后，将课本中“不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向___________．”的横线处填上“改变”．小逸想利用不等式的基本性质1和2来验证自己的答案，把问题转化为以下的形式：①已知，．求证：．②已知，．求证：．针对①小逸给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据．证明：∵，即c是一个负数，∴c的相反数是正数，即．∵，∴（依据1：___________），即，不等式的两边同时加，得（依据2：___________），去括号，合并同类项可得，即，得证．
(1)材料中依据1是___________，依据2是___________．
(2)参考小逸的证明方法，请你完成②的证明．
（1）解：根据题意得：材料中依据1是不等式的基本性质2（不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变）；
依据2是不等式的基本性质1（不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变）．
故答案为：不等式的基本性质2（不等式的两边都乘同一个正数，不等号的方向不变）；不等式的基本性质1（不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变）
（2）证明：∵，即c是一个负数，
∴c的相反数是正数，即．
∵，
∴（依据不等式的基本性质2或不等式的两边都除以同一个正数，不等号的方向不变），
即，
不等式的两边都加，得（依据不等式的基本性质1或不等式的两边都加同一个整式，不等号的方向不变），
去括号，合并同类项可得，
即，得证．
22．（9分）（1）小明在学习时推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？
已知x>y，两边都乘以5，得5x>5y；（1）
两边都减去5x，得0>5y－5x；（2）
即0>5（y－x）．（3）
两边都除以y－x，得0>5．（4）
（2）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE垂直平分AC于点D，交AB于点E，求证：BC＝CE．
解：（1）错在第（4）步．
∵x＞y，
∴y-x＜0．不等式两边同时除以负数y-x，不等号应改变方向才能成立．
（2）证明：∵DE垂直平分AC于点D，交AB于点E，
∴AE=CE，
∴∠ACE=∠A=36°，
∵AB=AC，
∴∠ACB=∠B=72°，
∴∠BCE=∠ACE=36°，
∴∠BEC=∠B=72°，
∴BC=CE．
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§2.2不等式的基本性质
一、选择题（共30分）
1．（3分）若，则下列不等式不一定正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）设■，●，▲分别表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，则●与■的质量比可能为（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（3分）如果ａ＜ｂ＜0,下列不等式中错误的是（ ）
A．ab＞0 B． C． D．
4．（3分）如果a＞b，下列各式中不正确的是（ ）
A．a-3＞b-3 B． C．-2a＜-2b D．-2+a＜-2+b
5．（3分）若m>n，则下列各式中不成立的是（ ）
A．m-5>n-5 B．m+4>n+4 C．6m>6n D．-3m>-3n
6．（3分）若，则下列式子一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
7．（3分）已知，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如果，则下列变形中正确的是（ ）
A． B． C． D．
9．（3分）下列命题中，假命题是（ ）
A．对顶角相等
B．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补
D．如果，，那么
10．（3分）如果，那么下列不等式不成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共15分）
11．（3分）已知，且，则与的大小关系是 ．
12．（3分）以下是一位同学求解不等式时的过程：
发现有错后，请你修改正确答案.
他在分析错因时写道：单独一个数或字母，在“去分母”时，容易漏乘，应该在“1”下面标注“”或另作标记，提醒自己注意．
① “”内应修改的正确答案是
② “去分母”这步，依据的不等式基本性质是 （请写明基本性质的具体内容）
14．（3分）在新冠肺炎防控期间，全国各地高速路口加强了对车辆的管控．某高速公路收费站出城方向有编号为A，B，C，D，E的五个小客车收费出口，假定各收费出口每30分钟通过小客车的数量分别都是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，统计这两个出口30分钟一共通过的小客车的数量记录如下：
收费出口编号 A，B B，C C，D D，E E，A
通过小客车的数量（辆） 160 230 200 260 140
在A，B，C，D，E五个收费出口中，每30分钟通过小客车的数量最多一个收费出口是 ．
15．（3分）用“”或“”填空：
（1）如果，，那么a b；
（2）如果，，那么a b；
（3）如果，，那么a b；
（4）当，b 0时，或者，b 0时，有．
三、解答题（共55分）
16．（6分）已知．
(1)计算：当时，______，______；当时，______，______；当时，______，______；
(2)猜想：无论a为何值，A______B始终成立（填“＞”，“＜”或“＝”）；
(3)请说明（2）中猜想的合理性．
17．（7分）一直关于的不等式两边都除以，得．
（1）求的取值范围；
（2）试化简．
18．（8分）由不等式得到，试化简．
19．（8分）某网店在年的“庆国庆”活动中对顾客实行优惠购物，优惠规定如下：①如果一次性购物在元以内，按标价给予九折优惠；②如果一次性购物超过元的，可以先享受“天猫”每满元减元的优惠政策（满元减元，以此类推，不设上限）进行减扣，然后再给予八折优惠．
(1)小华的妈妈在该网店购买了一台标价元的吸尘器，他应付多少元？
(2)徐老师先在该网店为女儿购买了一台台灯，付款元．后来想到家里的榨汁机坏了，又上这家网店花了元买了一台榨汁机，如果王老师一次性购买，只需要付款多少元？
(3)某顾客在该网店两次购物的商品标价共计元．若第一次购物商品标价为元，且少于第二次购物商品的标价．求该顾客两次购物的实际付款共多少元？（用含的代数式表示）
20．（8分）某商店准备购进甲乙两种服装共100件进行销售，其中甲种服装每件利润40元，乙种服装每件利润50元．设购进甲种服装（）件，两种服装全部售完，商场获利元．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)该店购进甲，乙服装各多少件时，才能使销售总利润最大？最大利润为多少元？
(3)实际进货时，厂家对甲服装的出厂价下调（）元，且限定该店最多只能购进甲服装60件．若该店保持售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100件服装总利润最大的进货方案．
21．（9分）阅读材料，解决下列问题．
八年级的小逸同学刚学完了不等式的基本性质1和2后，将课本中“不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向___________．”的横线处填上“改变”．小逸想利用不等式的基本性质1和2来验证自己的答案，把问题转化为以下的形式：①已知，．求证：．②已知，．求证：．针对①小逸给出如下推理过程，请认真阅读，并填写依据．证明：∵，即c是一个负数，∴c的相反数是正数，即．∵，∴（依据1：___________），即，不等式的两边同时加，得（依据2：___________），去括号，合并同类项可得，即，得证．
(1)材料中依据1是___________，依据2是___________．
(2)参考小逸的证明方法，请你完成②的证明．
22．（9分）（1）小明在学习时推导出了0>5的错误结论．请你仔细阅读她的推导过程，指出问题到底出在哪里？
已知x>y，两边都乘以5，得5x>5y；（1）
两边都减去5x，得0>5y－5x；（2）
即0>5（y－x）．（3）
两边都除以y－x，得0>5．（4）
（2）如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，DE垂直平分AC于点D，交AB于点E，求证：BC＝CE．
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