2024-2025学年陕西省西安市华清中学高二（上）月考数学试卷（1月份）（含答案）

2024-2025学年陕西省西安市华清中学高二（上）月考
数学试卷（1月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等差数列中，若，则的值为( )
A. B. C. D.
2.“”是“直线：与直线：垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知向量，，向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.正三棱锥的侧面都是直角三角形，，分别是，的中点，则与平面所成角的正弦为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
6.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，与轴相交于，两点，若是直角三角形，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
7.等比数列的前项和为，公比为，若，，则( )
A. B. C. D.
8.已知抛物线：的焦点为，该抛物线与直线：相交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共27分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在四面体中，已知，，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 平面与平面夹角的余弦值为
D. 若，分别是，上的动点，则的最小值为
10.已知曲线的方程为，则( )
A. 当时，曲线为圆
B. 当时，曲线为双曲线，其渐近线方程为
C. 当时，曲线为焦点在轴上的椭圆
D. 当时，曲线为双曲线，其焦距为
11.已知数列的前项和为，，则( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
12.过点且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为______．
13.设，为椭圆：的两个焦点，为上一点且在第一象限．若为等腰三角形，则的坐标为______．
14.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在棱长相等的正三棱柱中，，，，分别为，，，的中点．
证明：平面．
求平面与平面的夹角的正弦值．
16.本小题分
已知数列满足，，，数列满足，．
Ⅰ求数列的通项公式；
Ⅱ求数列的前项和．
17.本小题分
已知椭圆：的焦距为，短半轴长为．
求椭圆的方程；
已知直线交椭圆于，两点，且的中点为，求直线的方程．
18.本小题分
已知曲线：及直线：且直线与双曲线有两个不同的交点，．
求实数的取值范围；
是坐标原点，且的面积为，求实数的值．
19.本小题分
已知正项等差数列的前项和为，满足，．
求数列的通项公式；
若，记数列的前项和，求．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：证明：在，，分别为，的中点，
所以．
因为为的中点，所以．
在三棱柱中，，所以，，
所以四边形是平行四边形，所以．
因为平面，平面，所以平面．
记的中点为，以为坐标原点，的方向分别为
轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系．
不妨设正三棱柱所有的棱长均为，
则点．
．
设平面的法向量为，
则，取，
设平面的法向量为，
则，取，
，，
平面与平面的夹角的正弦值为：
．
16.解：Ⅰ因为，所以，所以是首项为，公差为的等差数列，所以通项公式为．
Ⅱ因为，
所以是首项为，公比为的等比数列，
所以，所以，
则
，
所以，
所以由得：
，
所以．
17.解：因为，，
所以，
故椭圆的方程为；
易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，，，
则，两式相减得，
整理得，
因为的中点为，所以，
所以直线的方程为，即．
18.解：设，，
联立，整理可得，
当时，直线与双曲线由两个不同的交点，
即，
所以的取值范围为，且；
由可知，，
所以弦长，
原点到直线的距离，
所以，
由题意，整理可得：，
解得：或符合题意，
所以实数的值为或．
19.解：设等差数列的公差为，
由，得，
相减得，即，
又，所以，
由，得，
解得舍，
由，得；
因为，
所以，
所以．
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