2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二(上)期末数学试卷(含答案)

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名称 2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二(上)期末数学试卷(含答案)
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资源类型 教案
版本资源 通用版
科目 数学
更新时间 2025-01-13 18:58:56

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文档简介

2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二(上)期末数学试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线:与直线:平行,则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列,且,,则( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的公共弦的长度为( )
A. B. C. D.
5.在三棱柱中,,,,,,则( )
A. B.
C. D.
6.若圆上恰有个点到直线的距离为,则( )
A. B. C. D.
7.若椭圆:的左、右焦点分别为,,为上的任意一点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中,后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球,第二层有个球,第三层有个球第层有个球,则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题:本题共3小题,共18分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。
9.已知事件,发生的概率分别为,,则下列说法中正确的是( )
A. 若与互斥,则 B. 若,则
C. 若与相互独立,则 D. 若,则与相互独立
10.已知等差数列的前项和为,且,则下列结论中正确的是( )
A. 是递增数列 B. 时,的最大值为
C. 数列中的最大项为 D. 时,的最大值为
11.如图所示,在棱长为的正方体中,点是棱的中点,则下列结论中正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 若点在底面内运动,且点到直线的距离为,则点的轨迹为一个椭圆的一部分
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分。
12.已知等比数列的前项和为,且,,则 ______.
13.如图,二面角的大小为,其棱上有两个点,,线段与分别在这个二面角的两个面内,并且都垂直于棱若,,,则,两点间的距离为______.
14.已知双曲线的左焦点为,过点的直线与圆相切于点,与的右支交于点,若,则的离心率为______.
四、解答题:本题共5小题,共77分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点,,.
求圆的标准方程;
若过原点的直线交圆于,两点,且,求直线的方程.
16.本小题分
一个不透明的箱子中有个红球、个蓝球球除颜色外,没有其它差异.
若从箱子中不放回的随机抽取两球,求两球颜色相同的概率;
若从箱子中有放回的抽取两球,求两球颜色相同的概率.
17.本小题分
已知数列的前项和为,且.
证明数列为等比数列,并求的通项公式;
在和之间插入个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,求数列的前项和.
18.本小题分
如图,在多面体中,平面平面,是边长为的等边三角形,四边形是菱形,且,,.
求证:平面;
在线段上是否存在点,使平面与平面夹角的余弦值为若存在,请说明点的位置;若不存在,请说明理由.
19.本小题分
已知椭圆的离心率为,左、右焦点分别为、,上顶点为,且.
求的标准方程;
不过原点的直线:与交于不同的两点、,在的延长线上取一点使得,连接交于点点在线段上且不与端点重合,若,试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值.
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解:设圆的标准方程为,
代入、、的坐标,可得,解得,
所以圆的标准方程为;
当直线的斜率不存在时,直线方程为,与圆相离,不符合题意;
当直线的斜率存在时,设的方程为,即,
因为直线被圆截得弦长为,可得为点到直线的距离,
解得,即到直线的距离,解得,所以直线的方程是,即.
16.解:把个红球标记为,,,,个蓝球标记为,,
从箱子中随机抽取两球的样本空间为:
,共有个样本点,
设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”,
则事件,包含个样本点,

设事件“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”,
事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”,
事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”,
则,且与互斥.
所以,,
则.
17.证明:因为,
当时,,所以,
当时,,
由得,即,
所以,又,
所以数列是首项为,公比为的等比数列,
所,故;
解:因为,所以,
解得,所以,
所以,

两式相减得

所以.
18.证明:取的中点,连接,,
因为为等边三角形,所以,
又平面平面,平面平面,平面,
所以平面,
又四边形是菱形,且,所以,
故以为原点,为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
因为,,计算可得,
则,,,,,
所以,,
得到,故,,
得到,所以,
又,平面,平面,,
所以平面;
解:假设存在点,使平面与平面夹角的余弦值为,
设,,则,
所以,,即,
所以,,
设平面的法向量为,则,,
则,所以,
令,得,,所以,
又平面的一个法向量为,
所以,解得或舍去,
所以存在点,使平面与平面夹角的余弦值为,此时点为线段的中点.
19.解:由题意可得,
又因为椭圆的离心率为,所以,
又,联立解得,,
所以椭圆的标准方程为:;
设点、,
联立整理可得:,
则,
由韦达定理可得,,
所以

因为点为中点,所以,
由,可得,即,
所以,点为中点,
所以点的坐标为,
将点的坐标代入椭圆的方程,可得,
化简得,
又,,
代入上式可得,,即.
把,,代入,
可得,且满足式.
在直线的方程中,令,可得,即直线交轴于点,
则直线与坐标轴所围成三角形面积为

当且仅当时,即当时取等号.
所以直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值为.
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