2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年山东省济宁市邹城市兖矿一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线的焦点坐标是( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与直线：平行，则与之间的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知数列为等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
4.圆与圆的公共弦的长度为( )
A. B. C. D.
5.在三棱柱中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
6.若圆上恰有个点到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
7.若椭圆：的左、右焦点分别为，，为上的任意一点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的详解九章算法商功中，后人称为“三角垛”“三角垛”最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球第层有个球，则数列的前项和为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知事件，发生的概率分别为，，则下列说法中正确的是( )
A. 若与互斥，则 B. 若，则
C. 若与相互独立，则 D. 若，则与相互独立
10.已知等差数列的前项和为，且，则下列结论中正确的是( )
A. 是递增数列 B. 时，的最大值为
C. 数列中的最大项为 D. 时，的最大值为
11.如图所示，在棱长为的正方体中，点是棱的中点，则下列结论中正确的是( )
A. 点到平面的距离为
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 三棱锥的外接球的表面积为
D. 若点在底面内运动，且点到直线的距离为，则点的轨迹为一个椭圆的一部分
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等比数列的前项和为，且，，则 ______．
13.如图，二面角的大小为，其棱上有两个点，，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱若，，，则，两点间的距离为______．
14.已知双曲线的左焦点为，过点的直线与圆相切于点，与的右支交于点，若，则的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点，，．
求圆的标准方程；
若过原点的直线交圆于，两点，且，求直线的方程．
16.本小题分
一个不透明的箱子中有个红球、个蓝球球除颜色外，没有其它差异．
若从箱子中不放回的随机抽取两球，求两球颜色相同的概率；
若从箱子中有放回的抽取两球，求两球颜色相同的概率．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且．
证明数列为等比数列，并求的通项公式；
在和之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，在多面体中，平面平面，是边长为的等边三角形，四边形是菱形，且，，．
求证：平面；
在线段上是否存在点，使平面与平面夹角的余弦值为若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为、，上顶点为，且．
求的标准方程；
不过原点的直线：与交于不同的两点、，在的延长线上取一点使得，连接交于点点在线段上且不与端点重合，若，试求直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值．
参考答案
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15.解：设圆的标准方程为，
代入、、的坐标，可得，解得，
所以圆的标准方程为；
当直线的斜率不存在时，直线方程为，与圆相离，不符合题意；
当直线的斜率存在时，设的方程为，即，
因为直线被圆截得弦长为，可得为点到直线的距离，
解得，即到直线的距离，解得，所以直线的方程是，即．
16.解：把个红球标记为，，，，个蓝球标记为，，
从箱子中随机抽取两球的样本空间为：
，共有个样本点，
设事件“从箱子中随机抽取两球且颜色相同”，
则事件，包含个样本点，
．
设事件“从箱子中有放回地抽取两球且颜色相同”，
事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为红球”，
事件“从箱子中有放回地抽取两球且两球都为蓝球”，
则，且与互斥．
所以，，
则．
17.证明：因为，
当时，，所以，
当时，，
由得，即，
所以，又，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
所，故；
解：因为，所以，
解得，所以，
所以，
，
两式相减得
，
所以．
18.证明：取的中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又四边形是菱形，且，所以，
故以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，计算可得，
则，，，，，
所以，，
得到，故，，
得到，所以，
又，平面，平面，，
所以平面；
解：假设存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，
设，，则，
所以，，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，，
则，所以，
令，得，，所以，
又平面的一个法向量为，
所以，解得或舍去，
所以存在点，使平面与平面夹角的余弦值为，此时点为线段的中点．
19.解：由题意可得，
又因为椭圆的离心率为，所以，
又，联立解得，，
所以椭圆的标准方程为：；
设点、，
联立整理可得：，
则，
由韦达定理可得，，
所以
，
因为点为中点，所以，
由，可得，即，
所以，点为中点，
所以点的坐标为，
将点的坐标代入椭圆的方程，可得，
化简得，
又，，
代入上式可得，，即．
把，，代入，
可得，且满足式．
在直线的方程中，令，可得，即直线交轴于点，
则直线与坐标轴所围成三角形面积为
，
当且仅当时，即当时取等号．
所以直线与坐标轴所围成三角形面积的最小值为．
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