2024-2025学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省凉山州高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共15小题，每小题4分，共60分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
2.已知抛物线方程为，则它的焦点是( )
A. B. C. D.
3.已知，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.从，，，，这五个数中任选一个数字是偶数的概率是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.已知直线平面，直线平面，则( )
A. B. C. 与相交 D. 与不相交
7.双曲线的焦距是( )
A. B. C. D.
8.如图所示，正六边形边长为，为中心，则( )
A.
B.
C.
D.
9.如果一组数据，，，的平均数是，那么，，，的平均数是( )
A. B. C. D.
10.“”是的条件．
A. 充分必要 B. 必要而不充分 C. 充分而不必要 D. 既不充分也不必要
11.已知，其中是虚数单位，则实数( )
A. B. C. D.
12.已知，，且，则等于( )
A. B. C. D.
13.已知向量，向量，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
14.已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点若，则椭圆的方程为( )
A. B. C. D.
15.如图，正三棱柱的各棱长包括底面边长都是，，分别是，的中点，则与侧棱所成的角的余弦值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
16.已知，，则 ______．
17.已知复数的实部为，且，则复数的虚部为______．
18.抛物线上一点到焦点的距离为，则点的坐标为______．
19.已知动点和两定点，，且满足，则点的轨迹方程是______．
20.是椭圆上一点，，分别为椭圆的左、右焦点，且，则的面积为______．
三、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.本小题分
已知椭圆的一个焦点为，一个顶点为，求椭圆的标准方程．
22.本小题分
已知向量，，且与垂直．
求的值；
求与的夹角，
23.本小题分
方程有一个根为，求实数的值；
方程有一个根为，求的值．
24.本小题分
已知双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，求：
双曲线的标准方程；
双曲线的渐近线方程．
25.本小题分
已知抛物线的顶点在原点，对称轴为轴，点为抛物线上的点，且点到焦点的距离为，求抛物线的标准方程．
26.本小题分
如图，将边长为的正方形沿对角线对折，使点，的距离为，求：
二面角的大小；
三棱锥的体积．
参考答案
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21.解：由题意，椭圆的焦点在轴上，且，，
，椭圆的标准方程为．
22.解：，，
，
与垂直，
，
；
，
，，
，，
，．
23.解：方程有一个根为，
则，即，即，
故，解得，
故实数的值为；
方程有一个根为，
则，即，
故．
24.解：椭圆的焦点位于轴，
则，，故，
故椭圆的离心率为，焦点为，
双曲线与椭圆共焦点，它们的离心率之和为，
则双曲线的焦点为，离心率为，
设双曲线的方程为，
故，解得，，
故双曲线的方程为；
双曲线的方程为，
令，解得，
故双曲线的渐近线方程为．
25.解：由已知，抛物线开口向左，设其方程为，，则准线方程为，
由抛物线的定义知，点到焦点的距离是，所以，
所以抛物线的方程是：．
26.解：连接，与相交于点，
因为正方形，所以，且，
翻折后，，，
所以即为二面角的平面角，
在中，，，
所以，即，
所以，
故二面角的大小为．
由知，，
因为，、平面，
所以平面，
所以三棱锥的体积．
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