2024-2025学年江苏省扬州市宝应县安宜高级中学高三（上）期末数学模拟试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市宝应县安宜高级中学高三（上）期末
数学模拟试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，且，则集合可以是( )
A. B.
C. D.
2.已知复数，则“”是“复数的实部大于”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.在的展开式常数项是( )
A. B. C. D.
4.设，均为非零向量，且，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
5.过点的直线与圆：交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
7.已知直线经过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，若使得成立的点的横坐标为，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若有两个零点，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知等差数列的前项和为，且，，则( )
A. 数列为等比数列
B.
C. 当且仅当时，取得最大值
D.
10.已知两个变量与对应关系如下表：
若与满足一元线性回归模型，且经验回归方程为，则( )
A. 与正相关 B.
C. 样本数据的第百分位数为 D. 各组数据的残差和为
11.如图，在棱长为的正四面体中，点是顶点在底面内的射影，为的中点，则( )
A.
B.
C. 点到平面的距离为
D. 三棱锥的外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线是双曲线的一条渐近线，则双曲线的离心率为______．
13.某流水线上生产的一批零件，其规格指标可以看作一个随机变量，且，对于的零件即为不合格，不合格零件出现的概率为，现从这批零件中随机抽取个，用用表示个零件的规格指标位于区间的个数，则随机变量的方差是______．
14.已知函数的两个极值点为，，且，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，已知，且，．
求的值；
若的面积，求，的值．
16.本小题分
已知数列的前项和满足．
求的通项公式；
设，求数列的前项和．
17.本小题分
如图，在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，．
求证：；
若平面平面，在线段包含端点上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
小张参加某公司的招聘考试，题目按照难度不同分为类题和类题，小张需要通过“抽小球”的方式决定要答的题目难度类型：一个箱子里装有质地、大小一样的个球，个标有字母，另外个标有字母，小张从中任取个小球，若取出的球比球多，则答类题，否则答类题．
Ⅰ设小张抽到球的个数为，求的分布列及．
Ⅱ已知类题里有道论述题和道计算题，类题里有道论述题和道计算题，小张确定题目的难度类型后需要从相应题目中任选一道题回答．
求小张回答论述题的概率；
若已知小张回答的是论述题，求小张回答的是类题的概率．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点，点与点关于原点对称，过点作直线与交于，两点异于点，设直线与的斜率分别为，．
若直线的斜率为，求的面积；
求的值．
参考答案
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15.解：由题意，结合余弦定理得，，
则；
由于，
解得，
又，
为锐角，即，
，
，
又，，
，．
16.解：，
，，
数列是以为首项，为公比的等比数列，则．
，
，
．
17.解：取的中点，连接，，
因为是边长为的正三角形，所以，由，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以；
由得，，因为平面平面且交线为，
所以平面，
以点为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，
设平面的法向量为，
，则有，取，
设平面的法向量为，，
则有，
所以，
若平面平面，则，求得，
所以．

18.解：Ⅰ根据题意，可取的值为、、，
，，，
故的分布列为：

；
Ⅱ记事件“小张回答类题”，“小张回答类题”，“小张回答论述题”，
则，，
，，
则，
，
故．
19.解：因为椭圆的离心率为，
所以，
整理得，
因为点在椭圆上，
所以，
联立，
解得，，
则椭圆的方程为，
因为点与点关于原点对称，
所以，
此时直线的方程为，
不妨设，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以，
而到直线的距离，
所以；
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
联立，
解得，，
不妨设，，
因为，，
所以，，
则；
当直线斜率存在时，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则
．
综上得．
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