2024-2025学年北京166中高三（上）期末数学模拟试卷（12月份）（含答案）

2024-2025学年北京166中高三（上）期末数学模拟试卷（12月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是( )
A. B. C. D.
3.求圆的圆心到的距离( )
A. B. C. D.
4.已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是( )
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
6.设函数，已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数若，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知，是函数的图象上的两个不同的点，则( )
A. B. C. D.
9.的外接圆的半径等于，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
10.如图，正方体的棱长为，动点在线段上，动点在平面上，且平面，则线段长度的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，共30分。
11.的展开式中含的项的系数为______．
12.设向量，且，则 ______；和所成角为______．
13.已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为______．
14.直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为______．
15.设与是两个不同的无穷数列，且都不是常数列记集合，给出下列四个结论：
若与均为等差数列，则中最多有个元素；
若与均为等比数列，则中最多有个元素；
若为等差数列，为等比数列，则中最多有个元素；
若为递增数列，为递减数列，则中最多有个元素．
其中正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
在中，内角，，的对边分别为，，，为钝角，，，
求；
若，求的面积．
17.本小题分
如图，四棱柱的底面是边长为的正方形，，侧面底面，是棱上一点，平面．
求证：是的中点；
再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个条件作为已知，使四棱柱唯一确定，
求二面角的余弦值；
设直线与平面的交点为，求的值．
条件：；条件：；条件：D.
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷试讲讲座前后这位居民答卷的正确率如下表：
编号正确率 号 号 号 号 号 号 号 号 号 号
试讲讲座前
试讲讲座后
根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级：
答卷正确率
垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀
假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率．
Ⅰ正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率；
Ⅱ正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取人，这人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”设随机变量为“这人讲座后垃圾分类知识水平达到优秀的人数”，试估计的分布列和数学期望；
Ⅲ在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？结论不要求证明
19.本小题分
设椭圆，离心率为，长轴长为过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴不重合．
求椭圆的方程；
已知点，直线与轴交于，与轴交于，直线与轴交于，与轴交于，若，求直线的斜率．
20.本小题分
已知函数．
当时，求函数的单调区间；
证明：当，曲线的切线不经过点；
当时，若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，求实数的取值范围．
21.本小题分
已知：，，，为有穷整数数列．给定正整数，若对任意的，在中存在，，，，，使得，则称为连续可表数列．
Ⅰ判断：，，是否为连续可表数列？是否为连续可表数列？说明理由；
Ⅱ若：，，，为连续可表数列，求证：的最小值为；
Ⅲ若：，，，为连续可表数列，且，求证：．
参考答案
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16.解：由，可得，
因为为钝角，即，所以，
由正弦定理得，结合，解得，所以不符合题意，舍去．
法一：根据题意，可得，
根据余弦定理，得，即以，
整理得，解得或舍负，所以．
法一：根据题意，可得，
由正弦定理得，即，解得，
结合为锐角，可得，
所以，
可得．
17.解：证明：连接交于，连接，
因为平面，平面，平面平面，
所以，又因为四边形是平行四边形，所以是的中点，
所以是的中点；
选择条件：
因为底面是正方形，所以，
侧面平面，且侧面平面，平面，
故CD平面，又平面，则，
即四边形为矩形，因为，，则，
与选择条件：等价，故条件不能进一步确定，的夹角大小，故二面角不能确定；
选择条件：
连结，因为底面是正方形，所以，
又因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，平面，所以，，
在中，因为，，所以，
在中，因为，，所以，
又，，平面，所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，其中，，，，
且，，易知为平面的一个法向量，
设为平面面的一个法向量，
则，则，即．
不妨设，则，，
可得，
所以，
因为二面角的平面角是钝角，设为，故，
所以二面角的余弦值为．
选择条件：
因为底面是正方形，所以，
因为，且，，平面，
所以平面，因为平面，所以，
因为侧面平面，且侧面平面，平面，
所以平面，又，
所以如图建立空间直角坐标系，下面同选择条件．
设，又，，
则，所以，
所以，因为平面，
所以，所以，解得，
所以．
18.解：正式讲座前，位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：，
所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：．
Ⅱ由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：，
正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：，
由题意，的值可以为：，，，，
且：，
，
，
．
所以的分布列为：


所以．
Ⅲ从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从未参加讲座的居民中抽取人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为；
从参加讲座后的居民中抽取人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则．
因为，，．
所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大．
19.解：因为椭圆的离心率为，长轴长为，
所以，
解得，，，
则．
因为过点的直线与椭圆交于，两点，直线与轴不重合，所以直线的斜率不为，
设直线得方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得或，；
由韦达定理得，，
所以，，
若，
此时，
即，
直线，直线，
令，
可得，，
令，
可得，，
所以，
即，
此时，
解得，
直线斜率为．
综上所述，直线的斜率为．

20.解：当时，，函数定义域为，
可得，
当时，；当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
证明：当时，，函数定义域为，
可得．
设曲线的切点为，
此时切线方程为，
假设切线过原点，
可得，
整理得．
令，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
所以，
则方程无解，
综上可知，曲线在点的切线不过原点；
若曲线与直线在区间上有两个不同的交点，
即在区间上有两个不同的解，
所以在区间上有两个不同的解，
即在区间上有两个不同的解，
设，函数定义域为，
可得，
令，
解得，
因为，
所以，
当，，单调递减；
当，，单调递增，
所以，
当时，；当时，，
要使在区间上有两个不同的解，
此时．
故实数的取值范围为．
21.解：Ⅰ若，则对于任意的，
，，，，，
所以是连续可表数列；
由于不存在任意连续若干项之和相加为，
所以不是连续可表数列；
Ⅱ假设的值为，则，，最多能表示，，，，，，共个数字，
与是连续可表数列矛盾，故；
现构造：，，，可以表达出，，，，，，，这个数字，即存在满足题意．
故的最小值为．
Ⅲ先证明．
从个正整数中，取一个数字只能表示自身，最多可表示个数字，
取连续两个数字最多能表示个数字，取连续三个数字最多能表示个数字，
取连续四个数字最多能表示个数字，取连续五个数字最多能表示个数字，
所以对任意给定的个整数，最多可以表示个正整数，不能表示个正整数，即．
若，最多可以表示个正整数，
由于为连续可表数列，且，
所以其中必有一项为负数．
既然个正整数都不能连续可表的正整数，
所以至少要有个正整数连续可表的正整数，
所以至少个正整数和一个负数才能满足题意，
故．
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