湖北省十堰市2025届高三上学期期末考试数学试卷（含答案）

湖北省十堰市2025届高三上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列双曲线，焦点在轴上且渐近线方程为的是( )
A. B. C. D.
3.如图，在中，是延长线上一点，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知，且，，，的中位数为，则( )
A. B. C. D.
6.已知正三棱锥的体积为，，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. B. C. D.
7.在中，，为上一点，，，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数若实数，，满足，且，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知虚数满足，则( )
A. 的实部为 B. 的虚部为 C. D. 可能为纯虚数
10.已知，函数，则下列说法正确的是( )
A. 若为奇数，则是的极小值点
B. 若为奇数，则是的极大值点
C. 若为偶数，则是的极小值点
D. 若为偶数，则是的极大值点
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论正确的是( )
A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称
B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C. 若是曲线上的任意点，则的最大值为
D. 已知，直线与曲线交于，两点，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数是定义在上的奇函数，若，，则 ．
13.已知，函数在上单调递减，则的最大值为 ．
14.由数字，构成一个位的数字序列，含有连续子序列的数字序列有 个例如，符合题意
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现在很多市民都喜欢骑“共享单车”，但也有很多市民并不喜欢为了调查人们对这种交通方式是否喜欢，某同学从交通拥堵严重的城市和交通拥堵不严重的城市随机调查了名市民，得到了一个市民是否喜欢的样本，具体数据如下列联表：
总计
喜欢
不喜欢
总计
请根据列联表，并依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联
为进一步了解城市的拥堵情况，该同学从样本中城市的市民中按是否喜欢利用分层随机抽样的方法抽
取人，并从这人中选出人代表发言，记代表发言中喜欢骑“共享单车”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．
参考公式：，其中．
附：
16.本小题分
如图，在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，侧棱，点，分别在侧棱，上，且．
求平面与平面夹角的余弦值．
已知为底面的中心，在上是否存在点，使得平面若存在，求出若不存在，请说明理由．
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，且．
求的通项公式
若，记数列的前项和为，若恒成立，求的取值范围．
18.本小题分
已知抛物线的焦点在直线上，，，是上的三个点．
求的方程
已知，且直线经过点，，求直线的方程
已知，在轴的两侧，过点，分别作抛物线的切线，，且与交于点，直线与和分别交于点，，求面积的最小值．
19.本小题分
设函数在区间上有定义，若对任意，，，都满足，则称函数在区间上为级速增函数．
判断函数在区间上是否为级速增函数，说明理由．
若函数在区间上为级速增函数，且，证明：对任意，，恒成立．
若在区间上为级速增函数，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：零假设为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况无关联，
根据列联表中的数据，
得，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为市民是否喜欢骑“共享单车”与城市的拥堵情况有关联，此推断犯错误的概率不大于．
根据分层随机抽样的知识可知，随机抽取的人中喜欢骑“共享单车”的有人，不喜欢骑“共享单车”的有人，所以随机变量的所有可能取值为，，，
，，，
所以的分布列为
所以．
16.解：因为在直四棱柱中，底面是边长为的正方形，
所以以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则
令，则，
易知是平面的一个法向量，
所以，，
即平面与平面夹角的余弦值为．
由可得，，，
假设存在满足条件的点，设，
所以，
因为平面，
所以，
解得．
故当时，平面．
17.解：由，可得，
两式相减可得，，即数列的公比为．
当时，，则，
解得，所以．
，
，
，
则，
即，
解得．
由，可得．
令，则．
当时，，
当时，，
当时，，
所以，所以，
所以的取值范围为
18.解：由题可知，所以，解得，
所以的方程为．
设，，由题可知，，
依题意知直线的斜率必存在，设直线的方程为．
由整理得，则，．
，，
因为，所以，
所以，，
解得，所以直线的方程为．
设，，直线的方程为，
由整理得，
则，，
因为，在轴的两侧，所以不妨设，，由
得，
设切线，的斜率分别为，，又，所以，则，，
所以的方程为，即，
同理可得的方程为．
由即
令，可得，，
点到直线的距离为，
故的面积为当时，等号成立
令，，记，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，
故面积的最小值为．
19.解：因为，则
，
即，
所以函数在区间上为级速增函数．
证明：因为函数在区间上为级速增函数，
所以任意，，，都满足，
已知，令，，所以，
故时，
解：由题设，令，而，
所以在，上恒成立．
令，则在上单调递增，
则，
令，则，
所以在上，，即在上单调递减，在上，，即在上单调递增，
所以．
综上，，
故只需，
即的取值范围为．
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