湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试卷（含答案）

湖南省长沙市雅礼中学2025届高三上学期1月综合自主测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.对一组数据，，，，，，，，，若任意去掉其中一个数据，剩余数据的统计量一定会发生变化的为( )
A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差
2.已知集合，，若中有个元素，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知数列是等差数列，若、、，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.函数在区间上的图象可能是( )
A. B.
C. D.
5.米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行等的用具，有着吉祥的寓意，是丰饶富足的象征，带有浓郁的民间文化韵味．某居民家中收藏了一个木质的米斗，如图所示，该米斗的容积为斗，其形状可近似看成一个正四棱台，且该正四棱台的下底面边长是上底面边长的倍，若该米斗中刚好装了半斗米米均匀分布在米斗中，则该米斗中米的深度与米斗高度的比值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知数列满足记数列的前项和为，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，是半径为的圆上的四个动点，若，则的最大值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数，，，下列说法正确的有( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则或 D. 若，则
10.已知二项式其中的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过，则下列说法正确的是( )
A. 的所有取值组成的集合中有且仅有个元素
B. 若当取最大值时常数项为，则
C. 若当取最小值时函数的图象在点处的切线与轴平行，则
D. 若二项展开式中的所有项的系数和为，则
11.对于满足，且对于恒有则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设是空间中两个不同的平面，，，是空间中三条不同的直线，，给出下列五个结论，请写出一个一定正确结论的序号 ；是异面直线；没有公共点；与没有公共点；．
13.已知双曲线的左焦点为，过的直线交圆于，两点，交的右支于点，若，则的离心率为 ．
14.数学家高斯在各个领域中都取得了重大的成就在研究一类二次型数论问题时，他在他的著作算术研究中首次引入了二次剩余的概念二次剩余理论在噪音工程学、密码学以及大数分解等各个领域都有广泛的应用已知对于正整数，，若存在一个整数，使得整除，则称是的一个二次剩余，否则为二次非剩余从到这个整数中随机抽取一个整数，记事件“与互质”，“是的二次非剩余”，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，曲线在点处的切线与轴平行．
求实数的值；
若对于任意恒成立，求实数的取值范围．
16.本小题分
“九子游戏”是一种传统的儿童游戏，它包括打弹子、滚圈子、踢毽子、顶核子、造房子、拉扯铃子、刮片子、掼结子、抽陀子九种不同的游戏项目，某小学为丰富同学们的课外活动，举办了“九子游戏”比赛，所有的比赛项目均采用局胜的单败淘汰制，即先赢下局比赛者获胜造房子游戏是同学们喜爱的项目之一，经过多轮淘汰后，甲、乙二人进入造房子游戏的决赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为．
若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
设采用局胜制时乙获胜的概率为，采用局胜制时乙获胜的概率为，若，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在底面为正方形的四棱锥中，，，．
求证：平面．
若，且三棱锥 的 体积是四棱锥体积的一半．
求点到平面的距离；
求平面与平面所成二面角的正弦值．
18.本小题分
已知抛物线的焦点为，直线过点交于，两点，在，两点的切线相交于点，的中点为，且交于点当的斜率为时，．
求的方程
若点的横坐标为，求
设在点处的切线与，分别交于点，，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
定义两个维向量，的数量积，，记，为的第个分量且如三维向量，其中的第分量若由维向量组成的集合满足以下三个条件：集合中含有个维向量作为元素；集合中每个元素的所有分量取或；集合中任意两个元素，，满足为常数且则称为的完美维向量集．
求的完美维向量集；
判断是否存在完美维向量集，并说明理由；
若存在为的完美维向量集，求证：的所有元素的第分量和．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.
14.
15.解：因为函数，
可得，
所以，即曲线在点处的切线的斜率为，
因为曲线在点处的切线与轴平行，
所以，解得，
故实数的值为；
由知，
因为，所以由，
即，
设，
则
在上恒成立，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以，
即实数的取值范围是．

16.解：因为，所以比赛采用局胜制，的所有可能取值为，，
，
，
故的分布列为
所以．
由题意知，
．
由得，
且，则，
可得，
整理得，解得，
所以的取值范围为．

17.解：
解法一：因为四棱锥的底面为正方形，所以，
因为，，
所以在中，根据余弦定理得：
，
所以，所以，
又，，平面，所以平面．
解法二：因为，
，
所以，所以，
因为四棱锥的底面为正方形，所以，
又，，平面，所以平面．
在底面为正方形的四棱锥中，
以为坐标原点，，分别为，轴，
过且垂直于平面的直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，则，，，
所以，，
因为，，
所以，所以，
因为，
所以，解得，
所以，
则，
又，所以，
所以，，
连接，因为三棱锥的体积是四棱锥体积的一半，
所以，
又，平面，
所以，且，
所以，，
设平面的法向量为，
则，得，取，则，
设点到平面的距离为，
因为，所以，
即点到平面的距离为．
由知，平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
易知，，
由，得，取，则，
所以，
设平面与平面所成二面角为，
则，
所以平面与平面所成二面角的正弦值为．

18.解：由题意，直线的斜率必存在．
设直线的方程为，，，
联立得，，所以
当时，，
此时，
所以，即．
所以的方程为．
由知，中点．
因为，所以，
则直线方程为，即，
同理，直线方程为，
所以，
，所以．
因为，，即，此时，，
所以直线的方程为，
代入，得，所以，
所以．
由知，，
所以直线方程为，
代入，得，所以，所以为的中点．
因为在处的切线斜率，
所以在处的切线平行于，
又因为为的中点，所以
由中式得，所以，
因为直线方程为，
所以．
又到直线的距离，
所以，
当且仅当时取“”
所以，
所以四边形的面积的最小值为．
19.解：依题意得，集合中含有个元素，且每个元素中含有三个分量，
，
每个元素中的三个分量中有两个取，一个取，
所以每个元素可以是、或，
又，所以每个元素各不相同，
所以的完美维向量集为，，．
依题意知，完美维向量集含有个元素，且每个元素中含有四个分量，
．
当时，，不满足条件，舍去，
当时，，，，，不满足条件，舍去，
(ⅲ)当时，，，，，，，
因为，故和至多一个在集合中；
同理和及和也至多一个在集合中，故集合中的元素个数小于，不满足条件，舍去，
当时，，，，，不满足条件，舍去，
当时，，不满足条件，舍去，
综上所述，不存在完美维向量集．
依题意得，的完美维向量集含有个元素，且每个元素中含有个分量，
，每个元素中有个分量为，其余分量为，，
由分析知，，，故，
假设存在，使得，不妨设，
当时，如图，由条件知或，
此时，与式矛盾，不合题意．
当时，如图所示，
记，，
不妨设，，．
下面研究，，，的前个分量中所有含的个数．
一方面，考虑，，，中任意两个向量的数量积为，
故，，，，中至多有个，
故，，，的前个分量中，所有含的个数至多有个．
另一方面，考虑，，故，，，的前个分量中，
含有个，与式矛盾，不合题意，
故对任意且，，由得．

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