人教版初中数学九年级上册22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 课件(共30张PPT)

(共30张PPT)
第二十二章 二次函数
22.1.2 二次函数 y = ax2 的图象和性质
人教版初中数学九年级上册
低阶目标:
(1)会用描点法画出二次函数的图象，通过图象归纳二次函数的性质，渗透数形结合的数学思想，发展几何直观。
(2)会观察图象得出 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念
(3)会观察图象得出 的二次函数图象特征与性质，体会函数的基本方法与数形结合思想
高阶目标:
(3). 会通过 的二次函数图象特征与性质解决简单的问题
学习目标
y = ax
y = ax
y = ax
总结反思
知识引入
达标检测
知识生成
知识应用
问题：上节课我们从实际问题中又认识了函数家族的一位新成员——二次函数，那它的一般式是什么样的呢？如果我们继续研究，你觉得可以研究二次函数的哪一方面？
图象和性质
y = ax + bx + c (a≠0)
总结反思
知识引入
达标检测
知识生成
知识应用
问题：怎样研究二次函数的图象和性质？
一次函数的图象和性质
图象
特殊
y = kx(k≠0)
一般
y = kx + b (k≠0)
二次函数的图象和性质
图象
特殊
一般
y = ax + bx + c (a≠0)
y = ax （a≠0）
y = x
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
探究1：用“描点法”法作图画出 y = x2 的图象，并观察图象的特征.
x … …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
1. 列表：
2. 描点：
3. 连线：
-3
-2
-1
0
1
2
3
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
-3
3
o
3
6
9
x
y
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
思考：二次函数 y = x2 的图象有什么特征？
(可以从以下几个方面考虑)
(1) 你能描述图象的形状吗？
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
你是怎么找出来的？
(3) 从图象上看，函数随自变量的增大如何变化？
独立思考2分钟小组讨论2min
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
(1) 你能描述图象的形状吗？
类似
抛物线 y = x2
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
是一条曲线，类似抛物在空中经过的路线，叫做抛物线
开口向上
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
2
4
-2
-4
O
2
4
6
x
y
8
(2) 图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你是怎么找出来的？
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
9
4
1
0
1
9
4
这条抛物线关于 y 轴对称，
对称轴直线x=0.
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，它是抛物线的最低点
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
3
2
顶点
y = x2
(0，0).
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
(3) 从图像上看，函数随自变量的增大如何变化？
观察图象可以发现：
当 x＜0 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大.
1
2
-2
O
-1
1
4
x
y
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
3
2
y = x2
观察图象可以发现：
在对称轴左侧，抛物线从左到右下降
在对称轴右侧，抛物线从左到右上升
追问： 当 x 取什么值时，y 的值最小？最小值是什么？
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
例1 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
思考：(1) 函数 y = 2x2 的图象与函数 y = x2 的图象相比，有什么共同点？
观察自己画的二次函数思考1min，并归纳总结
共同点：是开口向上，
对称轴是 y 轴，
顶点是原点，也是抛物线的最低点；
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
追问2： 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象开口大小有什么规律？
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
x
y
y = 2x2
y = x2
追问1：这两个函数有哪些不同点？是由什么因素决定的？
不同点：是开口大小不同.
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
点击视频开始播放
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
y＝ax2 a > 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
a 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点 (0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x < 0 时，y 随 x 增大而减小；当 x > 0 时，y 随 x 增大而增大.
(2) 当 a＞0 时，二次函数 y = ax2 的图象有什么特点？请完成下表
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
探究2：在同一直角坐标系中，画出函数
观察图象，类比a > 0,探究y = ax2 图象与性质的方法，探究当a < 0,二次函数y = ax2 图象有什么特点？
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
5min画图并小组讨论，归纳总结完成下表
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
y＝ax2 a ＜ 0
开口方向与
大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向下
当 x = 0 时，y最大值 = 0
a 越小，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x > 0 时，y 随 x 增大而增小；
当 x < 0 时，y 随 x 增大而减大.
2
2
-2
-4
-6
4
4
-8
x
y
y = -2x2
O
y = -x2
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
练一练
1. 函数 y = 4x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 ，函数有最 值为 .
向上
y 轴
(0，0 )
独立思考1min，随机提问
小
0
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
例2 已知 y = (m + 1)x 是二次函数，且其图象开口向上，求 m 的值和函数解析式.
m2+m
解：依题意有
m + 1 > 0， ①
m2 + m = 2. ②
解②得 m1 = －2，m2 = 1.
由①得 m > －1.
∴ m = 1.
此时，二次函数的解析式为 y = 2x2.
典例分析
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
例3 已知二次函数 y＝2x2.
（1）点 A(3，y1) 在抛物线上，则 y1 = ________.
（2） y＝8时，x=________.
1.当自变量x的值确定时，函数值唯一确定；
2.当函数值y确定时，自变量x有0个或一个或两个值，其中y=0时，自变量x=0，此时只有一个值，y小于0时，x有0个，y大于0时,x有2个值；并从图像上明确个数及位置。
独立思考1min,师友交流1min
总结反思
知识导入
知识生成
知识应用
达标检测
例4 已知二次函数 y＝ax2.
若 a = 2，点( 2，y1)与(1，y2)(3，y3)在此二次函数的图象上,则 y1、y2、 y3 的大小关系是 .
变式(1) 若 a＞0，若点(x1，y1)、(x2，y2)(x3，yз)在抛物线的图像上，当x1 ＜ x2 ＜x3＜0时，则y1、y 、y3的大小关系为___ .
变式(2)若 a＜0，点(－2，y1)与(3，y2)，(5，y3)在此二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是___________.
y3＞y1＞y2
y1＞y2＞y3
y1＞y2＞y3
独立思考1min,师友交流1min
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
典例分析
方法归纳
二次函数 y = ax2 中比较函数值的大小的方法：
① 直接代入法：将 x 的值分别代入函数解析式中，求出 y 值再比较大小，多用于 a 值确定的情况；
②性质判断法：结合二次函数的性质(增减性)及自变量x 之间的大小关系，得出其对应 y 值的大小关系；多用于自变量 x 在对称轴同一侧的情况；
③草图法：画出二次函数的草图，描点，根据图象直接判断 y 值的大小. 多用于 a 值不确定且 x 值不在对称轴同侧的情况.
④明确对称轴为y轴（即直线x=0），则三个点到y轴的距离（即点的横坐标的绝对值）大小定函数值y的大小，当开口向上时，点离对称轴越远，函数值越大。
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
链接中考
(广州)已知抛物线 y = ax2 (a＞0) 过点 A(-2，y1)，B(1，y2) 两点，则下列关系式一定正确的是 ( )
A. y1＞0＞y2 B. y2＞0＞y1
C. y1＞y2＞0 D. y2＞y1＞0
C
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
课堂小结
二次函数
y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
在对称轴两侧对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4 个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
y＝ax2 a > 0 a < 0
图象
开口方向与大小
对称性
顶点与最值
增减性
开口向上
开口向下
| a | 越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点(0，0)
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
y
O
x
y
O
x
当x<0时，y随x增大而减小；
当x>0 时，y随x增大而增大
当x>0时，y随x增大而增大；
当x<0 时，y随x增大而减小
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
达标检测
1. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
2.
x
y
k > 1
O
独立完成6min中
2-4号完成1-4题
1号全部完成
其中1-3题每题2分，4.5题每题7分
A档15分以上，B档10-15分，C档10分以下
A
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
达标检测
D
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
达标检测
4. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0) 过点 ( 1，2)，则
(1) a 的值是 ；
(2) 对称轴是 ，开口 ；
(3) 顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点，
抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；
(4) 若 A(x1 , y1)，B(x2 , y2) 在这条抛物线上，且 x1< x2<0，
则 y1 y2.
2
y 轴
向上
(0，0)
低
上
＞
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
达标检测
5.如图，二次函数 y＝2x2 的图象经过点(0，0)，长方形ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和.
能力提升
解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 C，
∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8. 即 BC = 8.
∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且图中 y 轴为它们的对称轴，
总结反思
知识导入
达标检测
知识生成
知识应用
达标检测
∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
∴ OA＝OB.
∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分面积等于右边空白部分面积.
对于此类求不规则图形的面积，可用等面积割补法，结合二次函数图象的对称性，将不规则图形转化为规则图形以方便求解.
注意