(共61张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第5节 一元二次方程、不等式
1.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系.
2.了解一元二次不等式的现实意义.
3.能借助一元二次函数求解一元二次不等式.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.一元二次不等式
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.
2.三个“二次”间的关系
{x|x＞x2,或x＜x1}
R
{x|x1＜x＜x2}
3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集
不等式 解集 a
b
(x－a)·(x－b)>0 {x|xb} ___________ __________________
(x－a)·(x－b)<0 {x|a{x|x≠a}
{x|xa}
{x|b4.分式不等式与整式不等式
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
√
×
×
(3)错误.当a＝0时，其解集为{0}，当a<0时，其解集为 .
(4)若方程ax2＋bx＋c＝0(a<0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c>0(a<0)的解集为 .
2.(必修一P53练习T1改编)不等式－2x2＋x≤－3的解集为
__________________________.
解析 由－2x2＋x≤－3可得2x2－x－3≥0，
-14
4.一元二次不等式ax2＋ax－1＜0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是____________.
(－4，0)
解得－4＜a＜0.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 一元二次不等式的解法
{x|x>1，或x<－2}
(2)解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
解 原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
②当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，
即x＞1.
感悟提升
对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有：
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类.
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数.
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论.
训练1 (1)(2024·潍坊质测)若a∈R，则关于x的不等式4x2－4ax＋a2－1<0的解集
为____________________.
解析 原不等式可转化为[2x－(a＋1)][2x－(a－1)]<0，
(2)解关于x的不等式x2－ax＋1≤0.
解 由题意知，Δ＝a2－4，
①当a2－4＞0，即a＞2或a＜－2时，
②若Δ＝a2－4＝0，则a＝±2.
当a＝2时，原不等式可化为x2－2x＋1≤0，即(x－1)2≤0，所以x＝1；
当a＝－2时，原不等式可化为x2＋2x＋1≤0，即(x＋1)2≤0，所以x＝－1.
③当Δ＝a2－4＜0，即－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
当a＝2时，原不等式的解集为{1}；
当a＝－2时，原不等式的解集为{－1}；
当－2＜a＜2时，原不等式的解集为 .
考点二 三个“二次”之间的关系
例2 (1)(多选)(2024·苏州质检)已知关于x的不等式a(x－1)(x＋3)＋2>0的解集是(x1，x2)，其中x1A.x1＋x2＋2＝0 B.－3C.|x1－x2|>4 D.x1x2＋3<0
ACD
解析 由题知a(x－1)(x＋3)＋2＝ax2＋2ax－3a＋2>0的解集为(x1，x2)，
原不等式可化为f(x)＝a(x－1)(x＋3)>－2的解集为(x1，x2)，而f(x)的零点分别为－3，1且f(x)的图象开口向下，
又x1由图知，x1<－3<14，
故B错误，C正确.
(2)若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0(a＞0)的解集为{x|x1＜x＜x2}，且x2－x1＝
15，则a的值为________.
解析 由题知x1，x2是一元二次方程x2－2ax－8a2＝0(a＞0)的实数根，
所以Δ＝4a2＋32a2＝36a2＞0，
且x1＋x2＝2a，x1x2＝－8a2.
又因为x2－x1＝15，
所以152＝(x1＋x2)2－4x1x2＝4a2＋32a2＝36a2，
感悟提升
1.一元二次方程的根就是相应一元二次函数的零点，也是相应一元二次不等式解集的端点值.
2.给出一元二次不等式的解集，相当于知道了相应二次函数的开口方向及与x轴的交点，可以利用代入根或根与系数的关系求待定系数.
训练2 (1)(多选)若不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是( )
A.a＜0 B.b＜0且c＞0
C.a＋b＋c＞0 D.不等式ax2－cx＋b＜0的解集是R
AB
解析 由题意，不等式ax2－bx＋c＞0的解集是(－1，2)，
可得－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，且a＜0，
则b＝a，c＝－2a，所以b＜0，c＞0，B正确；
当x＝－1时，a＋b＋c＝0，C不正确；
把b＝a，c＝－2a代入ax2－cx＋b＜0，可得ax2＋2ax＋a＜0，
因为a＜0，
所以x2＋2x＋1＞0，
即(x＋1)2＞0，此不等式的解集为{x|x≠－1}，D不正确.
ABD
解析 根据题意，函数y＝x2＋ax＋b(a>0)有且只有一个零点，
则Δ＝a2－4b＝0，即a2＝4b(b>0).
对于A，a2－b2－4＝4b－b2－4＝－(b2－4b＋4)＝－(b－2)2≤0，
即有a2－b2≤4，故A正确；
对于C，由x1，x2为方程x2＋ax－b＝0的两根，可得x1x2＝－b<0，故C错误；
对于D，由x1，x2为方程x2＋ax＋b－c＝0的两根，可得x1＋x2＝－a，x1x2＝b－c，
则|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝a2－4(b－c)＝a2－4b＋4c＝4c＝16，
解得c＝4，故D正确.
考点三 一元二次不等式恒成立问题
角度1 在实数集R上恒成立
例3 (2023·天津模拟)若不等式(a－2)·x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，则实数a的
取值范围是________.
解析 当a－2＝0，即a＝2时，不等式为3＞0恒成立，故a＝2符合题意；
当a－2≠0，即a≠2时，
不等式(a－2)x2＋4(a－2)x＋3＞0的解集为R，
D
解析 法一 因为命题“ x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，
所以 x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，
又f(x)>－m＋2，即mx2－mx－1>－m＋2，即m(x2－x＋1)>3，
当x∈[1，3]时，x2－x＋1∈[1，7]，
法二 因为命题“ x∈[1，3]，f(x)≤－m＋2”是假命题，
所以 x∈[1，3]，f(x)>－m＋2为真命题，
即mx2－mx＋m－3>0在x∈[1，3]上恒成立.
当m＝0时，－3>0，不符合题意；
设g(x)＝mx2－mx＋m－3，
解得m>3，
故实数m的取值范围是(3，＋∞).
^
角度3 给定参数范围的恒成立问题
例5 (2024·杭州调研)若不等式x2＋px>4x＋p－3，当0≤p≤4时恒成立，则x的取值范围是( )
A.[－1，3] B.(－∞，－1]
C.[3，＋∞) D.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
D
解析 不等式x2＋px>4x＋p－3，
可化为(x－1)p＋x2－4x＋3>0，
由已知可得[(x－1)p＋x2－4x＋3]min>0(0≤p≤4)，
令f(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3(0≤p≤4)，
解得x<－1或x>3.
感悟提升
恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数.
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论.
训练3 已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
解 原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.
(2)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围；
所以m≤0.
所以m的取值范围是(－∞，0].
(3)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围.
解 设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.不等式－x2＋3x＋10＞0的解集为( )
A.(－2，5) B.(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C.(－5，2) D.(－∞，－5)∪(2，＋∞)
A
解析 由－x2＋3x＋10＞0得x2－3x－10＜0，
解得－2＜x＜5.
B
解析 因为关于x的不等式x2＋px＋q<0的解集是{x|－1所以x2＋px＋q＝0的两根是－1，2，
由根与系数的关系可得p＝－1，q＝－2，
所以原不等式的解集为(－3，2)∪(4，＋∞).
D
解析 不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立，只需Δ＝4a2－4a<0，
解得0因为集合{a|0所以“关于x的不等式x2－2ax＋a>0对 x∈R恒成立”的一个必要不充分条件是“04.(2023·鞍山二模)若对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，则m的取值范围是( )
A.(－2，2) B.(2，＋∞) C.(－∞，2) D.(－∞，2]
C
解析 法一 对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，
法二 设f(x)＝x2－mx＋1，对任意的x∈(0，＋∞)，x2－mx＋1>0恒成立，
解得0所以m<2.
5.若关于x的不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，5) B.(5，＋∞) C.(－4，＋∞) D.(－∞，4)
A
解析 设f(x)＝x2－4x－a，则f(x)的图象开口向上，对称轴为直线x＝2，
所以要使不等式x2－4x－a＞0在区间(1，5)内有解，
只要f(5)＞0即可，即25－20－a＞0，得a＜5，
所以实数a的取值范围为(－∞，5).
A
因为(2，3)是不等式x2－3x＋a＜0的解集的子集，
7.(多选)已知关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是( )
A.4 B.5 C.6 D.7
AB
解析 画出函数f(x)＝x2＋5x＋m的大致图象，关于x的一元二次不等式x2＋5x＋m<0的解集为函数图象在x轴下方的部分对应的点的横坐标 x的集合，
{x|1＜x＜4}
即(x－1)(x－4)＜0，
解得1＜x＜4，
∴原不等式的解集为{x|1＜x＜4}.
[2，10)
所以原不等式等价于kx2＋kx＋6>2x2＋2x＋4，
即(k－2)x2＋(k－2)x＋2>0恒成立.
当k＝2时，2>0，显然成立；
解得2综上所述，实数k的取值范围是[2，10).
10.已知函数f(x)＝mx2－mx－1.若对于x∈[1，3]，f(x)＜5－m恒成立，则实数m
的取值范围为_____________.
解析 要使f(x)＜－m＋5在x∈[1，3]上恒成立，
当m＞0时，g(x)在[1，3]上单调递增，
所以g(x)max＝g(3)，即7m－6＜0，
当m＝0时，－6＜0恒成立；
当m＜0时，g(x)在[1，3]上单调递减，
所以g(x)max＝g(1)，
即m－6＜0，
所以m＜6，
所以m＜0.
又因为m(x2－x＋1)－6＜0在x∈[1，3]上恒成立，
11.已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)＞0；
解 由题意知f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3＞0，
即a2－6a－3＜0，
(2)若不等式f(x)＞b的解集为(－1，3)，求实数a，b的值.
解 ∵f(x)＞b的解集为(－1，3)，
∴方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1，3，
12.函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)若当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
解 ∵当x∈R时，x2＋ax＋3－a≥0恒成立，
需Δ＝a2－4(3－a)≤0，
即a2＋4a－12≤0，
解得－6≤a≤2，
∴实数a的取值范围是[－6，2].
(2)若当x∈[－2，2]时，f(x)≥a恒成立，求实数a的取值范围；
解 由题意可转化为x2＋ax＋3－a≥0
在x∈[－2，2]上恒成立，
令g(x)＝x2＋ax＋3－a，
解①得－6≤a≤2，解②得a∈ ，
解③得－7≤a＜－6.
综上可得，满足条件的实数a的取值范围是[－7，2].
(3)若当a∈[4，6]时，f(x)≥0恒成立，求实数x的取值范围.
解 令h(a)＝xa＋x2＋3，
当a∈[4，6]时，h(a)≥0恒成立，
13.(多选)已知函数f(x)＝x2－ax－1，当x∈[0，3]时，|f(x)|≤5恒成立，则实数a的值可以是( )
A.－1 B.0 C.1 D.3
CD
解析 ∵|f(x)|≤5 －5≤x2－ax－1≤5，
①当x＝0时，a∈R；
∴1≤a≤4.
综上，1≤a≤4.
14.解关于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).
解 原不等式可化为ax2＋(a－2)x－2≥0.
①当a＝0时，原不等式可化为x＋1≤0，
解得x≤－1.
②当a＞0时，
综上所述，当a＝0时，不等式的解集为{x|x≤－1}；
当a＝－2时，不等式的解集为{－1}；(共58张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第4节 基本不等式
1.了解基本不等式的证明过程.
2.能用基本不等式解决简单的最值问题.
3.掌握基本不等式在实际生活中的应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
a＝b
2.两个重要的不等式
2ab
3.利用基本不等式求最值
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
×
3
3.(必修一P58T5改编)若a＞0，b＞0，且ab＝a＋b＋3，则ab的最小值为______.
9
4.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2.
25
解析 设矩形的一边为x m，面积为y m2，
当且仅当x＝10－x，即x＝5时，等号成立，
所以ymax＝25，
即矩形场地的最大面积是25 m2.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 利用基本不等式求最值
8
解析 由a>0，b>0，a＋b＝9，
9
解析 由00.
角度3 消元法
例3 (2024·郑州模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
6
解析 法一(换元消元法)
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号.
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)
感悟提升
A
即x＝4，y＝8时，等号成立，
则2x＋y的最小值为16.
9
解析 因为x＞－1，则x＋1＞0，
所以函数的最小值为9.
考点二 利用基本不等式求参数的值或范围
B
(2)(2024·佛山模拟)若两个正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，且不等式xy≥m2－6m恒成立，则实数m的取值范围是________.
[－2，8]
解析 因为正实数x，y满足4x＋y－xy＝0，
当且仅当y＝4x时等号成立，
由xy≥m2－6m恒成立，
可得16≥m2－6m，
解得－2≤m≤8.
感悟提升
对于不等式恒成立问题可利用分离参数法，把问题转化为利用基本不等式求最值.
A
即8＋2a＝10，
故a＝1.
C
解析 因为x>0，y≥0，且x＋2y＝1，
即x＝1，y＝0时等号成立，
即m2－5m＋4≤0，
解得1≤m≤4，
所以整数m可取1，2，3，4，共4个，故选C.
考点三 利用基本不等式解决实际问题
例5 为了美化校园环境，园艺师在花园中规划出一个平行四边形，建成一个小花圃，如图，计划以相距6米的M，N两点为 AMBN一组相对的顶点，当 AMBN的周长恒为20米时，小花圃占地面积(单位：平方米)最大为( )
D
解析 设AM＝x，AN＝y，
则由已知可得x＋y＝10，
在△MAN中，MN＝6，
A.6 B.12 C.18 D.24
此时四边形AMBN是边长为5米的菱形.
感悟提升
利用基本不等式解决实际应用问题的思路
(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.
(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.
(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.
训练3 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
8
当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
微点突破 基本不等式链
ACD
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.已知a＞0，b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为( )
D
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，
∴ab的最大值为2.
B
解析 ∵a2＋b2＝13，
A
又ab>0，所以a>0，b>0，
4.(2023·长沙雅礼中学质检)已知x>0，y>0，且x＋y＝7，则(1＋x)(2＋y)的最大值为( )
A.36 B.25 C.16 D.9
B
解析 由x＋y＝7，得(x＋1)＋(y＋2)＝10，
当且仅当1＋x＝2＋y，
即x＝4，y＝3时等号成立，
所以(1＋x)(2＋y)的最大值为25.
C
解析 ∵x＜，∴3x－2＜0，
6.(2024·巴蜀中学模拟)已知x>0，y>0，且xy＋x－2y＝4，则2x＋y的最小值是( )
A.4 B.5 C.7 D.9
C
解析 法一 因为xy＋x－2y＝4，
所以(y＋1)x＝4＋2y，
法二 由xy＋x－2y＝4，
得(x－2)·(y＋1)＝2，
因为y＋1>0，所以x－2>0，
当且仅当2(x－2)＝y＋1，
即y＝1，x＝3时等号成立.
7.(多选)(2023·厦门质检)已知正实数x，y满足x＋y＝1，则( )
AC
解析 因为x，y为正实数，且x＋y＝1，
所以y＝1－x，x∈(0，1)，
1
9.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨.
20
0
11.已知x＞0，y＞0，且2x＋8y＝xy，求：
(1)xy的最小值；
当且仅当2x＝8y，
即x＝16，y＝4时，等号成立，
∴xy的最小值为64.
(2)x＋y的最小值.
即x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
设t＝a＋2，t∈(1，4)，则a＝t－2.
法二 因为－1所以a＋1>0，2－a>0，且(1＋a)＋(2－a)＝3，
D
由题意，得16≥－x2＋4x＋18－m，
即x2－4x－2≥－m对任意的x恒成立，
又x2－4x－2＝(x－2)2－6≥－6，所以－6≥－m，即m≥6.
14.某公益广告公司拟在一张矩形海报纸(记为矩形ABCD，如图)上设计三个等高的宣传栏(栏面分别为一个等腰三角形和两个全等的直角梯形)，宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2.为了美观，要求海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm.当直角梯形的高为多少(cm)时，用纸量最少(即矩形ABCD的面积最小)
解 设直角梯形的高为x cm，
∵宣传栏(图中阴影部分)的面积之和为1 440 cm2，且海报上所有水平方向和竖直方向的留空宽度均为2 cm，(共52张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第2节 常用逻辑用语
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.
2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.
3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义,能正确对两种命题进行否定.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的______条件，q是p的______条件 p是q的____________条件 p q且q / p
p是q的____________条件 p / q且q p
p是q的______条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p / q且q / p
充分
必要
充分不必要
必要不充分
充要
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“____”表示.
(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“____”表示.
3.全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中的任意一个x，有p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 ____________________ x∈M，p(x)
否定 x∈M，綈p(x) ______________________
x∈M，p(x)
x∈M，綈p(x)
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.( )
(2)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词.( )
(3)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件.( )
(4)若已知p：x＞1和q：x≥1，则p是q的充分不必要条件.( )
×
解析 (1)错误，至少有一个三角形的内角和为π是存在量词命题.
√
√
√
2.(必修一P22习题1.4T2改编)命题“三角形是等边三角形”是命题“三角形是等腰三角形”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 由“三角形是等边三角形”可得到“该三角形一定是等腰三角形”，但反之不成立.
3.(必修一P30例4(3)改编)命题“有一个偶数是素数”的否定是__________________________.
任意一个偶数都不是素数
4.使－2＜x＜2成立的一个充分条件是______________________.(答案不唯一，写出一个即可)
0＜x＜2(答案不唯一)
解析 只要是{x|－2＜x＜2}的一个子集都是使－2＜x＜2成立的充分条件，如－1＜x＜1，或0＜x＜2等.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 充分条件、必要条件的判定
例1 (1)(2023·天津卷)“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件
B
解析 若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，
有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，
所以a2＝b2 / a2＋b2＝2ab；
若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，
即(a－b)2＝0，所以a＝b，
则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab a2＝b2.
所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件.
(2)(2023·全国甲卷)设甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sin α＋cos β＝0，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 甲等价于sin2α＝1－sin2β＝cos2β，
等价于sin α＝±cos β，
所以由甲不能推导出sin α＋cos β＝0；
由sin α＋cos β＝0，得sin α＝－cos β，
平方可得sin2α＝cos2β＝1－sin2β，
即sin2α＋sin2β＝1，所以由乙可以推导出甲.
综上，甲是乙的必要不充分条件.
(3)(多选)ab＋b－a－1＝0的一个充分不必要条件可以是( )
A.a＝－1 B.a＝b
C.b＝1 D.ab＝1
AC
解析 由ab＋b－a－1＝0，
可得(a＋1)(b－1)＝0，
解得a＝－1或b＝1，故选AC.
感悟提升
充分、必要条件的两种判定方法：
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.
训练1 (1)设a∈R，则“a＞1”是“a2＞a”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
A
解析 由a2＞a，得a2－a＞0，
解得a＞1或a＜0，
∴“a＞1”是“a2＞a”的充分不必要条件.
ACD
解析 对于A，由a>b / ac2>bc2(c＝0时不成立)，由ac2>bc2 a>b，则“a>b”是“ac2>bc2”的必要不充分条件，A中命题是真命题；
易知C，D中命题是真命题，故选ACD.
考点二 充分、必要条件的应用
例2 已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}.若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围.
解 由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，
∴A＝{x|－2≤x≤10}.
由x∈A是x∈B的必要条件，知B A.
即所求m的取值范围是[0，3].
迁移 本例中，若把“x∈A是x∈B的必要条件”改为“x∈A是x∈B的充分不必要条件”，求m的取值范围.
解 ∵x∈A是x∈B的充分不必要条件，
∴A?B，
解得m≥9，
故m的取值范围是[9，＋∞).
感悟提升
充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意：
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.
(2)要注意区间端点值的检验.
训练2 (1)(2023·衡水调研)若集合A＝{x|x＞2}，B＝{x|bx＞1}，其中b为实数.
①若A是B的充要条件，则b＝________；
②若A是B的充分不必要条件，则b的取值范围是_____________.
解析 ①由已知可得A＝B，
②若A是B的充分不必要条件，则A?B，
(2)(2024·驻马店模拟)已知p：x2－x－12≤0，q：(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0).若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围是___________.
[3，＋∞)
解析 由不等式x2－x－12≤0，解得－3≤x≤4，
设p对应的集合为A，则A＝[－3，4].
由不等式(x＋m)[x－(1＋2m)]≤0(m>0)，解得－m≤x≤2m＋1(m>0)，
设q对应的集合为B，则B＝[－m，2m＋1](m>0).
因为p是q的充分不必要条件，所以A是B的真子集，
所以实数m的取值范围是[3，＋∞).
考点三 全称量词与存在量词
角度1 含量词命题的否定
例3 (1)(2024·西安模拟)若命题p： x∈R，ex≥x＋1，则綈p是( )
A. x∈R，ex≤x＋1 B. x∈R，exC. x∈R，ex≤x＋1 D. x∈R，exD
解析 x∈R，ex≥x＋1的否定是 x∈R，ex(2)已知命题p： n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为( )
A. n∈N，n2≥2n＋5 B. n∈N，n2≤2n＋5
C. n∈N，n2＜2n＋5 D. n∈N，n2＝2n＋5
C
解析 綈p为 n∈N，n2＜2n＋5，所以C正确.
角度2 含量词命题的真假判断
例4 (2024·九江联考)下列命题的否定是真命题的为( )
A.任意两个等边三角形都相似
B. x∈R，x2－x＋1＝0
C.存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直
D. x∈R，x＋|x|≥0
B
解析 对于A，任意两个等边三角形都相似是真命题，所以其否定是假命题,故A错误；
对于B，x2－x＋1＝0，Δ＝1－4<0，所以方程无解，所以该命题是假命题，其否定是真命题，故B正确；
对于C，存在一个四边形，它的两条对角线互相垂直，是真命题，其否定是假命题，故C错误；
对于D， x∈R，x＋|x|≥0是真命题，其否定是假命题，故D错误.
D
感悟提升
1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.
2.判定全称量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“ x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.
3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义,利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围.
训练3 (1)已知命题p： x∈(0，＋∞)，3x＋4＝3x.下列说法正确的是( )
A.p为真命题，綈p： x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x
B.p为假命题，綈p： x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x
C.p为真命题，綈p： x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x
D.p为假命题，綈p： x (0，＋∞)，3x＋4≠3x
C
解析 方程3x＋4＝3x可化为3x＋4－3x＝0，设f(x)＝3x＋4－3x，则方程3x＋4＝3x的根就是函数f(x)＝3x＋4－3x的零点，当x＝2时，f(2)＝3×2＋4－32>0，当x＝3时，f(3)＝3×3＋4－33<0，由零点存在定理知函数f(x)＝3x＋4－3x在区间(2，3)内存在零点，故方程3x＋4＝3x在(0，＋∞)上有解，故p为真命题.根据存在量词命题的否定方法可得綈p： x∈(0，＋∞)，3x＋4≠3x，所以C正确.
(2)已知命题“ x∈{x|－2(－∞，－4]∪[6，＋∞)
解析 若原命题为真命题，则 x∈{x|－2使得m＝2x成立，则－4故若原命题为假命题，
则实数m的取值范围为(－∞，－4]∪[6，＋∞).
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.下列命题中既是全称量词命题，又是真命题的是( )
A.菱形的四条边都相等 B. x∈N，使2x为偶数
C. x∈R，x2＋2x＋1＞0 D.π是无理数
A
解析 对于A，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题，且是真命题.
对于B， x∈N，使2x为偶数，是存在量词命题.
对于C， x∈R，x2＋2x＋1＞0，是全称量词命题，
当x＝－1时，x2＋2x＋1＝0，故是假命题.
对于D，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题.
2.命题“ x＞0，x2－2|x|＜0”的否定是( )
A. x＞0，x2－2|x|≥0 B. x≤0，x2－2|x|≥0
C. x＞0，x2－2|x|≥0 D. x≤0，x2－2|x|≥0
C
解析 由存在量词命题的否定为全称量词命题知“ x＞0，x2－2|x|＜0”的否定为“ x＞0，x2－2|x|≥0”.
3.(2022·浙江卷)设x∈R，则“sin x＝1”是“cos x＝0”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
A
4.已知命题：“ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是( )
A.(－∞，4) B.(－∞，4]
C.(4，＋∞) D.[4，＋∞)
B
解析 “ x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.
C
A
7.(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则( )
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
B
解析 当a1＜0，q＞1时，an＝a1qn－1＜0，此时数列{Sn}递减，所以甲不是乙的充分条件.
当数列{Sn}递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn＞0，若a1＞0，则qn＞0(n∈N*)，即q＞0；
若a1＜0，则qn＜0(n∈N*)，不存在，所以甲是乙的必要条件.
综上，甲是乙的必要条件但不是充分条件.
8.(2024·云南名校联考)已知集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|2a－1A.[－1，0] B.(－1，0)
C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
A
解析 由题意，x2－x－2<0，解得－1若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，
则集合A是集合B的真子集，
解得－1≤a≤0，所以a的取值范围为[－1，0].
解析 因为“sin x10.(2023·北京海淀区模拟)设a>0，b>0，则使得命题“若ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b>0”为假命题的一组a，b的值是________________________.
a＝1，b＝1(答案不唯一)
解析 根据题意，满足题意的a，b需满足ln(a＋b)>0，则ln a＋ln b≤0，
即ln(a＋b)>ln 1，ln(ab)≤ln 1，
解得a＋b>1，ab≤1，
不妨取a＝1，b＝1(答案不唯一)，满足题意.
12.(2023·湖南部分名校调研)已知p： x∈R，ax2＋2x＋1<0，q：a∈(1，＋∞)，则綈p是q的________________条件(在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要”中选一个填入).
必要不充分
解析 若綈p： x∈R，ax2＋2x＋1≥0为真命题，
则a>0且Δ＝4－4a≤0，解得a≥1.
因为(1，＋∞)?[1，＋∞)，
所以綈p是q的必要不充分条件.
D
对于B，因为当x＝5时，25＝32>52＝25，所以 x∈R，2x>x2为真命题，其否定为假命题，故B错误；
14.(多选)(2024·武汉联考)下列命题正确的是( )
AD
对于B，命题“任意x<1，都有x2<1”的否定是“存在x<1，使得x2≥1”，故B错误；
对于C，因为x≥2且y≥2，所以x2≥4，y2≥4，由不等式的性质得x2＋y2≥8时，取x＝0，y＝3，不满足x≥2且y≥2，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥8”的充分不必要条件，故C错误；
对于D，当a≠0，b＝0时，ab＝0，由ab≠0可得a≠0且b≠0，所以“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件，故D正确.
15.已知函数f(x)的定义域为[a，b]，若“ x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
0
解析 “ x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是 x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0，
依题意得，命题 x∈[a，b]，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，
故函数y＝f(x)，x∈[a，b]为奇函数，
所以a＋b＝0，
所以f(a＋b)＝f(0)＝0.
16.(2023·苏州模拟)已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是綈q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
(0，2]
解析 ∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，即p：－1≤x≤3.
∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，
∴x≤1－a或x≥1＋a，∴綈q：1－a＜x＜1＋a.
∵p是綈q的必要不充分条件，
∴实数a的取值范围是(0，2].(共53张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第1节 集合
1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.
2.理解集合间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.
3.理解两个集合的并集、交集与补集的含义，会求两个简单集合的并集、交集与补集.
4.能使用Venn图表达集合间的基本关系与基本运算．
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.元素与集合
(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性.
(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为∈和 .
(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法.
互异性
属于
列举法
描述法
(4)常用数集及记法
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
记法 ____ ____________ ____ ____ ____
N
N*或N＋
Z
Q
R
2.集合间的基本关系
(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的______，就称集合A为集合B的子集.记作A ____B(或B ____A).
(2)真子集：如果集合A B，但______元素x∈B，且x A，就称集合A是集合B的________，记作A?B(或B?A).
(3)相等：若A B，且________，则A＝B.
(4)空集的性质： 是任何集合的子集，是任何______集合的真子集.
元素
存在
真子集
B A
非空
3.集合的基本运算
集合的并集 集合的交集 集合的补集
符号表示 A∪B A∩B 若全集为U，则集合A的补集为 UA
图形表示
集合表示 {x|x∈A，或x∈B} _________________ {x|x∈U，且x A}
{x|x∈A,且x∈B}
4.集合的运算性质
(1)A∩A＝A，A∩ ＝ ，A∩B＝B∩A.
(2)A∪A＝A，A∪ ＝A，A∪B＝B∪A.
(3)A∩( UA)＝ ，A∪( UA)＝U， U( UA)＝A.
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
2.A B A∩B＝A A∪B＝B UA UB.
3. U(A∩B)＝( UA)∪( UB)， U(A∪B)＝( UA)∩( UB).
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)任何一个集合都至少有两个子集.( )
(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}.( )
(3)若1∈{x2，x}，则x＝－1或1.( )
(4)对于任意两个集合A，B，(A∩B) (A∪B)恒成立.( )
×
×
×
√
解析 (1)错误.空集只有一个子集.
(2)错误.{x|y＝x2＋1}＝R，{y|y＝x2＋1}＝[1，＋∞)，{(x，y)|y＝x2＋1}是抛物线y＝x2＋1上的点集.
(3)错误.当x＝1时，不满足集合中元素的互异性.
2. (必修一P13T1改编)已知U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，4，5}，B＝{1，3，5，7}，则A∩( UB)＝________.
{2，4}
解析 易知 UB＝{2，4，6}，故A∩( UB)＝{2，4}.
3.已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________.
解析 当m＋2＝3时，m＝1，
此时，m＋2＝2m2＋m＝3，故舍去；
4.(必修一P9T5改编)已知集合A＝{x|0＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜2}，若B A，则实数a的取值范围是__________.
[2，＋∞)
解析 由图可知a≥2.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 集合的基本概念
B
所以x可取－1，0，1.
当x＝－1时，得y＝0；
当x＝0时，得y＝－1，0或1；
当x＝1时，得y＝0.
所以A＝{(－1，0)，(0，－1)，(0，0)，(0，1)，(1，0)}，共有5个元素.
C
所以b＝0，所以a2＝1，
解得a＝1或a＝－1.
根据集合中元素的互异性可知a＝1应舍去，
因此a＝－1，
所以a2 024＋b2 024＝(－1)2 024＋02 024＝1.
感悟提升
1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义.
2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.
训练1 (1)(2023·石家庄联考)已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，集合B＝{(x，y)|y＝|x|－1}，则集合A∩B的真子集的个数为( )
A.3 B.4 C.7 D.8
C
解析 结合图象可知，集合A∩B有3个元素，所以集合A∩B的真子集的个数为23－1＝7.
(2)已知集合A＝{1，a－2，a2－a－1}，若－1∈A，则实数a的值为( )
A.1 B.1或0 C.0 D.－1或0
C
解析 ∵－1∈A，
若a－2＝－1，即a＝1时，A＝{1，－1，－1}，不符合集合元素的互异性；
若a2－a－1＝－1，即a＝1(舍去)或a＝0时，A＝{1，－2，－1}，故a＝0.
考点二 集合间的基本关系
例2 (1)已知集合A＝{x∈Z|y＝log5(x＋1)}，B＝{x∈Z|x2－x－2＜0}，则( )
A.A∩B＝A B.A∪B＝B C.B?A D.A?B
C
解析 由x＋1＞0，得x＞－1，
∴A＝{x∈Z|x＞－1}＝{0，1，2，3，…}.
由x2－x－2＜0，得－1＜x＜2，
∴B＝{0，1}，∴A∩B＝B，A∪B＝A，B?A.
[0，＋∞)
综上，实数a的取值范围是[0，＋∞).
感悟提升
1.若B A，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论.
2.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围.注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论.求得参数后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解.
训练2 (1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x∈N|x2－6x＜0}，则满足A?C B的集合C的个数为( )
A.4 B.6 C.7 D.8
C
解析 ∵A＝{1，2}，B＝{1，2，3，4，5}，且A?C B，
∴集合C的所有可能为{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，5}，{1，2，3，4}，{1，2，3，5}，{1，2，4，5}，{1，2，3，4，5}，共7个.
B
解析 依题意，有a－2＝0或2a－2＝0.
当a－2＝0时，解得a＝2，
此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A B；
当2a－2＝0时，解得a＝1，
此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A B.
所以a＝1，故选B.
考点三 集合的运算
例3 (1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知集合M＝{－2，－1，0，1，2}，N＝{x|x2－x－6≥0}，则M∩N＝( )
A.{－2，－1，0，1} B.{0，1，2}
C.{－2} D.{2}
C
解析 因为N＝{x|x2－x－6≥0}＝{x|x≥3，或x≤－2}，
所以M∩N＝{－2}，故选C.
(2)(2023·全国乙卷)设集合U＝R，集合M＝{x|x＜1}，N＝{x|－1＜x＜2}，则{x|x≥2}＝( )
A. U(M∪N) B.N∪ UM
C. U(M∩N) D.M∪ UN
A
解析 因为M∪N＝{x|x＜2}，
所以 U(M∪N)＝{x|x≥2}，故选A.
C
解析 由M∩N＝N，∴M N.
综上，a≤4.
感悟提升
1.进行集合运算时，首先看集合能否化简，能化简的先化简，再研究其关系并进行运算.
2.对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示；如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况.
训练3 (1)(2023·全国乙卷)设全集U＝{0，1，2，4，6，8}，集合M＝{0，4，6}，N＝{0，1，6}，则M∪ UN＝( )
A.{0，2，4，6，8} B.{0，1，4，6，8}
C.{1，2，4，6，8} D.U
A
解析 由题意知， UN＝{2，4，8}，
所以M∪ UN＝{0，2，4，6，8}.
(2)若全集U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，2}，B＝{x|x2－1＝0}，则图中阴影部分所表示的集合为( )
A.{－1，0，1} B.{－1，0}
C.{－1，1} D.{0}
D
解析 B＝{x|x2－1＝0}＝{－1，1}，阴影部分所表示的集合为 U(A∪B).
又A∪B＝{－2，－1，1，2}，全集U＝{－2，－1，0，1，2}，
所以 U(A∪B)＝{0}.
(3)(2023·驻马店模拟)已知集合A＝{x|(x－1)(x－4)<0}，B＝{x|x>a}，若A∪B＝{x|x>1}，则a的取值范围是( )
A.[1，4) B.(1，4)
C.[4，＋∞) D.(4，＋∞)
A
解析 由题意可得A＝{x|1因为A∪B＝{x|x>1}，
所以1≤a<4.
拓展视野 Venn图的应用
在部分有限集中，我们经常遇到元素个数的问题，常用Venn图表示两个集合的交、并、补集，借助于Venn图解决集合问题，直观简捷，事半功倍.用Card表示有限集中元素的个数，即Card(A)表示有限集A的元素个数.
例 (2020·新高考Ⅰ卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是( )
A.62% B.56% C.46% D.42%
C
解析 用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，
设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，
则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，
解得x＝46%.
训练 (2024·西安调研)某学校举办运动会，比赛项目包括田径、游泳、球类，经统计高一年级有57人参加田径比赛，有11人参加游泳比赛，有62人参加球类比赛.参加球类比赛的同学中有14人参加田径比赛，有4人参加游泳比赛；同时参加田径比赛和游泳比赛的有8人；同时参加三项比赛的有2人.则高一年级参加比赛的同学的人数为________.
106
解析 设集合A，B，C分别指参加田径、游泳、球类比赛的学生构成的集合，作出Venn图，如图所示.
由图可知，高一年级参加比赛的同学的人数为46＋37＋1＋12＋2＋6＋2＝106.
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
1.(2023·上海卷)已知集合P＝{1，2}，Q＝{2，3}，若M＝{x|x∈P，且x Q}，则M＝( )
A.{1} B.{2}
C.{1，2} D.{1，2，3}
A
解析 由M＝{x|x∈P，且x Q}知，M＝{1}.
2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x||x－1|≤1}，则A∩B＝( )
A.{－1，2} B.{1，2}
C.{1，4} D.{－1，4}
B
解析 由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，
解得0≤x≤2，
所以B＝{x|0≤x≤2}，
所以A∩B＝{1，2}.
3.设集合A＝{x|log2(x－1)＜2}，B＝{x|x＜5}，则( )
A.A＝B B.B A
C.A B D.A∩B＝
C
解析 由log2(x－1)＜2得0＜x－1＜4，
解得1＜x＜5，则A＝{x|1＜x＜5}，
又B＝{x|x＜5}，
所以A B.
4.(2023·全国甲卷)设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，4}，N＝{2，5}，则N∪ UM＝( )
A.{2，3，5} B.{1，3，4}
C.{1，2，4，5} D.{2，3，4，5}
A
解析 由题意知， UM＝{2，3，5}，
又N＝{2，5}，
所以N∪ UM＝{2，3，5}，故选A.
5.(2024·临汾模拟)已知集合A＝{x|ln x≤1}，B＝{x||2x＋1|≤3}，则A∪B＝( )
A.{x|－2≤x≤1} B.{x|－2≤x≤e}
C.{x|x≤1} D.{x|x≤e}
B
解析 易知ln x≤1的解集为{x|0则A＝{x|0由|2x＋1|≤3可得－3≤2x＋1≤3，
即－2≤x≤1，
所以B＝{x|－2≤x≤1}.
所以A∪B＝{x|－2≤x≤e}.
C
所以集合M∩N含有2个元素，其真子集的个数为22－1＝3.
A
8.(2023·洛阳模拟)设集合A＝{x|－2≤x≤1}，B＝{x|2x2＋(a－4)x－2a≤0}，且A∩B＝{x|－1≤x≤1}，则a＝( )
A.1 B.－1 C.2 D.－2
C
解析 由2x2＋(a－4)x－2a≤0，
得(2x＋a)(x－2)≤0，
因为A＝{x|－2≤x≤1}，A∩B＝{x|－1≤x≤1}，
9.若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为_____________.
{x|0＜x≤6}
解析 由题图知阴影部分所表示的集合为A∩B＝{x|0＜x≤6}.
10.(2024·郑州质检)设集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x2－6x＋5≤0}，则A∩B＝________.
[1，3]
解析 由x2－6x＋5＝(x－1)(x－5)≤0，
解得1≤x≤5，
即B＝[1，5]，
又A＝{x|x≤3}，
∴A∩B＝[1，3].
(1，8)
B＝{y|y＝3x＋1}＝{y|y＞1}，
C＝{x|log2x＜3}＝{x|0＜x＜8}，
所以A·B·C＝(1，8).
12.已知集合A＝{x|y＝lg(a－x)}，B＝{x|1＜x＜2}，且( RB)∪A＝R，则实数a的取值范围是____________.
[2，＋∞)
解析 由已知可得A＝(－∞，a)，
RB＝(－∞，1]∪[2，＋∞)，
∵( RB)∪A＝R，
∴a≥2.
13.(2023·全国甲卷)设全集U＝Z，集合M＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，N＝{x|x＝3k＋2，k∈Z}，则 U(M∪N)＝( )
A.{x|x＝3k，k∈Z} B.{x|x＝3k－1，k∈Z}
C.{x|x＝3k－2，k∈Z} D.
A
解析 集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集，故选A.
14.(多选)已知全集U＝{x∈N|log2x＜3}，A＝{1，2，3}， U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则集合B可能为( )
A.{2，3，4} B.{3，4，5}
C.{4，5，6} D.{3，5，6}
BD
解析 由log2x＜3得0＜x＜23，即0＜x＜8，于是得全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，
因为 U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，则有A∩B＝{3}，3∈B，C不正确；
若B＝{2，3，4}，则A∩B＝{2，3}， U (A∩B)＝{1，4，5，6，7}，矛盾，
A不正确；
若B＝{3，4，5}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，B正确；
若B＝{3，5，6}，则A∩B＝{3}， U(A∩B)＝{1，2，4，5，6，7}，D正确.
15.已知集合A＝{x|1＜x＜3}，B＝{x|2m＜x＜1－m}，若A∩B＝ ，则实数m的取值范围是____________.
[0，＋∞)
解析 ①当2m≥1－m，
16.已知集合A＝{x|x2＋x－6＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，且A∪B＝A，则m的值可
能是_____________.
解析 由x2＋x－6＝0，得x＝2或x＝－3，
所以A＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3，2}，
因为A∪B＝A，所以B A，
当B＝ 时，B A成立，此时方程mx＋1＝0无解，得m＝0；
当B≠ 时，得m≠0，(共49张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语、不等式
第3节 不等式及其性质
1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.
2.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.
目 录
CONTENTS
知识诊断自测
01
考点聚焦突破
02
课时分层精练
03
知识诊断自测
1
ZHISHIZHENDUANZICE
1.两个实数比较大小的方法
>
=
<
>
=
<
2.不等式的性质
(1)对称性：a＞b b＜a；
(2)传递性：a＞b，b＞c a＞c；
(3)同向可加性：a＞b a＋c____b＋c；a＞b，c＞d a＋c____b＋d；
(4)可乘性：a＞b，c＞0 ac____bc；a＞b，c＜0 ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0 ac____bd；
(5)可乘方性：a＞b＞0 an____bn(n∈N，n≥1)；
＞
＞
＞
＞
＞
＞
常用结论与微点提醒
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
×
×
×
√
解析 (1)由不等式的性质，ac3＞bc3 / a＞b；反之,c≤0时，a＞b / ac3＞bc3.
(2)由等式的性质，a＝b ac＝bc；反之，c＝0时，ac＝bc / a＝b.
2.(多选)(必修一P43习题2.1T8改编)下列命题为真命题的是( )
ABD
解析 C中，若a＝－2，b＝－1，
则a2＞ab＞b2，故C错误.
3.(必修一P42习题2.1T3(4)改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________.
M＞N
解析 M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1＞0.故M＞N.
4.已知－1＜a＜2，－3＜b＜5，则a＋2b的取值范围是_____________.
(－7，12)
解析 ∵－3＜b＜5，
∴－6＜2b＜10，
又－1＜a＜2，
∴－7＜a＋2b＜12.
考点聚焦突破
2
KAODIANJUJIAOTUPO
考点一 比较数(式)的大小
A
所以2c>2b，即c>b；
又因为(2b)4－(2a)4＝16e2－e3＝e2(16－e)>0，
所以(2b)4>(2a)4，
又a，b均为正数，所以2b>2a，
即b>a，所以a(2)eπ·πe与ee·ππ的大小关系为_____________.
eπ·πe＜ee·ππ
感悟提升
比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.
C
所以P－Q≥0，即P≥Q.
B
解析 法一 易知a，b，c都是正数，
由f′(x)>0，得0e.
∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减.
∴f(3)>f(4)>f(5)，
即a>b>c.
考点二 不等式的基本性质
例2 (1)(2024·北京朝阳区模拟)若a>0>b，则( )
A
解析 ∵a>0>b，∴a3>0，b3<0，即a3>b3，故A正确；
BC
对于B，∵a>b>c，a＋b＋c＝0，∴a>0，c<0，a－b>0，∴b＋c＝－a<0，∴a－b>b＋c，即a－c>2b，B正确；
对于C，∵a－b>0，a＋b＝－c>0,∴a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，即a2>b2,C正确；
对于D，ab＋bc＝b(a＋c)＝－b2≤0，D错误.
感悟提升
解决此类题目常用的三种方法：
(1)直接利用不等式的性质逐个验证，要特别注意前提条件；
(2)利用特殊值排除法；
(3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数、对数、幂函数等函数的单调性进行判断.
A
解析 对于A，由不等式的性质知，a对于C，由不等式的性质知，c>0，a对于D，a0，又c>0，所以无法判断b－a与c的大小，错误.
AC
B中，因为b－a>0，故－b>|a|，即|a|＋b<0，故B错误；
D中，因为ba2>0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上单调递增，所以ln b2>ln a2，故D错误.
考点三 不等式性质的综合应用
例3 (1)已知－1(－4，2)
(1，18)
解析 因为－1所以－3<－y<－2，
所以－4由－3<3x<12，4<2y<6，
得1<3x＋2y<18.
解析 ∵－3迁移 在本例(1)中，把条件改为“－1＜x－y＜4，2＜x＋y＜3，求3x＋2y的取值范围.
解 设3x＋2y＝λ(x－y)＋μ(x＋y)，
即3x＋2y＝(λ＋μ)x＋(μ－λ)y，
感悟提升
利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.
解析 由于a>b>c，且a＋b＋c＝0，
课时分层精练
3
KESHIFENCENGJINGLIAN
B
D
A
解析 因为－3＜a＜－2，所以44.(2024·安阳调考)若a>b>0>c，则( )
B
解析 对于A，不妨取a＝2，b＝1，c＝－1，则(a－b)c＝－1<0，故A错误；
对于C，当a＝2，b＝1，c＝－1时，a－b＝1，a－c＝3，故C错误；
5.若a＞1，m＝loga(a2＋1)，n＝loga(a＋1)，p＝loga(2a)，则m，n，p的大小关系是( )
A.n＞m＞p B.m＞p＞n C.m＞n＞p D.p＞m＞n
B
解析 由a＞1知，a2＋1－2a＝(a－1)2＞0，
2a－(a＋1)＝a－1＞0，
∴a2＋1＞2a＞a＋1，
而y＝logax在定义域上单调递增，
∴m＞p＞n.
B
解析 若m＝－1，n＝1，
故p是q的必要不充分条件，故选B.
7.(2024·惠州调研)已知实数a>b>0>c，则下列结论一定正确的是( )
A
对于D，若a＝1，c＝－2，满足a>0>c，但a28.已知M＝x2＋y2＋z2，N＝2x＋2y＋2z－π，则M________N(填“＞”“＜”或“＝”).
＞
解析 M－N＝x2＋y2＋z2－2x－2y－2z＋π＝(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2＋π－3≥π－3＞0，
故M＞N.
9.若1<α<3，－4<β<2，则2α＋|β|的取值范围是________.
(2，10)
解析 ∵－4<β<2，
∴0≤|β|<4，
又1<α<3，
∴2<2α<6，
∴2<2α＋|β|<10.
10.实数a，b，c，d满足下列三个条件：
①d＞c；②a＋b＝c＋d；③a＋d＜b＋c.
那么a，b，c，d的大小关系是_____________.
b＞d＞c＞a
解析 由题意知d＞c；
②＋③得2a＋b＋d＜2c＋b＋d，
化简得a＜c；
由②式a＋b＝c＋d及a＜c可得到b＞d，
故b＞d＞c＞a.
证明 ∵c＞a＞b＞0，∴c－a＞0，c－b＞0.
13.(多选)(2024·宁波质检)已知a，b，c∈R，下列命题为真命题的是( )
BD
解析 对于A，ac2－bc2＝c2(a－b)，因为b0，又c2≥0，所以c2(a－b)≥0，则bc2≤ac2，故A错误；
14.若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.
(1)求证：b＋c＞0；
证明 因为|b|＞|c|，且b＞0，c＜0，
所以b＞－c，
所以b＋c＞0.
证明 因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0.
又a＞b＞0，得a－c＞b－d＞0，
所以(a－c)2＞(b－d)2＞0，
因为a＞b，d＞c，可得a＋d＞b＋c，
所以a＋d＞b＋c＞0.②