专题1.1有理数 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题1.1有理数 夯实基础
一、选择题（每题3分，共36分）
1．下列说法中，正确的是（　　）
A．0是最小的有理数
B．任一个有理数的绝对值都是正数
C．-a是负数
D．0的相反数是它本身
2．若使算式的运算结果最小，“”表示的运算符号是（　　）
A．+ B．- C．× D．÷
3．下列说法正确的是（　　）
A．的相反数为 B．的绝对值为
C．是最小的有理数 D．的倒数为
4．在算式(－2)□(－3)的□中填上运算符号，使结果最小，运算符号是（　　）
A．＋ B．－ C．× D．÷
5．有下列三个关于近似数的说法：①近似数2.6的准确值a满足2.60≤a<2.65；②近似数3.05万精确到0.01；③近似数1.6和近似数1.60的精确度相同．其中正确的有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．下列结论中正确的是（　　）
A．0既是正数，又是负数 B．0是最小的正数
C．0是最大的负数 D．0既不是正数，也不是负数
7．现有以下五个结论：
①整数和分数统称为有理数；②绝对值等于其本身的有理数是0和1；③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1；⑤几个有理数相乘，负因数个数是奇数时，积是负数.其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，数轴上A，B两点分别表示数a，b，下列结论正确的是（　　）
A．ab＜0 B．|a|＜|b| C．b-a＜0 D．a+b＞0
9． 若，为实数，且，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．
10．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，若|b|=|c|，则下列结论中，错误的是(　　)
A．a+c<0 B．a-b<0 C．ab<0
11．下列结论：①的底数是；②若有理数，互为相反数，那么；③正整数、负整数统称为整数；④若为有理数，则不可能是负数；⑤式子的最大值是6；⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数越小．其中正确的个数有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
12．已知有理数，在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
13．比较大小：　 　.
14．若a，b互为相反数，c，d互为倒数，m是最小的自然数，由　 　．
15．在近日，某拍卖平台对重庆百年古建筑“马家洋房”进行公开拍卖，起拍价为元．数据用科学记数法表示为　 　．
16．已知a与b的和为2，b与c互为相反数，若 =1，则a=　 　.
17．对于有理数a，b定义一种新运算“⊙”，规定，则＝　 　.
18．计算　 　．
三、计算题（共8分）
19．计算
（1）
（2）
（3）
（4）．
（5）
（6）
（7）
（8）．
四、解答题（共5题，共35分）
20．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
，，，，，，，；
整数集合{　 　}
分数集合{　 　}
正有理数集合{　 　}
负有理数集合{　 　}
21．画一条数轴，把，4，，表示在数轴上，并将这4个数按从小到大的顺序排列．
22．x和y互为相反数，m与n互为倒数，|a|＝1，求a2﹣（x+y+mn）a+（x+y）2012+（﹣mn）2013的值．
23．小明家的窗户形状如图所示，窗框的上部是半圆，下部是长方形，窗框、把长方形分割成四个形状大小相等的长方形，窗户全部安装玻璃，窗框是铝合金材质（铝合金窗框宽度忽略不计），已知为a米，为米．
（1）一扇这样的窗户需要玻璃多少平方米？需要铝合金多少米？（用a、b的代数式表示）
（2）小明家要购买10扇这样的窗户，甲、乙两个品牌分别给出了下表中的报价，当米，米时，小明家选择哪个品牌购买窗户划算？（π取3）
铝合金（元/米） 玻璃（元/平方米）
甲品牌 180 不超过50平方米的部分90元/平方米，超过50平方米的部分70元/平方米
乙品牌 200 80元/平方米，每购买一平方米玻璃送米铝合金
24．毕业季，某文具批发店购进足够数量的甲、乙两种纪念册，已知每天这两种纪念册的销售量共为200本，这两种纪念册的成本和售价如下：
纪念册 成本(元/本) 售价(元/本)
甲 12 16
乙 15 18
设每天销售甲种纪念册x本．
（1）用含x的式子表示该文具批发店每天销售这两种纪念册的成本，并化简；
（2）当x=110时，求该文具批发店每天销售这两种纪念册获得的利润．
五、实践探究题（共3题，共23分）
25．符号“f”表示一种运算，它对一些数的运算如下：f(1)=1+ ，f(2)=1+ ，f(3)=1+ ，f(4)=1+ ，……
（1）根据以上运算规律，f(5)=　 　
（2）利用以上运算规律写出f(n)=　 　(n为正整数)．
（3）计算f(1)·f(2)·f(3)·……·f(100)的值．
26．数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合．研究数轴我们发现了许多重要的规律：若数轴上点A、点B表示的数分别为a、b，则A，B两点之间的距离，线段AB的中点表示的数为．已知有理数a，b，c在数轴上对应的点分别为A，B，C，其中b是最小的正整数，a和c满足．
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）现将点A、点B和点C分别以每秒3个单位长度、1个单位长度和1个单位长度的速度在数轴上同时向右运动，设运动时间为t秒．
①求经过多长时间，AB的长度是BC长度的两倍；
②定义，已知M，N为数轴上任意两点．将数轴沿线段MN的中点Q进行折叠，点M与点N刚好重合，所以我们又称线段MN的中点Q为点M和点N的折点．
试问：当t为何值时，A、B、C这三个点中恰好有一点为另外两点的折点？
27．滴滴快车是一种便捷的出行工具，计费规则如表：
计费项目 里程费 时长费 远途费
单价 1.8元/公里 0.3元/分钟 0.8元/公里
注：车费是里程费、时长费、远途费三部分之和，其中里程费按行车的实际里程计算；时长费按行车的实际时间计算；远途费的收取方式为：行车里程7公里以内（含7公里）不收远途费，超过7公里的，超出部分每公里加收0.8元，不足1公里按1公里计算.
张敏与李良各自乘坐滴滴快车，到同一地点约见，已知到达约见地点时他们的实际行车里程分别为5公里与8公里.设张敏乘车时间为x分钟，李良乘车时间为y分钟.
（1）则张敏乘车费为　 　元（用含x的代数式表示），李良乘车费为　 　元（用含y的代数式表示）；
（2）若张敏比李良少支付2元钱，问张敏与李良的乘车时间哪个多？多几分钟？
（3）在（2）的条件下，已知乘车时间较少的人先到达约见地点等候，等候时间是他自己乘车时间的一半，且比另一人乘车时间的 少2分钟，问他俩谁先出发？先出发多少分钟？
答案解析部分
1．D
解：A、因为没有最小的有理数，所以A选项错误；
B、因为0的绝对值是0，不是正数，所以B选项错误；
C、因为当a为负数时，-a是正数，所以C选项错误；
D、因为0的相反数就是0，所以D选项正确.
故答案为：D.
由没有最小的有理数；0的绝对值是0；当a为负数时，-a是正数；0的相反数就是0，逐个判断即可得到说法正确的选项.
2．A
解：A：(-2)+(-3)=-5
B：(-2)-(-3)=1
C：(-2)×(-3)=6
D：(-2)÷(-3)=
∵-5<<1<6
故答案为：A
根据四则运算计算各选项，再进行有理数的大小比较即可求出答案.
3．B
解：A、-1的相反数是1，A错误；
B、-1的绝对值为1，B正确；
C、有理数也包括负数，负数比0小，C错误；
D、-1的倒数为-1，D错误.
故答案为：B.
除了0，有理数的相反数，符号相反；整数和分数统称为有理数，正整数和正分数称为正有理数，负整数和负分数称为负有理数；有理数的绝对值是非负数；有理数的倒数，符号不变，分子分母互换位置.
4．A
解：∵(－2)+(－3) =-5， (－2)-(－3) =1， (－2)×(－3) =6， (－2)÷(－3) =.
∵-5<1<<6，
∴-5最小.
故答案为：A.
先根据有理数的加减乘除法则分别计算，然后比较结果大小，即可解答.
5．A
解：近似数2.6的准确值a满足2.55≤a<2.65，所以①错误；
近似数3.05万精确到0.01万位，所以②错误；
近似数1.6精确到十分位，近似数1.60精确到百分位，所以③错误，
综上，正确的有0个.
故答案为：A.
根据近似数的准确度分别进行判断.
6．D
解：根据0既不是正数也不是负数可判断D正确.
根据 0既不是正数也不是负数可判断四个选项．
7．C
①整数和分数统称为有理数，此结论正确；
②绝对值等于其本身的有理数是0和正数，故原结论错误；
③每一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，此结论正确；
④若两个非0数互为相反数，则它们相除的商等于﹣1，此结论正确；
⑤几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误.
∴正确的有①③④共3个.
故答案为：C.
②中绝对值等于其本身的有理数是0和正数，故原结论错误；
⑤种几个有理数相乘，负因数个数为奇数，则乘积为负数，也有可能是0，此结论错误.
8．A
解：A、∵a＜0＜b，∴ab＜0 ，A正确；
B、∵a＜-1，b＜1，∴|b|＜1＜|a|，B错误；
C、∵a＜0＜b，∴b-a＞0 ，C错误；
D、∵a＜0＜b，|a|＞1，∴a+b＜0 ，D错误.
故答案为：A.
根据数轴判断出-2＜a＜-1＜0＜b＜1，然后对各选项进行判断即可.
9．B
解：，，，
，，
，，
故答案为：B．
根据绝对值和算术平方根的非负性，得出，，代数求解即可.
10．C
11．A
解：①的底数是2，故①错误；
②互为相反数的两数和为0，故②正确；
③正整数、0、负整数统称为整数，故③错误；
④由得，则一定是正数，故④正确；
⑤由得，则式子的最小值是6，故⑤错误；
⑥在数轴上，一个数对应的点离原点越远，这个数的绝对值就越大，故⑥错误；
故答案为：A．
根据乘方的相关知识、相反数的性质、有理数的分类判断选项①②③，根据偶次方的非负性、绝对值的非负性、绝对值的意义判断选项④⑤⑥.
12．D
解：由数轴得出，则有
A、，故A选项错误，不符合题意；
B、|，故B选项错误，不符合题意；
C、，故C选项错误，不符合题意；
D、，故D选项正确，符合题意，
故答案为：D．
由数轴得出，逐一判断即可解题．
13．＞
解：∵-（-1）=1，，
而1＞-2，
∴-（-1）＞.
故答案为：＞.
根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”和绝对值的意义可将两个简化符号，然后比较化简后的两个数的大小即可求解.
14．1
解：∵a，b互为相反数，
∴a＋b＝0，
∵c，d互为倒数，
∴cd＝1，
∵m是最小的自然数，
∴m＝0．
∴a＋b＋cd＋m＝0＋1＋0＝1．
故答案为：1．
先利用相反数、倒数和最小的自然数求出a＋b＝0，cd＝1，m＝0，再将其代入a＋b＋cd＋m计算即可.
15．
16．1或3
解：根据题意可知，a+b=2，b+c=0
∵|c|=1
∴c=1或-1
当c=1时，b=-1，此时a=3；
当c=-1时，b=1，此时a=1.
由题意以及相反数的性质即可得到关于a，b和c之间的数量关系，由绝对值的性质确定c我的值，根据c的值进行分类讨论得到答案即可。
17．4
解：∵
∴，
故答案为：4.
根据定义的新运算法则列出式子，进而根据绝对值的性质先化简绝对值，再根据有理数的加法法则算出答案.
18．-8
解：，
故答案为：-8．
利用零指数幂，有理数的乘方计算求解即可。
19．（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
；
（5）解：
；
（6）解：
；
（7）解：
；
（8）解：
.
（1）先根据减去一个数等于加上这个数的相反数将减法转变为加法，进而利用加法的交换律与结合律将相加等于整数的加数结合在一起，最后根据有理数的加减法法则计算可得答案；
（2）利用加法的交换律与结合律将相加等于整数的加数结合在一起，最后根据有理数的加减法法则计算可得答案；
（3）根据有理数的乘法和除法法则计算有理数的乘法和除法，再计算有理数的减法可得答案；
（4）先计算有理数的乘法和乘方运算，再计算有理数的减法可得答案；
（5）先利用乘法分配律去括号，再计算有理数的乘法，最后计算有理数的加减法可得答案；
（6）先通分计算括号内异分母分数的加减法，再计算有理数的除法可得答案；
（7）先计算有理数的乘法和乘方运算，再计算括号内的减法，最后再计算有理数的减法可得答案；
（8）先计算括号内的乘方运算，再计算括号内的乘法运算，进而计算括号内的减法运算，最后再计算乘法得出答案.
20．，，；，，，；，，，；，
解：整数为：-3，1，0；
分数为：2.5，-0.58，，0.3；
正有理数为： 2.5，1，，0.3；
负有理数为：-3，-0.58，．
故答案为：-3，1，0；2.5，-0.58，，0.3；2.5，1，，0.3；-3，-0.58．
有理数分为正有理数、负有理数和零；有理数也可以分为整数与分数，整数分为正整数、零与负整数；分数分为正分数与负分数，要注意：有限小数与无限循环小数都可以化为分数；无限不循环的小数是无理数，据此逐个判断得出答案.
21．解：如图，
．
先化简，再将各数在数轴上表示出来，最后利用数轴上右边的数大于左边的数求解即可.
22．解：∵x与y互为相反数，m与n互为倒数，|a|＝1，
∴x+y＝0，mn＝1，a＝±1，
∴a2﹣（x+y+mn）a+（x+y）2012+（﹣mn）2013
＝a2﹣（0+1）a+02012+（﹣1）2013
＝a2﹣a﹣1．
当a＝1时，a2﹣a﹣1＝12﹣1﹣1＝﹣1．
当a＝﹣1时，a2﹣a﹣1＝（﹣1）2﹣（﹣1）﹣1＝1+1﹣1＝1．
∴a2﹣（x+y+mn）a+（x+y）2012+（﹣mn）2013的值为1或﹣1．
根据 x和y互为相反数，m与n互为倒数，|a|＝1， 求得 x+y＝0，mn＝1，a＝±1， 分两种情况： 当a＝1时，当a＝﹣1时， 代入代数式中即可求解.
23．（1）平方米；米
（2）小明家选择甲品牌购买窗户划算
24．（1）解：设每天销售甲种纪念册x本，则销售乙种纪念册(200-x)本，
所以每天的成本为：12x+15(200-x)=12x+3000-15x=(-3x+3000)元；
（2）解：当x=110时， 200-x= 90，
(16-12)×110+(18-15)×90=440+270=710 (元)．
答：该文具批发店每天销售这两种纪念册获得的利润为710元.
（1）每天销售甲种纪念册x本，则销售乙种纪念册(200-x)本，根据单价乘以数量等于总价分别表示出购买x本甲种纪念册的成本费用与购买（200-x）本乙种纪念册的成本费用，再求和即可；
（2）根据单件商品的利润乘以销售数量=总利润分别算出，销售x本甲种纪念册的利润与销售（200-x）本乙种纪念册的利润，再求和即可.
25．（1）
（2）
（3）f(1) ·f(2) ·f(3) ·……·f(100)
=
=
=
=5 151．
解：（1）
故答案为：；
（2），
故答案为：；
(1)根据已知几个式子可以看出1和分数中的分子2是不变的，分数中的分母和括号里的数一样，f(5)括号里为5，所以答案为；
(2)根据已知几个式子可以看出1和分数中的分子2是不变的，分数中的分母和括号里的数一样，f(n)括号里为n，即；
(3)由2中的规律可得，原式=，观察此式可知第三个分母开始依次和第一个分子开始依次约分，最后剩第一个分母1和第二个分母2，剩第99个分子101和第100个分子102，得原式=.
26．（1）-2；1；2
（2）解：①t秒后，点A表示的数为-2+3t，点B表示的数为1+t，点C表示的数为2+t．
∴，．
∵，
∴．
∴或．
∴经过或秒，AB的长度是BC长度的两倍；
②当点B为点A和点C的中点时，
得：，解得：．
当点A为点B和点C的中点时，
得：，解得：．
当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧），
得：，解得：．
综上，当t为秒或或秒时，这三个点中恰好有一点为另外两点的折点．
解：（1）∵b是最小的正整数，
∴b=1，
∵，，，
∴a=-2，c=2，
故答案为：-2；1；2；
（1）根据正整数的定义、绝对值的非负性、偶次方的非负性即可得出a，b，c的值；
（2）①根据题意先得出点A、B、C表示的数，再根据两点间的距离公式表示出AB及BC的长，进而根据AB的长度等于BC长度的两倍列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案；
②分三种情况讨论：当点B为点A和点C的中点时，当点A为点B和点C的中点时，当点C为点A和点B的中点时（点A在点C的右侧），分别列出方程，解方程求出t的值，即可得出答案.
27．（1）；
（2）解：由题意得：
∴ ，
∴张敏比李良的乘车时间多，多14分钟.
（3）解：由（2）可知：李良乘车时间为y分钟，张敏乘车时间为 分钟.
由题意： ，
解得 .
∴张敏的乘车时间为16＋14＝30（分钟），
李良等候的时间为 8（分钟），
∴张敏比李良先出发，先出发的时间 （分钟）.
答：张敏比李良先出发，先出发6分钟.
解：（1）张敏乘车费为 ；
李良乘车费为
故答案为： ， ；
（1）根据收费标准列出代数式即可；
（2）根据张敏比李良少支付2元钱，构建方程求解即可；
（3）由（2）可知：李良乘车时间为y分钟，张敏乘车时间为（y+14）分钟.根据时间关系构建方程求解即可.
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