专题2.1无理数与实数 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题2.1无理数与实数 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在实数中，属无理数的是（　　）
A． B． C． D．－1.414
2．下列各式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列说法中，正确的是（　　）.
A．0.4的算术平方根是0.2 B．16的平方根是4
C．的立方根是4 D． 的立方根是
4．下列说法：；数轴上的点与实数成一一对应关系；是的平方根；任何实数不是有理数就是无理数；两个无理数的和还是无理数；无理数都是无限小数，正确的个数有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
5．如图所示，小手盖住的实数可能是（　　）
A． B． C． D．2.3
6．无理数在数轴上位置的描述，正确的是（　　）
A．在点的左边 B．在点的右边
C．和原点的距离小于3 D．和原点的距离大于3
7．将自然数1，2，3，4，5，6分别标记在6个形状大小质地等完全相同的卡片上，随机打乱之后一一摸出，并将摸出的卡片上的数字分别记为，，，，，，记，以下3种说法中：①A最小值为3；②A的值一定是奇数；③A化简之后一共有5种不同的结果．说法正确的个数为（　　）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．估计的值应在（　　）
A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间
9．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：+的结果为（　　）
A．2 B．-2 C．2a-6 D．-2a+6
10．定义一种关于整数n的“F”运算：
⑴当n是奇数时，结果为3n+5；
⑵当n是偶数时，结果是（其中k是使是奇数的正整数），并且运算重复进行．
例如：取n＝58，第一次经F运算是29，第二次经F运算是92，第三次经F运算是23，第四次经F运算是74…；若n＝9，则第2023次运算结果是（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二、填空题（每题3分，共18分）
11．请写一个比大的无理数：　 　．
12．的立方根为　 　．
13．若x，y都是实数，且 ，则x+3y的立方根为　 　．
14．的倒数是　 　，绝对值是　 　，相反数是　 　．
15．已知，，则　 　（精确到0.01）．
16．计算 的结果是　 　．
三、计算题（共6分）
17．计算|﹣5|+ ﹣（ ）﹣1．
四、作图题（共9分）
18．如图，在方格纸中，每一个小正方形的边长为1，按要求画一个三角形，使它的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）在图甲中画一个以AB为边且面积为3的直角三角形；
（2）在图乙中画一个使AC为腰的等腰三角形.
五、解答题（共4题，共32分）
19．把下列各数填在相应的表示集合的大括号里．
，，，，，，，；
整数集合{　 　}
分数集合{　 　}
正有理数集合{　 　}
负有理数集合{　 　}
20．如图，数轴上的三点A、B、C所对应的数分别为a、b、c．
（1）填空： 　 　0； 　 　0； 　 　0．（填“＞”“＜”或“＝”）
（2）化简：丨 丨－丨 丨+丨 丨．
21．如图，数轴上A点表示的数是-2，B点表示的数是5，C点表示的数是10.
（1）若要使A、C两点所表示的数是一对相反数，则“原点”表示的数是：　 　.
（2）若此时恰有一只老鼠在B点，一只小猫在C点，老鼠发现小猫后立即以每秒一个单位的速度向点A方向逃跑，小猫随即以每秒两个单位的速度追击.在小猫未抓住老鼠前，用时间t（秒）的代数式表示老鼠和小猫在移动过程中分别与点A之间的距离.
22．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点、，交轴于点，交轴于点．
（1）求反比例函数的表达式和的坐标；
（2）求一次函数的表达式和的坐标；
（3）连接、，求的面积．
六、实践探究题（共3题，共25分）
23．∵4<7<9，即2<<3，∴的整数部分为2，小数部分为-2．
请你观察上述式子规律后解决下面的问题．
（1）规定用符号[m]表示实数m的整数部分，
例如：[]=0，[π]=3．填空：[+2]=　 　，[5-]=　 　
（2）如果5+的小数部分为a，5-的小数部分为b，求a+b的值．
24．大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？
事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
又例如：∵，即，
∴的整数部分为2，小数部分为．
请解答：
（1）的整数部分是　 　，小数部分是　 　．
（2）如果的小数部分为，的整数部分为，求的值；
（3）已知：，其中是整数，且，直接写出的相反数　 　．
25．阅读下列材料：我们知道，分子比分母小的数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”：当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
如：，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：．
解决下列问题：
（1）分式 是　 　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式　 　形式；
（2）如果分式的值为整数，求满足条件的整数x的值；
（3）若分式的值为m，则m的取值范围是　 　（直接写出结果）
答案解析部分
1．C
解：根据题意可得：-1.414，0，10，，均为有理数，是无理数，
故答案为：C.
先化简，再利用无理数的定义（无限不循环小数称为无理数）逐个分析判断求解即可.
2．A
解：A、，符合题意；
B、，不符合题意；
C、，不符合题意；
D、，不符合题意；
故答案为：A.
根据有理数的乘方法则可判断A、B；根据算术平方根的概念可判断C；根据乘方的意义可判断D.
3．D
解：A、0.4的算术平方根是，故此选项错误；
B、16的平方根是，故此选项错误；
C、，再求8的立方根是2，故此选项错误；
D、的立方根是，故此选项正确.
故答案为：D.
如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根，由于0.22=0.04≠0.4，故 0.4的算术平方根是0.2 错误，据此可判断A选项；一个正数有两个平方根，而且这两个平方根互为相反数，据此可判断B选项；先根据算术平方根的定义求出64的算术平方根为8，再根据立方根的定义求出8的立方根，据此计算可判断C选项；由一个数的立方的立方根等于其本身可判断D选项.
4．C
解：①，故①错误；
②数轴上的点与实数成一 一对应关系，故②正确；
③∵，（-3）2=9，∴-3是的平方根，故③正确；
④∵有理数和无理数统称实数，∴ 任何实数不是有理数就是无理数 ，故④正确；
⑤如与，它们互为相反数，其和等于0，∴ 两个无理数的和还是无理数是错误的，故⑤错误；
⑥无限不循环的小数就是无理数，所以无理数都是无限小数，故⑥正确，
综上正确的有②③④⑥，共4个.
故答案为：C.
由可判断①；由实数与数轴上点的关系知数轴上的点与实数成一 一对应关系，据此判断②；先将 化简得9，再根据平方根的定义可判断-3是9的平方根，据此可判断③；根据实数的定义：有理数和无理数统称实数，可判断④；由互为相反数的两个无理数的和为0，可判断⑤；由无理数的定义：无限不循环的小数就是无理数，可判断⑥.
5．A
6．D
A．，则-在-4的右边，故A项错误；
B．，则-在-3的左边边，故B项错误；
C．-和原点的距离是π，，故C项错误；
D．-和原点的距离是π，，故D项正确；
故答案为：D．
利用两个负实数比较大小，绝对值大的反而小，可对A，B作出判断；再利用绝对值的意义，可知，可对C，D作出判断.
7．B
8．B
9．A
解：由数轴可知
2＜a＜4，
∴a-2＞0，a-4＜0，
∴原式=|a-2|+|a-4|=a-2+4-a=2.
故答案为：A
观察数轴可知2＜a＜4，可得到a-2＞0，a-4＜0，利用绝对值的性质，先去调绝对值，再合并同类项.
10．C
解：由题意可得：当n=9时，
第一次经F运营是3×9+5=32
第二次经F运营是1
第三次经F运营是8
第四次运营是1
......
之后出现1、8循环，奇数次是8，偶数次是1
∴第2023次运算结果是8
故答案为：C
根据运算结果的变化找出变化规律，即可求出答案.
11．
解：，
∴.
故答案为：（答案不唯一）.
只需写出一个无理数，且比2大即可（答案不唯一）。
12．-3
解：∵（-3)3=27，
∴-27的立方根是：-3，
故答案为：-3.
根据立方根的概念即可求解。
13．3
解：根据题意得，x﹣3≥0且3﹣x≥0，
解得x≥3且x≤3，
所以，x=3，
y=8，
x+3y=3+3×8=27，
∵33=27，
∴x+3y的立方根为3．
故答案为：3．
根据被开方数大于等于0列式求出x的值，然后求出y的值，代入代数式求解，再根据立方根的定义解答．
14．；5；5
解：∵ ，
∴倒数为，绝对值为5，相反数为5
故答案为：，5，5.
先求出 的值为-5，根据乘积为1的两个数互为倒数，符号相反的两个数互为相反数，负数的绝对值是它的相反数进行分析，即可得到答案。
15．
16．3
∵32＝9，
∴ ＝3，
故答案为3．
由 表示9的算术平方根，根据算术平方根的定义即可求出结果．
17．解：原式=5+3﹣3=5．
原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用立方根定义化简，最后一项利用负指数幂法则计算即可得到结果．
18．（1）
（2）
（1）画出∠ABC=90°，BC=3，即可画出以AB为边且面积为3的直角三角形；
（2）根据对称性作出线段BC，使BC=AC，即可画出以AC为腰的等腰三角形.
19．，，；，，，；，，，；，
解：整数为：-3，1，0；
分数为：2.5，-0.58，，0.3；
正有理数为： 2.5，1，，0.3；
负有理数为：-3，-0.58，．
故答案为：-3，1，0；2.5，-0.58，，0.3；2.5，1，，0.3；-3，-0.58．
有理数分为正有理数、负有理数和零；有理数也可以分为整数与分数，整数分为正整数、零与负整数；分数分为正分数与负分数，要注意：有限小数与无限循环小数都可以化为分数；无限不循环的小数是无理数，据此逐个判断得出答案.
20．（1）＜；＜；＞
（2）解：∵ ＜0， ＜0， ＞0
∴丨 丨－丨 丨+丨 丨
=-（a-b）-[-(a+c)]+b+c
=b-a+a+c+b+c
=2b+2c．
解：（1）由数轴可得：a＜b＜0＜c且|c|＞|b|，|a|＞|c|
∴ ＜0， ＜0， ＞0；
故填＜，＜，＞；
（1）结合数轴，利用特殊值法判断正负即可；
（2）结合（1）中的结果，再利用绝对值的性质去掉绝对值，再合并同类项即可。
21．（1）4
（2）解：老鼠在移动过程中与点A之间的距离为：5-（-2）-t＝7-t，
小猫在移动过程中与点A之间的距离为：10-（-2）-2t＝12-2t.
解：（1）根据相反数的意义，可知“原点”到两点的距离分别为：（10+2）÷2＝6，
∴“原点”表示的数为：-2+6＝4，
故答案为：4；
（1）首先根据相反数的意义求出原点到两点之间的距离，然后根据两点间距离公式就可求出原点表示的数；
（2）由题意可得老鼠跑的路程为t，小猫跑的路程为2t，利用AB的值减去老鼠跑的路程即可表示出老鼠在移动过程中与点A之间的距离，利用AC的值减去小猫跑的路程即可表示出小猫在移动过程中与点A之间的距离.
22．（1）解：反比例函数的图象经过点，
．
．
反比例函数的解析式为：．
在反比例函数图象上，
，
．
．
（2）解：据题意得：，
解得：．
一次函数的表达式为：，
令，得，解得：，
．
（3）解：过点作轴于点，过点作轴于点，如图，
令，则，
．
．
、，
，．
；
（1）先根据反比例函数图象上的点的特征即可得到m，进而再将点C代入即可求解；
（2）运用待定系数法将点A和点C代入即可求出一次函数的解析式，进而令y=0即可求解；
（3）过点作轴于点，过点作轴于点，先根据一次函数的图象即可得到点B的坐标，进而得到OB，再根据题意得到，，从而根据“”即可求解。
23．（1）5；1
（2）解：∵9＜13＜16，即，
∴，
故的小数部分为；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故的小数部分为；
则．
（1）解：∵9＜10＜16，即，
∴，
故；
∵9＜13＜16，即，
∴，
∴，
故；
故答案为：5；1.
（1）先分别求出和的取值范围，再根据新定义即可求解；
（2）先分别求出和的取值范围，求出a与b的值，代入原式计算即可求解．
24．（1）4；
（2）解：∵，即，
∴的小数部分，
∵，
即，
∴的整数部分，
∴．
（3）
解：（1）∵，
∴，
∴的整数部分为4，小数部分为；
故答案为：4；；
（3）∵
∴11＜x+y＜12，
∵x为整数，且0＜y＜1，
∴x=11，，
∴，
∴x-y的相反数是，
故答案为：.
（1）先估算介于哪两个相邻的整数之间，再得出它的整数部分，从而得出它的小数部分；
（2）首先用估算得出，b=3，再代入代数式a+b-，求出代数式的值及可；
（3）首先估算，得出，x=11，，然后求出代数式x-y，再进一步求得它的相反数即可。
25．（1）真分式；；
（2）解：由题意知：，
∵分式的值为整数，则的值为、、1、3，
∴对应的的值为，0，2，4，
∴满足条件的整数x的值为，0，2，4；
（3）.
解：（1）分式是真分式；
，
故答案为：真分式，
（3）∵，
x2+2≥2，
∴，
∴，
∴m的取值范围为3＜m≤4
故答案为：3＜m≤4
（1）利用“真分式”和假分式的定义可作出判断；将分子x+5可化为x+2+3，据此可得答案.
（2）将分式转化为，根据题意可知x-1的值为±1或±3，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
（3）先将分式转化为，利用非负数的性质可知x2+2≥2，可推出，利用不等式的性质，可得到m的取值范围.
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