专题2.2无理数与实数 真题集训 — 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题2.2无理数与实数 真题集训
一、选择题（每题3分，共30分）
1．在-2，-1，0，π这四个数中，最小的数是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．π
2．的平方根是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上表示的点可能是（　　）
A．点A B．点B C．点C D．点D
4．已知x是整数，当取最小值时，x的值为 (　　)
A．6 B．7 C．8 D．9
5．面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（　　）
A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间
6．在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量．已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当时，该微观粒子的能量的值在（　　）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．下列说法中，正确的个数有（　　）
①实数和数轴上的点是一一对应的；②是一个分数；③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行：④“同位角相等”为真命题：⑤立方根等于本身的数是1和0；⑥的平方根是．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．下列说法正确的是（　　）
A．|-2|与2互为相反数 B．与互为倒数
C．＞ D．是无理数
9．如图，在数轴上标注了四段范围，则表示点落在（　　）
A．第1段 B．第2段 C．第3段 D．第4段
10．我们用表示最接近的整数，其中n为非负整数．例如：∵，∴；∵，∴；∵，∴．则下列结论：
①；
③当时，n的值有6个；
③；
④若，则．
其中正确的个数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每题4分，共24分）
11．计算：（﹣π）0+2-2=　 　．
12．已知 ，则 的值为　 　．
13．=　 　，它的绝对值是　 　；(-3)2的算术平方根是　 　；的平方根是　 　．
14．比较大小：　 　填“”、“”或“”
15．请写一个比大的无理数：　 　．
16．已知a，b是相邻的整数，若，则的平方根为　 　.
三、计算题（共2题，共18分）
17．
（1）计算：.
（2）化简：
18．计算：．
四、解答题（共2题，共28分）
19．综合运用
如图，抛物线与x轴交于A（﹣6，0），B（2，0）两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC.
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）点P是直线AC下方抛物线上的一个动点，过点P作BC的平行线l，交线段AC于点D．
①试探究：在直线l上是否存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由；
②设抛物线的对称轴与直线l交于点M，与直线AC交于点N．当S△DMN＝S△AOC时，请直接写出DM的长.
20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，且满足．连接．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，点Q是线段上一点，过点Q作轴，交抛物线于点P，E，F是抛物线对称轴上的两个点（点F在点E的上方），并且始终满足，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值；
（3）如图2，在（2）线段长度取得最大的前提下，将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新的抛物线，求出新抛物线的解析式．抛物线交延长线于点K，新抛物线上是否存在动点N，使得，若存在直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．A
解：∵，
∴最小的数为-2，
故答案为：A.
根据负数小于零，正数大于零，两个负数比较大小绝对值大的反而小解题即可.
2．C
解：，
又，
的平方根是，
故答案为：C．
先化简，再利用平方根的性质求解即可。
3．B
4．B
解：∵，且
∴与最接近的整数为7
∴取最小值时，x的值为7
估算无理数的范围即可求出答案.
5．D
解：∵正方形的面积为20，
∴正方形的边长为
∴m在整数4与5之间.
故答案为：D.
先根据正方形的面积公式表示出边长m，再进行无理数的估算，确定无理数在哪两个整数之间即可.
6．A
7．B
8．B
解：A、|-2|与2不互为相反数，则本项不符合题意，
B、与互为倒数，则本项符合题意，
C、，则本项不符合题意，
D、是有理数，则本项不符合题意，
故答案为：B.
根据互为相反数和倒数的性质即可判断A、B项；根据估计无理数的大小即可判断C项，根据无理数的定义即可判断D项.
9．C
10．C
用表示最接近的整数，找到临界值，
平方数 每组值 每组值的个数
1个
2个
4个
6个
8个
10个
12个
以此类推，每组值的个数是2n个，从开始，每组的值是n。
A：，A正确；
B：当时，n的 值应该有2×4=8个，B错误；
C： =0-1+1-2+2-2+2-3+3-3+3-3+3-4+4-4+4-4+4-4+4=0，每组值都是偶数个，从到每一组都可分成偶数组，每组运算后都是0.C正确
D：1+1+4×+6×++···+2n×=98
每组值都是2，则和为98时，共有49组， 按照表格规律，从开始，第49组是，，则n=2450，D正确
综上所述，A、C、D正确，B错误。
故答案为C，
本题考查算术平方根和平方数的运用。找到临界值很重要。
11．
解：原式=1+=
任何非零数的零次方等于1；在幂中，指数中的“-”代表取倒数.
12．9
解：∵
∴
∴
故答案为：9．
先求出，再求出a的值即可。
13．-4；4；3；±
解：=-4，它的绝对值是4；
（-3）2=9；
的平方根是，
故答案为：-4；4；9；.
根据立方根、平方根、乘方的定义以及绝对值的性质进行解答，即可得出答案.
14．
解：由题意得＞3，
故答案为：＞
根据题意直接比较无理数的大小，进而即可求解。
15．
解：，
∴.
故答案为：（答案不唯一）.
只需写出一个无理数，且比2大即可（答案不唯一）。
16．±3
解：∵a，b是相邻的整数，若
∴，
∴，
∴a=-9，b=-8，
∴的平方根为±3，
故答案为：±3
先根据题意估算无理数的大小得到，从而根据不等式的性质得到，即a=-9，b=-8，再结合题意根据平方根即可求解。
17．（1）解：
；
（2）解：
（1）先根据负整数指数幂的性质、0指数幂的性质、二次根式的性质及绝对值的性质分别化简，再计算有理数的加减法即可得出答案；
（2）先根据同分母分式的加法法则进行计算，再将分子利用提取公因式法分解因式，最后约分化简即可.
18．解：原式＝-1+-2×+2
＝-1++2
=1．
先算乘方运算，代入特殊角的三角函数值，同时化简绝对值，再算乘法运算，然后合并即可.
19．（1）解：把点A(-6，0)和点B(2，0)代入抛物线得：
解得：
∴此抛物线的函数表达式为y=x2+2x﹣6.
（2）解：①存在：设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，
∵B（2，0），C（0，﹣6），
∴BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，
DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，
∵DE∥BC，
∴当DE＝BC时，以点D，C，B，E为顶点的四边形为平行四边形，
分两种情况：
如图1，当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，∴BD2＝BC2，
∴（m﹣2）2+（m+6）2＝40，
解得：m1＝﹣4，m2＝0（舍去），
∴点D的坐标为（﹣4，﹣2），
∴点E的坐标为（﹣6，﹣8）；
如图2，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，
∴CD2＝CB2，
∴2m2＝40，
解得：m1＝﹣2，m2＝2（舍去），
∴点D的坐标为（﹣2，2﹣6），
∴点E的坐标为（2﹣2，2）；
综上，存在点E，使得以点D，C，B，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（﹣6，﹣8）或（2﹣2，2）；
②DM的长为3
解：（2）②如图，设点的坐标为，其中，
∵，，
∴抛物线的对称轴为直线，
∵直线的表达式为，直线，
∴设直线的解析式为，
∵点的坐标，
∴，
∴，
∵抛物线的对称轴与直线交于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
整理得：，
解得：，（舍去），
∴点的坐标为，点的坐标为，
∴
∴的长为．
（1）根据题意将点A和点B代入抛物线，进而即可得到解析式；
（2）①设点D的坐标为（m，﹣m﹣6），其中﹣6＜m＜0，进而根据坐标系中两点间的距离公式得到BD2＝（m﹣2）2+（m+6）2，BC2＝22+62＝40，DC2＝m2+（﹣m﹣6+6）2＝2m2，根据平行四边形的判定结合题意分类讨论：当BD＝BC时，四边形BDEC为菱形，当CD＝CB时，四边形CBED为菱形，再根据菱形的判定与性质求出点的坐标即可求解；
②设点的坐标为，其中，根据二次函数的图象得到对称轴为直线，进而根据一次函数的几何变换设直线的解析式为，再根据题意求出，，则，根据三角形的面积即可求出m，再根据点的坐标结合勾股定理求出DM即可求解。
20．（1）解：∵中，当时，，∴，
又∵，
∴，
∴，，
代入，
得，
解得，
∴抛物线的解析式为；．
（2）解：设直线的解析式为∵，，
∴，
解得，
∴，
设，
则，
∴，
∵，
∴当时，取得最大值，
∴，
取，连接，
则，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴当点E在上时，取得最小值，，
∵，
∴的最小值为；
（3）解：∵，
∴顶点为，
∵将该抛物线沿射线的方向移动个单位长度，得到新抛物线，且，
∴该抛物线向右平移2个单位长度，向上平移2个单位长度得到新抛物线，
∴新抛物线的顶点为，
∴新抛物线解析式为，
由（2）知，
∵，，
∴，
∴，
∴，
设直线解析式为，
则，
解得，
∴，
当时，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴，
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
设直线解析式为，
∴，
解得，，
∴
与联立，
得，
解得（舍去），
∴；
综上，，．
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