专题3.1 整式 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题3.1 整式 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法中，正确的有（　　）
①的系数是2；②多项式是二次三项式；
③的常数项为2； ④在，，，，0中，整式有3个.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．下列说法正确的是（　　）
A．与的和为0
B．的系数是，次数是4次
C．是三次三项式
D．与不是同类项
3．如果和是同类项，那么的值是（　　）
A．-1 B．1 C．-2 D．2
4．下列各式中与的值不相等的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片(如图1)，不重叠地放在一个长为、宽为长方形内(如图2)，未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图2中两块阴影部分的周长和是（　　）
A． B． C． D．
6．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．已知六元方程，满足，且a，b，c，d，e，f为正整数，则下列关于这个六元方程的正整数解的说法中正确的个数为（　　）
①、，，，，，是该方程的一组解；
②、连续的六个正整数一定是该六元方程的解；
③、若a10，则该六元方程有20组解；
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
9．下列运算正确的是( ) ．
A． B．
C． D．
10．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①；再将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②．若图①和图②中阴影部分的面积分别为1和7，则图②所示的大正方形的面积为（　　）
A．14 B．15 C．16 D．17
二、填空题（每题2分，共12分）
11．单项式的次数为　 　次．
12．有理数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，化简：|a+b|-lb-c|=　 　.
13．将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖直线记成＝ad﹣bc，若＝6，则11x2﹣5＝　 　．
14．我们知道，同底数幂的乘法则为：（其中，，为正整数）类似地我们规定关于任意正整数，的一种新运算：，若，那么　 　．
15．计算：　 　．
16． 填空：
（1）（　 　）
（2）（　 　）
（3）（　 　）
（4）（　 　）
三、计算题（共5题，共43分）
17．计算：
（1）（-1）2020+（-）-2-20210；
（2）x3 x5-（2x4）2+x10÷x2；
（3）[（-xy2z）2-4x3y2z]÷x2y2；
（4）（x+2y）（x-2y）-（x-y）2．
18．计算下列各题
（1）
（2）
19．（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中，．
20．如图是某单位办公用房的平面结构示意图（长度单位：米），图形中的四边形均是长方形或正方形．
（1）用含的式子分别表示会客室和会议厅的占地面积．
（2）如果，，会议厅比会客室大多少平方米？
21．如图，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为(4a＋3b)米，宽为(2a＋3b)米的长方形草坪上修建两条宽为b米的通道．
(1)通道的面积是多少平方米？
(2)剩余草坪的面积是多少平方米？
四、解答题（共6题，共48分）
22．某会所在一个长方形的空地上修建两个扇形游泳池（阴影部分），如图所示，两个游泳池之间的空地上铺上五彩石.（单位：米）
（1）请用含，的代数式表示铺五彩石的空地的面积；（结果保留）
（2）如果，，每平方米的五彩石的价格为100元，求购买五彩石的总费用.（取3.14）
23．观察两个连续偶数的平方差：
①42-22=12，②62-42=20，③82-62=28，.... ....
（1）写出第n个等式，并进行证明；
（2）问172是否可以写成两个连续偶数的平方差 如果能，请写出这两个偶数：如果不能，请说明理由.
24．已知，为有理数，现规定一种新运算“※”，满足.
（1）求的值；
（2）求的值.
25．我们将进行变形，如：等.请灵活利用这些变形解决下列问题：
（1）已知，则ab=　 　.
（2）若x满足(25-x)(x-10)=-15，求的值.
（3）如图，四边形ABED是梯形，DA⊥AB，EB⊥AB，AD=AC，BE=BC，连结CD，CE，若AC.BC=10，则图中阴影部分的面积为　 　.
26．如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数图象上任意一点，点是轴正半轴上的任意一点．
（1）若点是上任意一点，，试说明；
（2）在（1）的条件下，已知点的横坐标为，点的坐标，求点的坐标；
（3）若点的纵坐标为，点的坐标，上是否存在一点使得与相似？若存在，求点的坐标；若不存在，请说明理由．
27．两个边长分别为、（）的正方形按如图①所示的方式放置，其中重合部分（阴影）的面积为，若在图①中大正方形的左下角摆放一个边长为b（）的小正方形（如图②），两个小正方形重合部分（阴影）的面积为．
（1）用含、的式子分别表示：__________，____________；
（2）若，，求的值；
（3）将边长分别为、的正方形按如图③所示的方式放置，当时，求出图③中阴影部分的面积和（即的值）．
五、实践探究题（共2题，共17分）
28．【问题背景】现定义一种新运算“⊙”对任意有理数m，n，规定：．
例如：．
（1）【问题推广】
先化简，再求值：，其中，；
（2）【拓展提升】
若，求p，q的值
29．阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：　 　．
（2）先化简，再求值：，其中满足．
（3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
答案解析部分
1．A
①的系数是；原选项错误，不合题意；
②多项式是三次三项式；原选项错误，不合题意；
③的常数项为-2；原选项错误，不合题意；
④在，，，，0中，整式有，，0，共3个，原选项正确，符合题意；
故答案为A
本题考查单项式的系数，多项式的项，次数及整式，单项式的系数是字母前面的数字因数，则①错误； 一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数，多项式的项数就是多项式中包含的单项式的个数，则②错误； 多项式中的每个单项式叫做多项式的项，则③错误，单项式和多项式统称为整式，分母中不含字母，可知④正确。
2．C
解：A．与不是同类项，不能合并，此选项不符合题意；
B．的系数是，次数是3次而不是4次，此选项不符合题意；
C．是三次三项式，此选项符合题意；
D．与是同类项，此选项不符合题意.
故答案为：C．
根据单项式和多项式的相关概念“单项式中的数字因数叫做单项式的的系数，系数包括它前面的符号，单项式的次数是所有字母的指数的和；多项式的次数是多项式中次数最高的项的次数”以及同类项的定义“同类项是指所含字母相同，且相同的字母的指数也相同的项”依次判断即可求解．
3．A
4．C
5．B
如图：
设小长方形卡片的宽为，则，，，
∵，
∴，
∴两块阴影部分的周长和是： cm，
故答案为：B．
设小长方形卡片的宽为，求出AB、BC和EF的长，再利用长方形的周长公式列出整式计算即可。
6．D
7．D
8．D
9．D
10．B
解：设正方形B的边长为a，其中，
∵将B放在A的内部如图①所示，阴影部分的面积为1，
∴阴影部分为正方形，且边长为1，
∴图①中大正方形的边长为，
即正方形A的边长为，
又∵将A，B无缝隙且无重叠放置后构造新的正方形如图②所示：
∴图②中大正方形的边长为：，
∵图②中阴影部分的面积为7，
∴，
整理得：，
解得：，（不合题意，舍去），
∴图②中大正方形的边长为：
∴图②中大正方形的面积为15．
故答案为：B．
设正方形B的边长为a，其中a>0，依题意由图①得阴影部分为正方形，且边长为1，则正方形A的边长为a+1，依题意得图②中大正方形的边长为2a+1，则，由此解出，进而再求出图②中大正方形的面积即可．
11．
12．-a-c
解：根据图可知，a＜0，c＞b＞0，|a|＞|b|，
∴a＋b＜0，c b＞0，
∴原式＝ a b＋（b c）
＝ a b c＋b
＝ c a.
故答案为： c a.
先结合数轴判断出a＜0，c＞b＞0，|a|＞|b|，再利用绝对值的性质化简并合并同类项即可.
13．6
由题意可得＝，整理得，
，
11x2﹣5＝ 6，
故答案为：6.
根据定义得到＝，整理得，求得，从而求解.
14．
15．
16．（1）2a2
（2）15a2b2
（3）2m2n-3mn2
（4）3y-2
解：（1）4a2b÷2b=2a2；
故答案为：2a2；
（2）（-3ab）×5ab=-15a2b2；
故答案为：-15a2b2；
（3）（2m-3n）×mn=2m2n-3mn2；
故答案为：2m2n-3mn2；
（4）（6y3-4y2）÷2y2=3y-2.
故答案为：3y-2.
（1）根据除数=被除数÷商，可得括号内的式子为：4a2b÷2b，然后再用单项式除以单项式的法则，计算出结果即可；
（2）根据被除数=商×除数，可得括号内的式子为：（-3ab）×5ab，然后再用单项式乘以单项式的法则，计算出结果即可；
（3）根据被除数=商×除数，可得括号内的式子为：（2m-3n）×mn，然后再用单项式乘以多项式的法则，计算出结果即可；
（4）根据除数=被除数÷商，可得括号内的式子为：（6y3-4y2）÷2y2，然后再用多项式除以单项式的法则，计算出结果即可.
17．（1）解：原式＝1+9-1＝9
（2）解：原式＝x8-4x8+x8＝-2x8
（3）解：原式＝＝4y2z2-16xz
（4）解：原式＝（x2-4y2）-（x2-2xy+y2）＝x2-4y2-x2+2xy-y2＝2xy-5y2．
（1）根据乘方的定义、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质进行化简，再进行加减运算，即可得出答案；
（2）先算乘方，再算乘除，最后合并同类项，即可得出答案；
（3）先算乘方，再根据多项式除以单项式的法则进行计算，即可得出答案；
（4）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，再合并同类项，即可得出答案.
18．（1）解：
；
（2）解：
．
（1）利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方，积的乘方计算求解即可；
（2）利用完全平方公式和平方差公式计算求解即可。
19．（1）解：；
（2）解：，
把，代入中，即．
（1）运用有理数的乘方、零指数幂、负整数指数幂进行运算，进而即可求解；
（2）先运用完全平方公式、平方差公式进行运算，进而代入即可求解。
20．（1）会客室的面积为平方米，会议厅的面积为平方米
（2）39平方米
21．(1) (6ab＋5b2) (2) (8a2＋12ab＋4b2)
22．（1）解：∵长方形的长为a米，宽为b米，面积为米，
半径为b米的四分之一圆面积为米，
直径为b米的二分之一圆面积为米，
∴阴影部分的面积为：米；
（2）解：当米，米，取时，
五彩石的造价为：
（元）.
答：需要13225元.
（1）根据矩形面积计算方法、扇形面积计算方法及割补法，用矩形ABCD的面积分别减去两个扇形的面积即可算出铺五彩石的空地的面积；
（2）将a=25、b=10及 代入（1）所得结果可算出铺五彩石的空地的面积，进而再乘以每平方米的五彩石的价格即可得出购买五彩石的总费用.
23．（1）解：第n个等式为：（2n+2）2-（2n）2=4(2n+1)（n为非零自然数），
证明如下：
∵（2n+2）2-（2n）2=（2n+2-2n）（2n+2+2n）=2（4n+2）=4（2n+1），
∴（2n+2）2-（2n）2=4(2n+1)；
（2）解： 172可以写成两个连续偶数的平方差 ，这两个连续偶数为42与44，理由如下：
令4(2n+1)=172，
解得 ，
∴2n=2×21=42，2n+2=42+2=44，
∵442-422=172，∴这两个偶数分别为42和44.
（1）根据题干给定的例子可得第n个等式为：（2n+2）2-（2n）2=4(2n+1)（n为非零自然数），进而将等式的左边再根据平方差公式分解因式，再化简即可证明；
（2）令（1）所得等式的右边部分=172，建立方程求出n的值，即可解决此题.
24．（1）解：
.
（2）解：，
.
（1）根据定义的新运算可得3※4=2×3-4，然后根据有理数的乘法、减法法则进行计算；
（2）根据定义的新运算可得2※2a=2×22a=4-2a，则(2※2a)※(-3a)=2×(4-2a)-(-3a)，化简即可.
25．（1）10
（2）解：∵
∴.
（3）10
解：（1）∵，
∵
∴ab=，
故答案为：10；
（3）设
∵，
∴阴影部分面积为：
故答案为：10.
（1）根据，把代入计算即可求解；
（2）根据即可求解；
（3）设根据，即可得到阴影部分面积为进而即可求解.
26．（1）证明：∵，，
∴；
（2）解：点的横坐标为，点的坐标，
∴，，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
由（）得，
∴即，
解得，
过作于轴，
∵，
∴，，
∴点的坐标为；
（3）解：分别过点、作轴、轴于点、，
把代入得，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
由得要使与相似，有或，
当时，，
∴，
解得，
∴，，
∴点的坐标为；
当时，，此时点、重合，
∴，
综上点的坐标为或时，与相似．
（1）根据相似三角形的判定（AA）即可求解；
（2）先根据反比例函数图象上的点的坐标特征求出AB，进而根据正切函数结合勾股定理得到，，即，根据相似三角形的性质得到即，从而得到OP，过作于轴，根据题意解直角三角形求出PM和OM，从而即可得到点P的坐标；
（3）分别过点、作轴、轴于点、，先求出点A的坐标，进而根据勾股定理结合正切函数得到，，即，再根据相似三角形的判定与性质分类讨论：当时，当时，从而解直角三角形求出PQ和OQ，进而即可得到点的坐标。
27．（1）；
（2）
（3）
28．（1）解：
．
当，时，原式．
（2）解：
．
又因为，所以，．
（1）根据规定先列式再整理，最后将a、b值代入计算即可；
（2）根据规定，可得，据此即可求解.
29．（1）
（2）解：
=
=
∵，
∴，
∴，
把代入上式得：
（3）解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
解：（1）∵，
故答案为：；
（1）根据完全平方公式可得答案；
（2）先对原式进行化简，利用配方法将 变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b，将a、b的之代入化简结果计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b、c，即可判断的形状。
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