专题4.1 因式分解 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题4.1 因式分解 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列从左到右的变形．属于因式分解且正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．下列各式中从左到右的变形，是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
3．将下列多项式分解因式，结果中不含有因式（x+2）的是（　　）
A．x2+2x B．x2﹣4
C．（x﹣2）2+8（x﹣2）+16 D．x3+3x2﹣4x
4．下列各式从左到右的变形中，因式分解正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
5．如图，要用木板为一幅正方形油画装裱边框，其中油画的边长为，边框每条边的宽度为，则制作边框的面积是（　　）（不计接缝）
A． B． C． D．
6．下列因式分解正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．若实数 满足条件 ，则 中（　　）
A．必有两个数相等 B．必有两个数互为相反的数
C．必有两个数互为倒数 D．每两个数都不等
8．将下列多项式分解因式， 结果中不含因式 的是（　　）
A． B．
C． D．
9．已知均为正整数，且满足下列说法：
①；
②是完全平方数；
③对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数；其中正确的个数是（　　）
A． B． C． D．
10．已知关于的整式，其中，，，，为整数，且，下列说法：①的项数不可能小于等于3；②若，则不可能分解为一个整式的平方；③若，且，，，，均为正整数，则满足条件的共有4个．其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（每题4分， 共24分）
11．在实数范围内分解因式：　 　．
12．若实数，满足方程组，则　 　．
13．因式分解：　 　．
14．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第7个智慧优数是　 　．
15．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．
（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片　 　张，丙纸片　 　张．
（2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为　 　，宽为　 　．
16．若一个四位正整数的各个数位上的数字不同，且各个数位上的数字之和为完全平方数，则称这个四位数为“和方数”，那么最大的“和方数”为 　 　；将一个“和方数”M的前两位数字组成的两位数记为s，后两位数字组成的两位数记为t，规定，，若都是整数，则满足条件的M的最大值为 　 　．
三、计算题
17．因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
四、解答题（共4题，共26分）
18．如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．
观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．
说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：
（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．
于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．
尝试运用：例题：把多项式因式分解．
请利用上述方法将下列多项式因式分解：
（1）；
（2）．
19．分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
20．已知.
（1）填空：a　 　a2；（填“＞”“＜”或“＝”号）
（2）比较与的大小，并说明理由.
21．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程．
解：设，
原式（第一步），
（第二步），
（第三步），
（第四步），
（1）该同学第二步到第三步运用　 　进行因式分解；
（2）该同学是否完成了将该多项式因式分解？若没有完成，请直接写出因式分解的最后结果．
（3）请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解．
五、实践探究题（共3题个，共34分）
22．数学教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等．
例如：分解因式；例如求代数式的最小值．可知当时，有最小值，最小值是，根据阅读材料用配方法解决下列问题：
（1）分解因式：　 　．
（2）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
（3）当a，b为何值时，多项式有最小值，并求出这个最小值．
23．阅读材料：把形的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题：
（1）填空：　 　．
（2）先化简，再求值：，其中满足．
（3）若分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由．
24．阅读理解并解答：
我们把多项式，的做完全平方式，在运用完全平方公式进行因式分解时，关键是判断这个多项式是不是一个完全平方式．同样地，把一个多项式进行部分因式分解可以来解决求代数式值的最大（或最小）值问题．
（1）例如：①，
是非负数，即，，
则这个代数的最小值是2，这时相应的x的值是；
②，
是非负数，即，，
则这个代数式的最小值是　 　，这时相应的x的值是　 　；
（2）知识再现：当　 　时，代数式的最小值是　 　；
（3）知识运用：若，当　 　时，y有最　 　值（填“大”或“小”），这个值是　 　；
（4）知识拓展：若，求的最小值．
答案解析部分
1．D
2．A
解：A、该式子符合因式分解的定义，则本项正确，符合题意，
B：该等式右边不是几个整式的积的形式，则本项错误，不符合题意，
C：该等式右边不是几个整式的积的形式，则本项错误，不符合题意，
D：该等式右边不是几个整式的积的形式，则本项错误，不符合题意，
故答案为：A.
根据因式分解的定义：把一个多项式在一个范围化为几个整式的积的形式，据此逐项分析即可求解.
3．D
4．A
5．A
6．B
7．B
解： ，所以必有两个数互为相反数。
故答案为：选B
此题首先去分母并整理使方程右边为0，然后将方程的左边分解因式，得出（a+b）（a+c）（b+c）=0，再根据有理数的乘法，几个数相乘等于0，至少有一个为0即可得出结果。
8．B
解：A、x2-1=x2-12=（x+1）（x-1），；
B、x2+2x+1=x2+2x+12=（x+1）2；
C、x2-2x+1=x2-2x+12=（x-1）2 ；
D、x（x-2）-（x-2）=（x-2）（x-1）.
所以分解因式中，不含因式x-1的是：B项.
故正确答案选：B.
A项利用平方差公式因式分解；B、C项利用完全平方公式因式分解；D项利用提公因式法因式分解.
9．C
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵均为正整数，
∴，
∴，
∴，故①错误；
∵，均为正整数，
∴是完全平方数，故②正确；
由①得，对于任意正整数，存在满足上述方程的一组正整数，故③正确；
故答案为：C
先将原方程利用提公因式法、公式法进行因式分解得，由题意可知，从而得，进而有x=y，接下来逐项进行分析：①x=y，判断该选项正确；②x、y是正整数，且x=y，判断该选项正确；③由x=y，判断出该选项正确.
10．C
11．
12．
13．
14．24
15．；；；
16．9871；6120
17．（1）解：原式；
（2）解：原式；
（3）解：原式
；
（4）解：原式
.
（1）直接利用提取公因式法分解即可；
（2）利用十字相乘法分解即可；
（3）利用分组分解法，将后三项利用完全平方公式分解因式，进而利用平方差公式进行分解即可；
（4）先利用提取公因式法分解因式，再连续两次利用平方差公式进行分解即可.
18．观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2）
19．（1）解：ab-2b
=b（a-2）.
（2）解：5x2y-10xy2
=5xy（x-y）.
（3）解：16a4-b2（8a2-b2）
=16a4-8a2b2-b4
=（4a2-b2）2
=(2a+b)2(2a-b)2.
（4）解：9a2（x-y）+4b2（y-x）
=9a2（x-y）-4b2（x-y）
=（x-y）（9a2-4b2）
=（x-y）（3a-2b）（3a+2b）.
（1）根据提公因式法因式分解即可求解；
（2）根据提公因式法因式分解即可求解；
（3）先根据单项式乘以多项式法则展开括号，再根据完全平方公式分解，进而再利用平方差公式进行第二次分解即可；
（4）先利用提公因式法分解，再利用平方差公式进行第二次分解即可.
20．（1）＞
（2）解：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
解：（1）∵0∴a>a2.
故答案为：>.
（1）根据a的范围进行比较即可；
（2）an-an+1=an(1-a) ，结合a的范围可得1-a>0，据此进行比较.
21．（1）完全平方公式
（2）否；
（3）解：设，
则原式
(1)从第三步的结果可得出结论；
(2)观察最后结果中的x2-4x+4是否还能因式分解，得出结论；
(3)设x2 2x=y，然后因式分解，化简后再代入，再因式分解。
22．（1）（m+1）（m-5）
（2）解：a2+b2-4a+6b+18
=(a2-4a+4)+(b2+6b+9)+5
=(a-2)2+(b+3)2+5，
∴当a=2，b=-3时，a2+b2-4a+6b+28有最小值为5；
（3）解：a2-2ab+2b2-2a-4b+30
=a2+(-2ab-2a)+(b2+2b+1)+(b2-6b+9)+20
=a2-2a(b+1)+(b+1)2+(b-3)2+20
=(a-b-1)2+(b-3)2+20，
当a=4，b=3时，原式取最小值20．
∴当a=4，b=3时，多项式a2-2ab+2b2-2a-4b+28有最小值20．
解：（1）
故答案为：（m+1）（m-5）.
（1）根据阅读材料中因式分解的方法，先利用完全平方公式将变形为，再利用平方差公式进行因式分解即可；
（2）先利用配方法将多项式变形为(a-2)2+(b+3)2+5，再根据非负数的性质求解即可；
（3）先利用配方法将多项式变形为 (a-b-1)2+(b-3)2+20， 再根据非负数的性质求解即可.
23．（1）
（2）解：
=
=
∵，
∴，
∴，
把代入上式得：
（3）解：△ABC为等边三角形，理由如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴△ABC为等边三角形．
解：（1）∵，
故答案为：；
（1）根据完全平方公式可得答案；
（2）先对原式进行化简，利用配方法将 变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b，将a、b的之代入化简结果计算即可；
（3）利用配方法将原式变形为 ， 根据非负数之和为0的性质求出a、b、c，即可判断的形状。
24．（1）；2
（2）3；3
（3）1；大；
（4）解：∵-x2+3x+y+5=0，
∴y=x2-3x-5，
∴y+x=x2-3x-5+x=(x-1)2-6，
∵（x-1）2是非负数，即（x-1）2≥0，
∴(x-1)2-6≥-6，
即：y+x的最小值为-6.
解：（1）∵（x-2）2是非负数，即（x-2）2≥0，
∴3（x-2）2-7≥-7，
则这个代数式的最小值是-7；这时相应的x的值是2；
故答案为：-7；2；
（2）x2-6x+12=(x-3)2+3，
∵（x-3）2是非负数，即（x-3）2≥0，
∴（x-3）2+3≥3，
∴当x=3时，代数式x2-6x+12的最小值是3；
故答案为：3；3；
（3）∵y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2，（x-1）2是非负数，即（x-1）2≥0，
∴-（x-1）2≤0，
∴-(x-1)2-2≤-2，
∴当x=1时，y有最大值，这个值是-2；
故答案为：1；大；-2；
（1）根据阅读理解中的解答过程计算即可求解；
（2）根据x2-6x+12=(x-3)2+3即可求解；
（3）根据y=-x2+2x-3=-(x-1)2-2即可求解；
（4）由题意得：y=x2-3x-5，则y+x=x2-3x-5+x=(x-1)2-6，于是y+x的最小值可求解.
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