专题5.1 分式 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）
文档属性
| 名称 | 专题5.1 分式 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 1.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 浙教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-14 04:54:43 | ||
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文档简介
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专题5.1 分式 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法正确的是( )
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为0
B．当时，有意义
C．无论为何值，不可能是整数
D．无论为何值，的值总为正数
3．使等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． D． 且
4．下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在下列各式：①a-b＝b-a；②（a-b）2＝（b-a）2；③（a-b）2＝-（b-a）2；④（a-b）3＝（b-a）3； ⑤（a+b）（a-b）＝（-a-b）（-a+b）中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
7．若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（ ）
A．+ B．+或÷ C．-或÷ D．+或×
8．已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
9．若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题：
若整数满足，整数满足，则；
若，则符合题意的整数的值之和；
整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（ ）
A．t B．－t C． D．
二、填空题（每题4分， 共24分）
11．若分式有意义，则应满足 ．
12．如果分式的值为0，则a的值是 ．
13． 化简：＝ ．
14．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被遮住的的值是 .
先化简，再求值：其中★.解：原式
15．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据米用科学记数法表示为 米．
16． 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
20．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”.如与，因为，，所以是的“关联分式”.
（1）已知分式，则 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”.
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数，的值.
22．用代数推理的方法证明下列两个结论：
（1）设是一个四位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．
（2）已知函数求证：当时，随的增大而增大．
23．阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数= ．
24．阅读材料：若，求m、n的值.
解：，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
答案解析部分
1．C
解：对 于A，=0，则，解得x=-2，故A错误，不符合题意；
对于B，分式成立的条件为，即，故B错误，不符合题意；
对于C，分式分子分母同乘30得：，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意；
故选：C.
根据分式值为0计算排除A，分式的基本性质排除B，分式化简判断C，D.
2．D
解：A、当时，分式无意义，A不符合题意；
B、当x=0时，分式无意义，B不符合题意；
C、当x=0时，分式为整数，C不符合题意；
D、无论为何值，的值总为正数，D符合题意；
故答案为：D
根据分式有意义的条件、分式的值结合题意对选项逐一分析即可求解。
3．C
解：等式，从左到右的变形是对分式进行了约分，也就是分子、分母同除以x，这样做的前提是.
故答案为：C.
根据“分式分母不为0”、“分子分母约分x不能等于0”求解.
4．B
5．B
解：①a-b＝-（b-a），不符合题意；
②（a-b）2＝（b-a）2，符合题意；
③（a-b）2＝（b-a）2，不符合题意；
④（a-b）3＝-（b-a）3，不符合题意；
⑤（a+b）（a-b）＝（-a-b）（-a+b），符合题意.
故答案为：B．
a-b与b-a互为相反数，不一定相等，据此可判断①；互为相反数的两个数的偶数次幂相等，据此可判断②③；互为相反数的两个数的奇数次幂互为相反数，据此可判断④；根据有理数的乘法法则，两个因式的积等于这两个因式的相反数的积，据此可判断⑤.
6．C
解： = = ．
故选C．
分式 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
7．C
8．B
9．C
10．B
11．
12．-1
解：∵分式的值为0，
∴，
∴
故答案为：-1.
根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，据此得到方程组：，解此方程组即可求解.
13．
解：
故答案为：-1.
根据异分母分式的加法法则计算即可.
14．
解：，
由题意可得，解得，
经检验，是分式方程的解，
即，
故答案为：.
根据分式的运算，进行化简，再根据题意，求得x的值，即可.
15．
解：=，
故答案为：.
利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
16．2024
解：，
，
，
，
∴．
故答案为：2024
根据异分母分式加法法则分别求出、、 、的值，根据计算结果找到规律，根据规律求解即可。
17．；
18．，．
19．（1）①
（2）否；去括号时，字母y的符号没有变号
（3）解：
．
（1）小明的计算步骤中，从第①步开始出现错误，题目中有减法和除法，应该先算除法，再算减法，而小明先算的减法，所以出现错误了；
故答案为：①；
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算不正确，错误的原因是去括号时字母y的符号没有变号；
故答案为：否；去括号时字母y的符号没有变号；
（1）第①步就错了，运算顺序错了，应该先算除法，再算减法；
（2）运算不正确，第一个分式的分子化简出错了，去括号时没有变号；
（3）先把第三项分子分母因式分解，然后把除法转化为乘法并进行约分，最后再通分，需要注意的是减去一个多项式需要加括号，并且去括号一定要变号.
20．（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
21．（1）是
（2）解：设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
（3）①；②由题意，可得，
整理得
解得.
（1）解：∵-=，×=
∴是的“关联分式”
故答案为：是；
（3）解：①设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
故答案为：；
（1）通分计算出两个分式的和，根据分式乘法法则算出两个分式的积，进而根据“关联分式”的定义判断即可；
（2）根据“关联分式”的定义列出方程，再解方程即可；
（3）①通过观察发现：一个分式的关联分式的分子等于原分式的分子，分母等于原分式的分子与分母的和，据此即可得出答案；②根据①发现的规律可得 ，求解即可.
22．（1）证明：
，
若可以被整除，显然这个数可以被整除．
（2）解：设，
，
当时，，
，
，
当时，随的增大而增大．
（1）由四位数的表示方法可得：=1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，结合已知可得证；
（2）由题意设y1=x12，y2=x22，将两式求差并分解因式并结合已知可得：y1＞y2，于是结论可得证.
23．（1）
（2）16、4、2、-10
解：（1） 由分母x－1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
故答案为：
（2） ，
∴
∴
∴.
当的值为整数时，的值也是整数，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
从而x=16、4、2、-10.
故答案为：16、4、2、-10.
（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可.
（2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值.
24．（1）2（2）6（3）7
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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专题5.1 分式 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．下列说法正确的是( )
A．分式的值为零，则的值为±2
B．根据分式的基本性质，等式
C．把分式的分子与分母的各项系数都化为整数的结果为
D．分式是最简分式
2．下列关于分式的判断，正确的是（ ）
A．当时，的值为0
B．当时，有意义
C．无论为何值，不可能是整数
D．无论为何值，的值总为正数
3．使等式 成立的条件是（ ）
A． B． C． D． 且
4．下列命题：①关于某条直线对称的两个图形，对称点所连线段被对称轴垂直平分；②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；③已知，，那么；④如果把分式中的、都扩大2倍，那么分式的值也扩大2倍．正确的有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在下列各式：①a-b＝b-a；②（a-b）2＝（b-a）2；③（a-b）2＝-（b-a）2；④（a-b）3＝（b-a）3； ⑤（a+b）（a-b）＝（-a-b）（-a+b）中，正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．分式 的分母经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分子应变为（ ）
A．6a（a﹣b）2（a+b） B．2（a﹣b）
C．6a（a﹣b） D．6a（a+b）
7．若分式运算的结果为x，则在□中添加的运算符号为（ ）
A．+ B．+或÷ C．-或÷ D．+或×
8．已知a、b是一元二次方程的根，则代数式的值是（ ）
A．3 B．1 C． D．
9．若除以非零整数，商为整数，且余数为零，我们就说能被整除（或说能整除），记为，如：在中，能被整除，∵，所以；类似的；等等．根据以上知识回答下列问题：
若整数满足，整数满足，则；
若，则符合题意的整数的值之和；
整数满足的的值为任意整数．以上结论中正确的有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．已知，，，…，（n为正整数，且，1），则用含t的式子的结果为（ ）
A．t B．－t C． D．
二、填空题（每题4分， 共24分）
11．若分式有意义，则应满足 ．
12．如果分式的值为0，则a的值是 ．
13． 化简：＝ ．
14．如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被遮住的的值是 .
先化简，再求值：其中★.解：原式
15．石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅有米，将数据米用科学记数法表示为 米．
16． 人们把这个数叫做黄金分割数，著名数学家华罗庚优选法中的法就应用了黄金分割数．设，，则，记，，，…，则 ．
三、解答题（共8题，共66分）
17．先化简，再求值：，其中．
18．先化简，再求值：，其中，．
19．阅读以下内容，完成问题．
解：①②③④
（1）小明的计算步骤中，从哪一步开始出现错误？ （填写序号）
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算是否正确？ （填“是”或“否”）若不正确，错误的原因是 ．
（3）请你帮小明写出此题完整正确的解答过程．
20．有个如图的边长分别为，的小长方形，拼成如图的大长方形．
（1）观察图，请你写出，满足的等量关系（用含的代数式表示）；
（2）将这个图的小长方形放入一个大长方形中，摆放方式如图所示（小长方形都呈水平或竖直摆放），图中的阴影部分分别记为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ．
记阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为，，试求的值；
若阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为，求，的值．
21．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式的“关联分式”.如与，因为，，所以是的“关联分式”.
（1）已知分式，则 的“关联分式”（填“是”或“不是”）；
（2）小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法：
设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”.
（3）①观察（1）（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”： ▲ ；
②用发现的规律解决问题：
若是的“关联分式”，求实数，的值.
22．用代数推理的方法证明下列两个结论：
（1）设是一个四位数，若可以被整除，则这个数可以被整除．
（2）已知函数求证：当时，随的增大而增大．
23．阅读下列 材料，并解答总题：
材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．
解：由分母x+1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为 ；
（2）已知整数使分式的值为整数，则满足条件的整数= ．
24．阅读材料：若，求m、n的值.
解：，
，
，
.
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知，求的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求边c的最大值.
（3）若已知，求的值.
答案解析部分
1．C
解：对 于A，=0，则，解得x=-2，故A错误，不符合题意；
对于B，分式成立的条件为，即，故B错误，不符合题意；
对于C，分式分子分母同乘30得：，故C正确，符合题意；
对于D，，故D错误，不符合题意；
故选：C.
根据分式值为0计算排除A，分式的基本性质排除B，分式化简判断C，D.
2．D
解：A、当时，分式无意义，A不符合题意；
B、当x=0时，分式无意义，B不符合题意；
C、当x=0时，分式为整数，C不符合题意；
D、无论为何值，的值总为正数，D符合题意；
故答案为：D
根据分式有意义的条件、分式的值结合题意对选项逐一分析即可求解。
3．C
解：等式，从左到右的变形是对分式进行了约分，也就是分子、分母同除以x，这样做的前提是.
故答案为：C.
根据“分式分母不为0”、“分子分母约分x不能等于0”求解.
4．B
5．B
解：①a-b＝-（b-a），不符合题意；
②（a-b）2＝（b-a）2，符合题意；
③（a-b）2＝（b-a）2，不符合题意；
④（a-b）3＝-（b-a）3，不符合题意；
⑤（a+b）（a-b）＝（-a-b）（-a+b），符合题意.
故答案为：B．
a-b与b-a互为相反数，不一定相等，据此可判断①；互为相反数的两个数的偶数次幂相等，据此可判断②③；互为相反数的两个数的奇数次幂互为相反数，据此可判断④；根据有理数的乘法法则，两个因式的积等于这两个因式的相反数的积，据此可判断⑤.
6．C
解： = = ．
故选C．
分式 的分母a2﹣b2=（a﹣b）（a+b），经过通分后变成2（a﹣b）2（a+b），那么分母乘以了2（a﹣b），根据分式的基本性质，将分子3a乘以2（a﹣b），计算即可得解．
7．C
8．B
9．C
10．B
11．
12．-1
解：∵分式的值为0，
∴，
∴
故答案为：-1.
根据分式值为0的条件：分子为0，分母不为0，据此得到方程组：，解此方程组即可求解.
13．
解：
故答案为：-1.
根据异分母分式的加法法则计算即可.
14．
解：，
由题意可得，解得，
经检验，是分式方程的解，
即，
故答案为：.
根据分式的运算，进行化简，再根据题意，求得x的值，即可.
15．
解：=，
故答案为：.
利用科学记数法的定义：把一个数写成a×10n的形式（其中1≤a＜10，n为整数），这种记数法称为科学记数法，其方法如下：①确定a，a是只有一位整数的数，②确定n，当原数的绝对值≥10时，n为正整数，n等于原数的整数位数减1；当原数的绝对值＜1，n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位上的0），再分析求解即可.
16．2024
解：，
，
，
，
∴．
故答案为：2024
根据异分母分式加法法则分别求出、、 、的值，根据计算结果找到规律，根据规律求解即可。
17．；
18．，．
19．（1）①
（2）否；去括号时，字母y的符号没有变号
（3）解：
．
（1）小明的计算步骤中，从第①步开始出现错误，题目中有减法和除法，应该先算除法，再算减法，而小明先算的减法，所以出现错误了；
故答案为：①；
（2）小明从第①步的运算结果到第②步的运算不正确，错误的原因是去括号时字母y的符号没有变号；
故答案为：否；去括号时字母y的符号没有变号；
（1）第①步就错了，运算顺序错了，应该先算除法，再算减法；
（2）运算不正确，第一个分式的分子化简出错了，去括号时没有变号；
（3）先把第三项分子分母因式分解，然后把除法转化为乘法并进行约分，最后再通分，需要注意的是减去一个多项式需要加括号，并且去括号一定要变号.
20．（1）解：由题可知：，
（2）解：①阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长分别为：，
，
；
②阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，
将代入得：，
，即舍去，
．
（1）观察图2，利用矩形的长线段，可得到关于a，b的方程，然后解方程求出b.
（2）①利用图形分别表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ的周长，再求出两个阴影部分的周长比，化简即可；②利用图形可表示出阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和，再将b代入，根据阴影部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的面积之和为86，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，再求出b的值即可.
21．（1）是
（2）解：设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
（3）①；②由题意，可得，
整理得
解得.
（1）解：∵-=，×=
∴是的“关联分式”
故答案为：是；
（3）解：①设的“关联分式”为，则，
∴，
∴.
故答案为：；
（1）通分计算出两个分式的和，根据分式乘法法则算出两个分式的积，进而根据“关联分式”的定义判断即可；
（2）根据“关联分式”的定义列出方程，再解方程即可；
（3）①通过观察发现：一个分式的关联分式的分子等于原分式的分子，分母等于原分式的分子与分母的和，据此即可得出答案；②根据①发现的规律可得 ，求解即可.
22．（1）证明：
，
若可以被整除，显然这个数可以被整除．
（2）解：设，
，
当时，，
，
，
当时，随的增大而增大．
（1）由四位数的表示方法可得：=1000a+100b+10c+d=3(333a+33b+3c)+(a+b+c+d)，结合已知可得证；
（2）由题意设y1=x12，y2=x22，将两式求差并分解因式并结合已知可得：y1＞y2，于是结论可得证.
23．（1）
（2）16、4、2、-10
解：（1） 由分母x－1，可设
则
=
∵对于任意上述等式成立
∴，
解得，
∴
这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式．
故答案为：
（2） ，
∴
∴
∴.
当的值为整数时，的值也是整数，
所以x-3的值可以取13，1，-1，-13，
从而x=16、4、2、-10.
故答案为：16、4、2、-10.
（1）按照给的例题步骤设，求出a和b的值，然后计算化简即可.
（2）按照例题的步骤设，求出a和b的值，然后代入得拆分后的形式，根据题意，当的值为整数时，分母只能取13，1，-1，-13，从而可得对应的x的取值.
24．（1）2（2）6（3）7
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