专题6.1 二次根式 夯实基础— 2024-2025学年中考数学（浙教版）一轮复习专练（含答案）

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专题6.1 二次根式 夯实基础
一、选择题（每题3分，共30分）
1．若是二次根式，则a的值可以是（　　）
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3
2．要使式子有意义，则x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
3．已知△ABC的三边分别是a，b，c，且满足|a-2|++（c-4）2=0，则以a，b，c为边可构成（　　）
A．以c为斜边的直角三角形
B．以a为斜边的直角三角形
C．以b为斜边的直角三角形
D．有一个内角为的直角三角形
4．下列计算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列二次根式中是最简二次根式的是（　　）
A． B． C． D．
6．下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
7．下列说法中正确的是（　　）
A． 化简后的结果是 B．9的平方根为3
C． 是最简二次根式 D．﹣27没有立方根
8．已知两个二次根式：，将这两个二次根式进行如下操作：
第一次操作：将与的和记为，差记为；
第二次操作：将与的和记为，差记为；
第三次操作：将与的和记为，差记为；以此类推．
下列说法：①当时，；②；
③（为自然数）．
其中正确的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．定义运算，下面给出了关于这种运算的几个结论：
①；②是无理数；③方程不是二元一次方程；其中正确的是（　　）
A．①② B．②③ C．③ D．①③
10．如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．在函数中，自变量的取值范围是　 　．
12．计算：　 　
13．计算：　 　．
14．当时，化简的结果是　 　．
15．已知直角三角形两直角边长为和，则面积为　 　．
16．若，则的值为　 　．
三、计算题（共4题，共24分）
17．某校有一块形状为正方形的绿地，边长为米，现在要在正方形绿地内修建四个大小、形状相同的矩形花坛，每个花坛的长为米，宽为米，除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为8元/平方米的地砖，如果要铺完整个通道，那么购买地砖需要花费多少元？（参考数据：）
18．计算：
（1）
（2）
19．已知，
（1）求的值．
（2）若的小数部分为，的整数部分为，求的平方根．
20．已知，，满足
（1）求，，的值；
（2）以，，为边能否构成直角三角形？请说明理由．
四、解答题（共5题，共48分）
21．某居民小区有一块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为（即图中阴影部分），长方形花坛的长为，宽为，
（1）长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）除去修建花坛的地方．其他地方全修建成通道，通道上要铺上造价为50元每平方米的地砖，若铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
22．已知，求：
（1） 的值；
（2） 的值．
23．阅读材料：
在解决问题“已知，求的值”时，小红是这样分析与解答的：
，
，即．
．请你根据小红的分析过程，解决如下问题：
（1）化简：
（2）若，求的值．
24． 【阅读材料】
我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果：
当时，，
∴当且仅当即时，取得最小值，最小值为2．
【模仿探究】
请利用以上结果解决下面的问题：
（1）当时，求的最小值，并求出此时a的值；
（2）当时，求的最小值，并求出此时a的值；
（3）【应用意识】
如图，某学校为开展劳动课，需要在直角墙角处修建形如的蔬果园，要求蔬果园的面积为20平方米，斜边需要用栅栏围上，求栅栏的最小值．
25．已知，．且点C在x轴的正半轴上，三角形ABC的面积为18
（1）求a，b的值；
（2）求出点C的坐标；
（3）过点C作平行于y轴的直线，在该直线上是否存在一点D，使三角形的面积是三角形面积的，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由
答案解析部分
1．A
解：∵是二次根式，
∴a≥0，
∴a的值可以是0.
故答案为：A.
根据二次根式的定义得被开方数a≥0，然后逐项判断即可.
2．C
解：由题意得，，
解得：．
故答案为：C
本题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件.根据分式有意义：分母不为0；二次根式有意义：被开方数是非负数．据此可列出不等式，解不等式可求出x的取值范围；
3．B
4．D
5．C
6．A
7．A
解：A、 = ，故正确．
B、9的平方根为±3，故错误．
C、 =2 ， 不是最简二次根式，故错误．
D、﹣27的立方根为﹣3，故错误．
故选A．
根据平方根、立方根的定义、最简二次根式的定义、二次根式的化简法则一一判断即可．本题考查二次根式的化简、最简二次根式的定义、平方根、立方根的定义等知识，解题的关键是灵活一一这些知识解决问题．属于中考常考题型．
8．D
解：①当时，，，
，，
，，
，，
…
按照此规律：，，，，
∴，故①正确；
②，，
，，
，，
，，
…
按照此规律可得：，，，，
∴，故②正确；
③根据以上规律可知，，，
∴
，故③正确．
综上分析可知，正确的有3个，故D正确．
故答案为：D．
本题考查二次根式的混合运算．①根据题意得出，，，，然后相加即可；②根据题意得出一般规律：，，，，根据规律代入公式可求出；③根据②的规律，利用二次根式混合运算法则，可求出．
9．D
解：①∵，∴①正确；
②∵是有理数，∴②不正确；
③∵不是二元一次方程，∴③正确；
综上，正确的结论是①③，
故答案为：D.
根据题干中的定义及计算方法逐项判断即可.
10．C
11．，且．
12．
13．
14．
15．5
16．－1
解：∵，
∴，，
解得：，，
则．
故答案为：-1.
根据非负性得，，解得：，，再计算求解即可.
17．465.6元
18．（1）
（2）
19．（1）20；
（2）．
20．（1）解：∵，
∴， ，=0，
∴，，；
（2）解：以，，为边不能构成直角三角形．
理由如下：
∵，，，
∴较小的两边之和为：，
∴，
∴根据勾股定理的逆定理，这个三角形不是直角三角形．
（1）根据非负数的性质即可得出a、b、c的值；
（2）根据勾股定理的逆定理进行计算，然后判断即可.
21．（1）解：长方形的周长，
答：长方形的周长是；
（2）解：购买地砖需要花费
（元）
答：购买地砖需要花费6600元．
）（1）已知长方形ABCD的长和宽，对二次根式进行化简，然后求出周长即可；
（2）首先计算出长方形花坛的面积，然后用长方形花坛的面积减去长方形绿地的面积再乘以 50元每平方米 即可求出答案.
22．（1）解： ， ，
， ，
则
；
（2）解：
（1）先求出ab、a-b的值，将原式变形为ab（a-b），然后整体代入计算即可；
（2）由 ，然后整体代入计算即可.
23．（1）解：；
（2）解：，
∴，
∴，
即，
，
（1）利用平方差公式将分式分母有理化；
（2）先将分式分母有理化得，然后参照所给解答方式可得，根据，整体代入即可求出答案.
24．（1）解：当a＞0时，
≥4.∴当且仅当时，即a＝2时，取得最小值，最小值为4
（2）解：当a＞0时，
≥9
∴当且仅当时，即a＝1时，取得最小值，最小值为9.
（3）解：设BC为x米，则AC为，AB为
≥80
∴当且仅当时，即时，取得最小值，最小值为80.
∴AB的最小值为．
（1）利用阅读材料的方法，将式子配方后求出最小值，并求出此时a的值；
（2）依照（1）的做法，将式子配方后求出最小值，并求出此时a的值；
（3）设BC为x米，用x分别表示出AC，AB，再配方后求出最小值.
25．（1）解：∵，
∴，
∴，．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵点C在x轴的正半轴上，
∴三角形ABC的面积，
∴，
∴；
（3）解：∵，轴，
∴设，
∵三角形的面积是三角形面积的，
∴三角形的面积，
∴，
∴，
∴或．
（1）根据绝对值及二次根式的非负性可求出a、b的值；
（2）由（1）可知，可得，由三角形ABC的面积，求出， 即得点C的坐标；
（3） 由轴， 可设 ， 根据三角形的面积是三角形面积的，建立方程，从而求出y值，即得结论.
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