(共37张PPT)
第2讲 三角恒等变换与解三角形
专题二
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式
sin(α±β)=sin αcos β±cos αsin β;
cos(α±β)=cos αcos β sin αsin β;
温馨提示注意公式的逆用与变形用,
例如:tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
2.二倍角公式
sin 2α=2sin αcos α,cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α,
3.辅助角公式
余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,则a2=b2+c2-2bccos A;
4.正弦定理
5.三角形中的射影定理
bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.
6.三角形面积公式
关键能力 学案突破
突破点一
三角恒等变换及其应用
C
B
名师点析利用三角恒等变换解决求值问题的关键
(1)分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角表示未知角.
(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示.
(3)求解三角函数给值求角的问题时,要根据已知条件求出这个角的某种三角函数值,然后结合角的取值范围,求出角的大小,求解时,尽量缩小角的范围,避免产生增解.
对点练1
C
A
A.tan(α+β)=-1 B.tan(α+β)=1
C.tan(α-β)=-1 D.tan(α-β)=1
C
突破点二
正弦定理、余弦定理及其简单应用
AD
[例2-2] 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为 ,B=60°, a2+c2=3ac,则b= .
规律总结三角形中边角互化的基本原则
(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”.
(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”.
(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”.
(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解.
(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.
对点练2
A
(2)(2024·浙江宁波高三统考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且sin(A-B)=sin B+sin C,若a=2,BC边上的中线AD= ,则△ABC的面积是 .
突破点三
解三角形的实际应用
[例3-1]2020年12月8日,中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8 848.86(单位:m).三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.三角高程测量法的一个示意图如图所示.现有A,B,C三点,且A,B,C在同一水平面上的投影A',B',C'满足∠A'C'B'=45°,∠A'B'C'=60°.由C点测得B点的仰角为15°,BB'与CC'的差为100,由B点测得A点的仰角为45°,则A,C两点到水平面A'B'C'的高度差AA'-CC'约为( ≈1.732)( )
A.346 B.373
C.446 D.473
B
[例3-2] 湿地公园是国家湿地保护体系的重要组成部分.如图,某市计划在四边形ABCD区域建一处湿地公园.已知∠DAB=90°, ∠DBA=45°, ∠BAC=30°,∠DBC=60°,AB= 千米,则CD= 千米.
规律总结1.求解三角形实际应用问题的关键
(1)将数据标注在相应平面图形中,准确将问题归类、建立解决问题的数学模型.
(2)解题时尽可能将数据“化归”到三角形中,这样可以根据数据中边与角的类型灵活选用正弦定理或余弦定理求解问题.
2.解三角形实际应用问题的步骤
对点练3
如图,在某建筑物的底部有共线三点A,B,C,分别在点A,B,C处测塔顶的仰角,测量结果分别为30°,45°,60°,且AB=BC= m,则该建筑物的高为 m.
突破点四
三角恒等变换与解三角形的综合应用
B
C
对点练4
(1)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知3bcos C=3a-c,且A=C,则
sin A= .
解析 因为3bcos C=3a-c,由正弦定理可得3sin Bcos C=3sin A-sin C,又A+B+C=π,所以sin A=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,
所以3sin Bcos C=3(sin Bcos C+cos Bsin C)-sin C,
则3cos Bsin C=sin C.
(2)在△ABC中,记角A,B,C所对的边分别是a,b,c,面积为S,则 的最大值为 .
本 课 结 束(共44张PPT)
专项突破二 三角函数与解三角形解答题
专题二
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)的图象
2.确定函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调区间的方法
采用“换元”法整体代换,将“ωx+φ”看作一个整体,令“z=ωx+φ”,即通过求y=Asin z的单调区间而得到原函数的单调区间.
温馨提示若ω<0,可利用诱导公式先将x的系数转变为正数,再求单调区间.
3.求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)最值的方法
(1)若x∈R,则当ωx+φ=2kπ+ (k∈Z)时函数取得最大值A,当ωx+φ=2kπ- (k∈Z)时函数取得最小值-A.
(2)若x∈[a,b],则应首先确定ωx+φ的取值区间,再根据正弦函数的性质求得函数的最值.
误区警示当x∈[a,b]时,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的最值不一定在区间的端点处取得,直接将端点值代入求得最值是错误的.
4.正弦定理、余弦定理及其变形
在△ABC中,已知内角A,B,C的对边分别为a,b,c,R为△ABC外接圆的半径
关键能力 学案突破
考向一
三角函数的图象与性质
命题角度1 三角函数的图象
(1)求函数f(x)的最大值,并求使f(x)取得最大值的x的取值集合;
(2)设函数h(x)=f(x)-g(x),画出h(x)在区间[0,π]上的图象.
描点连线即得函数h(x)在区间[0,π]上的图象如下所示.
名师点析五点作图法注意点
利用五点作图法画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)在一个周期上的图象时,如果不指定具体的区间,则可由ωx+φ=0,2π确定区间的两个端点,画出一个周期上的图象;如果指定了区间,则除了找出位于该区间内的关键点以外,还要把区间的端点也要列在表格中,然后通过描点、连线,得到函数在该区间上的一段图象.
精典对练 得高分
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)已知函数f(x)的图象上的三点M,N,P的横坐标分别为-1,1,5,求sin∠MNP的值.
命题角度2 三角函数的性质
方法技巧求函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间[a,b]上的值域时,应先求出当x∈[a,b]时,ωx+φ的取值范围,然后再结合正弦函数的图象及性质求出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)在区间[a,b]上的值域.
精典对练 得高分
设函数f(x)=sin x+cos x(x∈R).
易错防范 不丢分
易错警示函数y=Asin(ωx+φ)+h(Aω≠0)的单调区间及最值求解易错提醒
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)+h(Aω≠0)的单调区间时,主要利用整体换元思想,但应注意:①当自变量x的系数ω<0时,应先利用诱导公式,将系数化为正数,才能进行求解,否则易导致错解.②在y=Asin(ωx+φ)+h(Aω≠0)中,如果A<0,则原函数的单调区间与函数y=sin(ωx+φ)的单调区间恰好相反,应注意转换.
(2)求函数y=Asin(ωx+φ)+h(Aω≠0)在闭区间[a,b]上的最值时,一方面不能错误地认为y=sin(ωx+φ)的最大值和最小值就是1和-1,也不能认为最值一定在区间端点a,b处取得,而应该依据x∈[a,b]求出ωx+φ的取值区间,然后结合正弦函数的性质来确定函数的最值以及取得最值时自变量的值.
考向二
利用正弦定理、余弦定理解三角形
方法技巧解三角形问题的基本策略
(1)选定理.
①已知两角及一边,求其余的边或角,利用正弦定理.
②已知两边及其一边的对角,求另一边所对的角,利用正弦定理.
③已知两边及其夹角,求第三边,利用余弦定理.
④已知三边求角或角的余弦值,利用余弦定理的推论.
⑤已知两边及其一边的对角,求另一边,利用余弦定理.
(2)巧转化.化边为角后一般要结合三角形的内角和定理与三角恒等变换进行转化;若将条件转化为边之间的关系,则式子一般比较复杂,要注意根据式子结构特征灵活化简.
(3)得结论.利用三角函数公式,结合三角形的有关性质(如大边对大角,三角形的内角取值范围等),并注意利用数形结合求出三角形的边、角或判断出三角形的形状等.
精典对练 得高分
一题多解 练思维
记△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知bsin Asin B=1-cos 2B.
(1)求a;
(2)若A= ,求△ABC的周长l的取值范围.
解 (1)因为bsin Asin B=1-cos 2B,所以bsin Asin B=2sin2B,
又B∈(0,π),sin B≠0,所以bsin A=2sin B,
根据正弦定理可得ba=2b,所以a=2.
所以b+c≤4,当且仅当b=c=2时,等号成立.
又b+c>a=2,所以4方法技巧在已知三角形的一边及其对角的前提下,求该三角形周长或面积的最值通常有两种方法
(1)代数变换法:先利用余弦定理,建立三角形中未知的两条边满足的条件等式,然后利用基本不等式求出两边之和或两边之积的最值,最后结合周长公式或面积公式即得三角形周长或面积的最值.
(2)三角变换法:先利用正弦定理,建立三角形中未知的两条边和两角满足的关系式,并用其中的一个角表示两条边,然后根据周长公式或面积公式建立周长或面积关于该角的函数关系式,最后通过三角恒等变换对函数解析式进行化简,即可求得周长或面积的最值.
考向三
三角函数的实际应用
[例3]如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池ABCD的池底水平铺设污水净化管道(Rt△FHE三条边,H是直角顶点)来处理污水,管道越长,污水净化效果越好.要求管道的接口H是AB的中点,E,F分别落在线段BC,AD上,已知AB=20米,AD=10 米,记∠BHE=θ.
(1)试将污水净化管道的总长度L(即Rt△FHE的周长)
表示为θ的函数,并求出定义域;
(2)问当θ取何值时,污水净化效果最好 并求出此时
管道的总长度.
方法点拨利用三角函数解决实际应用问题的方法步骤
(1)分析理解题意,弄清已知与未知,抽象出一个或几个三角形.
(2)根据已知条件与求解目标,建立三角函数模型.
(3)根据正弦定理、余弦定理以及三角恒等变换等方法解决三角函数问题.
(4)得到原实际问题的解.
精典对练 得高分
如图,在△ABC中,AB⊥AC,AB=AC=2,点E,F是线段BC(含端点)上的动点,且点E在点F的右下方,在运动的过程中,始终保持∠EAF= 不变,设∠EAB=θ.
(1)写出θ的取值范围,并分别求出线段AE,AF关于θ的函数关系式;
(2)求△EAF面积S的最小值.
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第1讲 三角函数的图象与性质
专题二
内容索引
01
02
必备知识 精要梳理
关键能力 学案突破
必备知识 精要梳理
1.“1”的变换
1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan2α).
2.三角函数图象的变换
由函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)图象的步骤
误区警示无论哪种变换,每一个变换总是针对自变量x而言的,即图象变换要看“自变量x”发生多大变化,而不是看角“ωx+φ”的变化.
特别提醒函数y=|Asin(ωx+φ)|(Aω≠0)的最小正周期是y=Asin(ωx+φ)(Aω≠0)最小正周期的一半.
4.三角函数的奇偶性与对称性
(3)对于函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0),当φ=kπ(k∈Z)时为奇函数,没有对称轴,对称中心的横坐标由ωx+φ= (k∈Z)确定.
温馨提示正弦曲线、余弦曲线的对称轴恰好经过相应曲线的最高点或最低点,对称中心的横坐标分别是正弦函数和余弦函数的零点.
函数y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的对称中心不一定是其零点
关键能力 学案突破
突破点一
三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的基本关系式
[例1-1] 已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点P(sin 138°,cos 138°),则tan(α+18°)=( )
D
解析 因为cos 138°<0,sin 138°>0,所以点P在第四象限,即α为第四象限角,
由三角函数的定义,
B
规律方法1.三角函数中常见的三种变换方法
(1)弦切互化法:主要利用公式 进行互化,常见结构:齐次式.
(2)和积转换法:利用(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ进行变形、转化.
(3)巧用“1”的变换:1=sin2θ+cos2θ=cos2θ(1+tan2θ)=
2.应用诱导公式与同角三角函数的关系开方运算时,一定要注意三角函数的符号;利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为底、化繁为简等.
对点练1
A
B
突破点二
三角函数的图象及其应用
命题角度1 已知图象求解析式
[例2-1](多选题)已知函数y=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则sin(ωx+φ)=
( )
BC
方法技巧已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的部分图象求其解析式时,A通过看图比较容易得出,困难的是求ω和φ,常用如下两种方法
(1)由ω= 即可求出ω;确定φ时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0,则令ωx0+φ=0(或ωx0+φ=π),即可求出φ.
(2)代入图象中已知点的坐标,将一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图象解出ω和φ,若对A,ω的符号或对φ的范围有要求,则可用诱导公式变换使其符合要求.
对点练2
命题角度2 图象变换
B
B
规律方法三角函数图象的平移变换问题类型多、情况复杂、技巧性强,在解题时容易出现错误,破解此类题的关键如下
(1)定函数.一定要看准是将哪个函数的图象变换得到哪一个函数的图象.
(2)变同名.变换前后函数的名称要一样.
(3)选方法,即选择变换方法.要注意:对于函数y=sin ωx(ω>0)的图象,向左平移|φ|个单位长度得到的是函数y=sin ω(x+|φ|)的图象,而不是函数y=sin(ωx+|φ|)的图象.
(1)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)的图象向左平移 个单位长度后与f(x)的图象重合,则ω的最小值为( )
A.8 B.4 C.2 D.1
B
对点练3
D
突破点三
三角函数的性质及其应用
命题角度1 正弦型函数的性质
ACD
规律总结研究正弦型函数性质的基本方法
一般地,研究正弦型函数的性质时,首先应将函数解析式进行化简,转化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的形式,然后通过整体代换,结合正弦函数、余弦函数的基本性质进行求解.
(1)求单调区间时,将ωx+φ作为一个整体代入正弦函数或余弦函数的单调递增(减)区间,求出x的范围即为原函数的单调递增(减)区间.
(2)求函数在闭区间上的最值时,应根据x所在的区间求出ωx+φ的取值范围,再结合正弦函数或余弦函数的图象确定函数的最值.
(3)判断对称轴或对称中心时,可根据对称轴一定经过图象的最高点或最低点,对称中心的横坐标一定是函数的零点这一性质进行检验判断.
对点练4
A
命题角度2 非正弦型函数的性质
AD
名师点析回归定义研究三角函数的性质
在研究三角函数性质时,如果函数不能化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)等形式,可借助复合函数的单调性法则或导数研究其单调性或最值,可用周期的定义、轴对称或中心对称的一般条件来判断函数的周期、函数图象的对称轴或对称中心.
对点练5
关于函数f(x)=|cos x|-|sin|x||有下面四个结论:①f(x)是偶函数;② f(x)是周期为π的函数;③ f(x)在区间 内单调递减;④ f(x)的最大值为 .其中正确结论的编号为( )
A.①②③ B.①②④
C.①③④ D.②③④
A
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素养提升微专题(三)
三角函数问题的解题技巧——“变角”“变式”
规律方法
三角函数的求值、化简以及研究函数性质等问题的本质是处理其中的“角”和“式”,其核心技巧也在于处理“角”和“式”之间的关系,通过合理地“变角”“变式”,达到解决问题的目的.
(1)变角:变角的目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角,其手法通常是“配凑”,常常从和角、差角、二倍角、半角、互补、互余等关系入手.
(2)变式:一是通过变换函数名称减少函数种类,其手法通常有“切化弦”“升幂与降幂”等;二是根据式子的结构特征进行变形,使其更贴近某个公式或某个期待的目标,其手法通常有:“常值代换”“逆用变用公式”“通分约分”“分解与组合”“配方与平方”等.
考查角度
角度一 变角
B
A
破题技巧充分利用角的变换解决问题
如β+α=β-α+2α,注意观察已知角,分析未知角,用已知角表示未知角,可以简化计算求解的过程,避免直接套用和角、差角公式而造成解题过程繁杂.
[例1-3]若sin α(1+ tan 10°)=1,则钝角α= .
130°
名师点析本题通过辅助角公式、二倍角公式、诱导公式的运用,将非特殊角不断进行转化,最终化为符合要求的角,体现了变角的重要作用.
角度二 变式
A
方法点拨降幂是三角恒等变换中的常用方法,通过运用降幂公式,不但可以使三角函数式的次数与已知条件相符,同时也可以变换得出已知角,从而使问题得到解决.
破题技巧巧用常值代换解三角函数问题
在解决三角函数问题时,“常值代换”是实现三角恒等变换的一个重要技巧,也是解决问题的突破口,例如
等.通过常值代换,可巧妙地将原式进行转化,从而解决问题.
B
名师点析由于“sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α”这三个式子之间有着密切的联系,可以“知一求二”,因此可以借助它们之间的关系解决求值问题,在此基础上, ,sin 2α,cos 2α等式子也都可以相互转化建立联系.
[例2-4] 已知θ是钝角,则sin θ+cos θ+sin θcos θ的取值范围是 .
答案 (-1,1)
规律方法利用换元法求解三角函数最值问题
如果在一个函数解析式中同时含有sin θ±cos θ,sin θcos θ,则可通过换元方法,设sin θ±cos θ=t,即可将函数化为关于t的函数,从而解决函数的最值或范围问题,但要注意t的取值范围.
对点演练
C
2.已知3cos(2α+β)+5cos β=0,则tan(α+β)tan α=( )
A.±4 B.4
C.-4 D.1
C
解析 由已知得3cos [(α+β)+α]+5cos [(α+β)-α]=0,
因此3cos(α+β)cos α-3sin(α+β)sin α+5cos(α+β)cos α+5sin(α+β)sin α=0,
整理得8cos(α+β)cos α+2sin(α+β)sin α=0,
因此sin(α+β)sin α=-4cos(α+β)cos α,
本 课 结 束
