28.2.2 课时1 仰角和俯角问题 课件(共23张PPT) 2024-2025学年人教版数学九年级下册

(共23张PPT)
28.2.2 应用举例
课时1 仰角和俯角问题
理解仰角和俯角的概念，能在实际情境中准确识别仰角与俯角.
掌握运用三角函数（如正弦、余弦、正切）知识解决与仰角、俯角相关的简单实际问题.学会构建直角三角形数学模型，并利用仰角俯角所对应的三角函数关系求解未知量.
在利用仰角俯角解决测量高度、距离等实际问题过程中，体会从实际情境中获取信息、建立数学模型、求解模型、检验结果并应用于实际的数学建模思想，逐步提升分析问题和解决问题的能力.
1
2
3
重点：能在实际情境中准确识别仰角与俯角，并能够运用三角函数知识解决与仰角、俯角相关的简单实际问题.
难点：准确构建直角三角形数学模型.
　　我们平时观察物体时，视线相对于水平线来说有哪几种情况？
　　三种：重叠、向上和向下．
　　今天我们就来学习与圆和俯角、仰角有关的解直角三角形问题.
圆和解直角三角形的综合运用
例3 2022 年 11月 30 日，“神舟”十五号载人飞船与中国空间站成功实现交会对接.
“神舟”十五号与中国空间站的组合体在离地球表面343 km 的圆形轨道上运行，如图.
知识点 1
当组合体运行到地球表面 P 点的正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点的距离是多少(地球半径约为6400km，π取3.142，结果取整数)？
思考
能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？
P
从组合体中能直接看到的地球表面最远点，应是视线与地球相切时的切点．
思考：在平面图形中，用什么图形可表示地球，用什么图形表示观测点，请根据题中的相关条件画出示意图．
如图，用⊙O 表示 ，点 F 是 的位置，
FQ是⊙O 的 ， Q 为切点，则所求问题为 ．
的长
地球
组合体
切线
　　解：在图中，FQ 是⊙O 的切线，△FOQ 是直角三角形．
　　∵cosα =　　=　　　　　
　　　　 ≈ 0.9491，
　　∴α≈18.36°．　　　　
　　∴　 的长为
PQ
　　　×6400 ≈ 　　　　 　×6400≈2051(km)． 　　　
·
o
c
b
a
“欲穷千里目，更上一层楼”是唐代诗人李白的不朽诗句. 如果我们想在地球上看到距观测点1000里处景色，“更上一层楼”中的楼至少有多高呢？存在这样的楼房吗(设 代表地面，o为地球球心，c是地面上一点， =500km，地球的半径为6370 km，cos4.5°= 0.997)？
基础练习
解：设登到b处，视线bc在c点与地球相切，也就是
看c点，ab就是“楼”的高度，
∴ ab=ob－oa=6389－6370=19(km).
即这层楼至少要高19km，即1900m. 这是不存在的.
·
o
c
b
a
在rt△ocb中，∠o
俯角、仰角的解直角三角形问题
水平线
铅垂线
视点
视线
仰角
俯角
思考 你能概括出仰角、俯角的概念吗？
知识点 2
　　在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．
要点归纳
例4 热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）.
分析：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，因此，α = 30°，β = 60°.
在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，α = 30°，β = 60°，AD = 120，求 BC 长.
解：如图，a = 30°，β = 60°， AD = 120.
∵tan α = ，tan β = ,
BD = AD · tan α = 120 × tan 30° = 120 ×= 40
CD = AD · tan β = 120 × tan 60° = 120 ×= 120
A
B
C
D
α
β
∴BC = BD + CD = 40+ 120
= 160≈ 277 (m)
因此这栋高楼高约 277 m.
1.如图，建筑物 BC 上有一旗杆 AB，从与 BC 相距 40m 的 D 处观察旗杆顶部 A 的仰角为 50°，观察旗杆底部 B 的仰角为 45°，求旗杆的高度（ 精确到 0.1m ）.
基础练习
解：在等腰 Rt△BCD 中，∠ACD=90°，BC = DC = 40m.
在 Rt△ACD 中， tan ∠ADC = ，
∴AC = tan ∠ADC · DC
= tan 50° × 40 ≈ 47.7
∴AB = AC - BC = 47.7 - 40 = 7.7(m)
因此旗杆高度约为7.7m.
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；
从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
水平线
铅垂线
视点
视线
仰角
俯角
1. 如图1，在高出海平面100米的悬崖顶a处，观测海平面上一艘小船b，并测得它的俯角为45°，则船与观测者之间的水平距离bc=_________米.
2. 如图2，两建筑物ab和cd的水平距离为30米，从a点测得 d点的俯角为30°，测得c点的俯角为60°，则建筑物cd的高为_____米.
100
图1
b
c
a
图2
b
c
a
d
30°
60°
查漏补缺
3.某飞机在离地面 米的上空测得地面控制点的俯角为 ，那么此时飞机与地面控制点之间的距离是多少米？
解：如图所示：
由题意得,∠CAB=60°, BC= 米
在Rt△ABC中,∵sin∠A=
∴AC= =6000米，
故此时飞机与地面控制点之间的距离是6000米
查漏补缺
4．如图，从点 a看一山坡上的电线杆pq,观测点p的仰角是45°，向前走6m到达b点，测得顶端点p和杆底端点q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度是多少米
图1
图2
解：如图2，延长PQ交直线AB于点E，设PE=x．
在直角△APE中，∠PAE=45°，则AE=PE=x；
∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°
提升能力
4．如图，从点 a看一山坡上的电线杆pq,观测点p的仰角是45°，向前走6m到达b点，测得顶端点p和杆底端点q的仰角分别是60°和30°，则该电线杆的高度是多少米
提升能力
则 解得：
∴
在直角△BPE中，
∵ab=ae-be=6，
在直角△beq中，
故该电线杆的高度是多少 米.
图1
图2
5.已知铁环的半径为5个单位（每个单位为5 cm），设铁环中心为O，铁环钩与铁环相切点为M，铁环与地面接触点为A，∠MOA=α，且sinα= ．
求点M离地面AC的高度BM
解：如图，过点M作MD⊥OA于D.
则四边形ABMD是矩形.
∴BM=AD，AB=DM.
又MD=OM·sinα=5×5× =15.
∴AD=OA-OD=5,∴BM=5 cm.
提升能力