2025高考数学考二轮专题过关检测1-函数与导数-专项训练（含解析）

2025高考数学考二轮专题过关检测1-函数与导数-专项训练
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设函数f(x)=,则下列函数中为奇函数的是(　　)
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1
C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1
2.已知函数f(x)满足f(x)=f(-x),当x≥0时,f(x)=3x+2x,则不等式f(x-2)<13的解集为(　　)
A.(-∞,0)∪(4,+∞)
B.(0,4)
C.(0,2)
D.(-∞,0)∪(2,+∞)
3.函数y=(3x-3-x)cos x在区间[-]上的大致图象为(　　)
4.设f(x)是R上的奇函数且满足f(x-1)=f(x+1),当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),则f(-2 020.6)=(　　)
A. B. C.- D.-
5.设函数f(x)在区间D上的导函数为f'(x),f'(x)在区间D上的导函数为g(x).若在区间D上,g(x)<0恒成立,则称函数f(x)在区间D上为“凸函数”.已知实数m是常数,f(x)=-3x2,若对满足|m|≤1的任何一个实数m,函数f(x)在区间(a,b)上都为“凸函数”,则b-a的最大值为(　　)
A.4 B.3 C.2 D.1
6.若f(x)=,则(　　)
A.f>f()>f(ln 2)
B.f>f(ln 2)>f()
C.f()>f(ln 2)>f
D.f(ln 2)>f()>f
7.(2024·新高考Ⅱ,6)设函数f(x)=a(x+1)2-1,g(x)=cos x+2ax(a为常数),当x∈(-1,1)时,曲线y=f(x)与y=g(x)恰有一个交点,则a=(　　)
A.-1 B. C.1 D.2
8.已知函数f(x)=ln(2x+1),g(x)=2mx+m,若f(x)≤g(x)恒成立,则实数m的取值范围是(　　)
A.(-∞,) B.(0,]
C.[,+∞) D.[e,+∞)
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.已知函数f(x)=xln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,则以下几个结论正确的是 (　　)
A.0
C.f(x0)+2x0<0 D.f(x0)+2x0>0
10.已知函数f(x)=当x∈[t,+∞)时,f(x)的值域为(-∞,16],则t的值可能为(　　)
A.-3 B.-1 C.1 D.3
11.(2023·新高考Ⅰ,11)已知函数f(x)的定义域为R,f(xy)=y2f(x)+x2f(y),则 (　　)
A.f(0)=0
B.f(1)=0
C.f(x)是偶函数
D.x=0为f(x)的极小值点
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.若函数f(x)=e2x-ax2+1在区间[1,2]上单调递减,则实数a的取值范围是　　　　　.
13.设s,t是两个不相等的正数,且s+sln t=t+tln s,则s+t-st的取值范围为　　　　　.
14.已知函数f(x)的定义域D为(-∞,0)∪(0,+∞),f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,且对任意的x1,x2∈D,都有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)-1,若对任意的x∈(1,+∞),不等式f(ax)-f(ln x)>f(1)-1恒成立,则实数a的取值范围是　.
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(13分)(2024·九省联考)已知函数f(x)=ln x+x2+ax+2在点(2,f(2))处的切线与直线2x+3y=0垂直.
(1)求a;
(2)求f(x)的单调区间和极值.
16.(15分)已知f(x)=(ln x)2+2x-aex.
(1)当a=0时,求函数f(x)的导函数f'(x)的最大值;
(2)若f(x)有两个极值点,求实数a的取值范围.
17.(15分)已知函数f(x)=(x+m)ex.
(1)若f(x)在区间(-∞,1]内单调递减,求实数m的取值范围;
(2)当m=0时,若对任意的x∈(0,+∞),nxln(nx)≤f(2x)恒成立,求实数n的取值范围.
18.(17分)已知函数f(x)=ex-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)当a=2时,求函数g(x)=f(x)-cos x在区间(-,+∞)内的零点个数.
19.(17分)(2024·广西4月模拟)定义:若函数f(x)图象上恰好存在相异的两点P,Q满足曲线y=f(x)在P和Q处的切线重合,则称P,Q为曲线y=f(x)的“双重切点”,直线PQ为曲线y=f(x)的“双重切线”.
(1)直线y=x-是否为曲线f(x)=x2-2x+2ln x的“双重切线”,请说明理由;
(2)已知函数g(x)=求曲线y=g(x)的“双重切线”的方程.
参考答案与详细解析
一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.B　解析 函数f(x)==-1+,故该函数图象的对称中心的坐标为(-1,-1).
将该函数图象向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为g(x)=f(x-1)+1,其图象关于坐标原点对称,即为奇函数.故选B.
2.B　解析 依题意知f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,当x≥0时,f(x)=3x+2x单调递增,且f(2)=13,所以不等式f(x)<13的解集为(-2,2).
将f(x)的图象沿x轴向右平移2个单位长度后可得f(x-2)的图象,故不等式f(x-2)<13的解集为(0,4).
3.A　解析 令f(x)=(3x-3-x)cos x,x∈[-],
则f(-x)=(3-x-3x)cos(-x)=-(3x-3-x)cos x=-f(x),
所以f(x)为奇函数,排除BD;
又当x∈(0,)时,3x-3-x>0,cos x>0,所以f(x)>0,排除C.
4.D　解析 对任意的x∈R,f(x-1)=f(x+1),即f(x)=f(x+2),所以f(x)是以2为周期的周期函数,
∴f(-2 020.6)=f(-0.6),又f(x)为R上的奇函数,且当0≤x≤1时,f(x)=5x(1-x),因此f(-2 020.6)=f(-0.6)=-f(0.6)=-5×0.6×(1-0.6)=-.
5.A　解析 ∵f(x)=-3x2,∴f'(x)=-6x,
∴g(x)=x2-mx-6.
令h(m)=-mx+x2-6,则当-1≤m≤1时,h(m)<0恒成立.
∴∴-2∴函数f(x)在区间(-2,2)上为“凸函数”,
∴b-a的最大值为2-(-2)=4.
6.C　解析 因为f(-x)==f(x),所以f(x)是R上的偶函数,因此f=f(log34).
因为log34>log33=1=20>>0,1=ln e>ln 2>ln .
所以log34>ln 2>>0.
当x∈(0,+∞)时,f'(x)=<0,
所以f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,
所以f()>f(ln 2)>f.
故选C.
7.D　解析 令f(x)=g(x),则cos x=a(x2+1)-1.
令h(x)=cos x-a(x2+1)+1.
因为h(x)为偶函数,且h(x)有唯一零点,所以有h(0)=0,即cos 0-a(02+1)+1=0,所以a=2.故选D.
8.C　解析 函数f(x)=ln(2x+1),x>-,g(x)=2mx+m,f(x)≤g(x)恒成立,
即ln(2x+1)≤2mx+m恒成立,
即m≥在x>-时恒成立,
令t=2x+1>0,即m≥在t>0时恒成立,
即m≥(t>0).
设g(t)=(t>0),则g'(t)=.
令g'(t)=0得t=e,则t∈(0,e)时,g'(t)>0,g(t)单调递增;t∈(e,+∞)时,g'(t)<0,g(t)单调递减.
所以t=e时,函数g(t)=(t>0)取得最大值g(e)=,即,所以m≥.故选C.
二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.
9.AD　解析 ∵f(x)=xln x+x2(x>0),
∴f'(x)=ln x+1+2x.
∵x0是函数f(x)的极值点,
∴f'(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0.
又f'>0,x→0,f'(x)→-∞,
∴0∴A正确,B不正确;
∴f(x0)+2x0=x0ln x0++2x0=x0(ln x0+x0+2)=-x0(x0-1)>0;即C不正确;D正确.
10.ABC　解析 由题意,函数f(x)=当x≥0时,函数f(x)=12x-x3,则f'(x)=12-3x2=-3(x+2)(x-2),当00,当x>2时,f'(x)<0,所以函数f(x)在区间(0,2)内单调递增,在区间(2,+∞)内单调递减,所以当x=2时,函数f(x)取得最大值,最大值为f(2)=12×2-23=16,所以当x≥0时,f(x)∈(-∞,16].当x<0时,函数f(x)=-4x单调递减,令f(x)=16,即-4x=16,解得x=-4,所以当x∈[-4,0)时,f(x)∈(0,16],当x∈(-∞,-4)时,f(x)∈(16,+∞).因为当x∈[t,+∞)时,函数f(x)的值域为(-∞,16],所以t∈[-4,2].
结合选项,t的值可能为-3,-1,1.故选ABC.
11.ABC　解析 对于选项A,令x=0,y=0,f(0)=0,所以A正确;
对于选项B,令x=1,y=1,f(1×1)=12×f(1)+12×f(1)=2f(1),解得f(1)=0,所以B正确;
对于选项C,令x=-1,y=-1,f[(-1)×(-1)]=(-1)2×f(-1)+(-1)2×f(-1)=2f(-1),解得f(-1)=0;再令x=-1,y=x,f[(-1)×x]=x2×f(-1)+(-1)2×f(x),f(-x)=f(x),所以C正确;
对于选项D,用特值法,函数f(x)=0,为常数函数,且满足f(xy)=y2f(x)+x2f(y),而常数函数没有极值点,所以D错误.故选ABC.
三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.
12.[,+∞)　解析 f'(x)=2e2x-2ax,由于f(x)在区间[1,2]上单调递减,所以e2x-ax≤0在区间[1,2]上恒成立,即a≥在区间[1,2]上恒成立.
令h(x)=,x∈[1,2],则h'(x)=>0,因此h(x)在区间[1,2]上单调递增,所以h(x)max=h(2)=,故实数a的取值范围是[,+∞).
13.(1,+∞)　解析 由已知s+sln t=t+tln s,可得,设f(x)=(x>0),则f'(x)=,当x∈(0,1)时,f'(x)>0,函数f(x)单调递增;
当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,函数f(x)单调递减.画出函数f(x)的大致图象如图所示.
由题意知f(s)=f(t),所以s,t为方程f(x)=m的两个不同的解,不妨设s>t,则00,所以s+t-st>1.
14.(-∞,-)∪(,+∞)　解析 令x1=x2=1,有f(1)=f(1)+f(1)-1,得f(1)=1,
令x1=x2=-1,得f(1)=2f(-1)-1,则f(-1)=1,
令x1=x(x∈D),x2=-1,有f(-x)=f(x)+f(-1)-1,得f(-x)=f(x),
又函数f(x)的定义域D为(-∞,0)∪(0,+∞)关于原点对称,所以f(x)是偶函数.
因为f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,所以f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.
不等式f(ax)-f(ln x)>f(1)-1可化为f(ax)>f(ln x),
则有f(|ax|)>f(|ln x|).
因为函数f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以|ax|>|ln x|,
又x>1,所以|a|x>ln x,即|a|>.
设h(x)=(x>1),则|a|>h(x)max,h'(x)=.
故当x∈(1,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增,当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以h(x)≤h(e)=,所以|a|>,所以a>或a<-,即实数a的取值范围为(-∞,-)∪(,+∞).
四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.解 (1)f'(x)=+2x+a,则f'(2)=+2×2+a=+a.
由题意可得(+a)×(-)=-1,解得a=-3.
(2)由(1)可知f(x)=ln x+x2-3x+2.
则f'(x)=+2x-3=,x>0,
所以当00,当1时,f'(x)>0,
所以f(x)的单调递增区间为(0,),(1,+∞),f(x)的单调递减区间为(,1),
故f(x)有极大值f()=ln+()2-3×+2=-ln 2,有极小值f(1)=ln 1+12-3×1+2=0.
16.解 (1)当a=0时,f(x)=(ln x)2+2x,
所以f'(x)=+2.
设g(x)=f'(x),则g'(x)=.
令g'(x)=0,得x=e.
当x∈(0,e)时,g'(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,g'(x)<0,g(x)单调递减.
所以f'(x)max=g(x)max=g(e)=+2.
(2)由于f'(x)=+2-aex,若f(x)有两个极值点,则f'(x)有两个变号零点,即a=有两个实数根,令函数h(x)=,问题转化为曲线y=h(x)与直线y=a有两个不同的交点.
h'(x)=,在区间(0,1)内,h'(x)>0,h(x)单调递增,在区间(1,+∞)内,h'(x)<0,h(x)单调递减,
所以h(x)max=h(1)=.
又因为当x趋近于0时,h(x)趋近于负无穷,当x趋近于正无穷时,h(x)趋近于0,所以实数a的取值范围是(0,).
17.解 (1)因为f(x)=(x+m)ex,所以f'(x)=(x+m+1)ex.
由题意可得f'(x)≤0在区间(-∞,1]内恒成立,即x+m+1≤0在区间(-∞,1]内恒成立,可得m≤-x-1对于x∈(-∞,1]恒成立,所以m≤(-x-1)min=-2,所以实数m的取值范围是(-∞,-2].
(2)当m=0时,由nxln(nx)≤f(2x),得2xe2x≥nxln(nx).
由题意可知,x>0,n>0,所以-ln x-ln n≥0对于任意的x∈(0,+∞)恒成立.
设h(x)=e2x-ln x-ln n,x>0,n>0,则h'(x)=e2x-,因为函数y=e2x和y=-在区间(0,+∞)内均单调递增,所以函数h'(x)在区间(0,+∞)内单调递增.
当x→0时,h'(x)<0;
当x→+∞时,h'(x)>0.故存在x0∈(0,+∞),使得h'(x0)==0,即.
当x∈(0,x0)时,h'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,h'(x)>0,所以h(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,
故h(x)min=h(x0)=-ln x0-ln n=-ln x0-ln n≥0对x0∈(0,+∞)恒成立,又由=0,得n=4x0,
所以h(x0)=-2x0-2ln x0-2ln 2≥0对x0∈(0,+∞)恒成立.因为函数y=-2x和y=-2ln x在区间(0,+∞)内单调递减,所以函数h(x0)在区间(0,+∞)内单调递减.因为x0=时,h(x0)=0,所以x0∈(0,].令p(x)=4xe2x(x>0),则p'(x)=4e2x+8xe2x=4e2x(1+2x)>0.
所以函数n=4x0在区间(0,]内单调递增,所以018.解 (1)f(x)=ex-ax,其定义域为R,f'(x)=ex-a.
当a≤0时,f'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增;
当a>0时,令f'(x)>0得x>ln a,令f'(x)<0得x所以f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.
综上所述,当a≤0时,f(x)在R上单调递增;当a>0时,f(x)在区间(-∞,ln a)内单调递减,在区间(ln a,+∞)内单调递增.
(2)(方法一)由已知得g(x)=ex-2x-cos x,x∈(-,+∞),则g'(x)=ex+sin x-2.
①当x∈(-,0)时,因为g'(x)=(ex-1)+(sin x-1)<0,所以g(x)在区间(-,0)内单调递减,所以g(x)>g(0)=0,
所以g(x)在区间(-,0)内无零点;
②当x∈[0,]时,因为g'(x)单调递增,且g'(0)=-1<0,g'-1>0,所以存在x0∈(0,),使g'(x0)=0,所以当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,)时,g'(x)>0,所以g(x)在区间[0,x0)内单调递减,在区间(x0,]内单调递增,且g(0)=0,所以g(x0)<0,又因为g-π>0,所以g(x0)·g<0,所以g(x)在区间(x0,)内存在一个零点,所以g(x)在区间[0,]上有两个零点;
③当x∈(,+∞)时,g'(x)=ex+sin x-2>-3>0,
所以g(x)在区间(,+∞)内单调递增,
因为g>0,所以g(x)在区间(,+∞)内无零点.
综上所述,g(x)在区间(-,+∞)内的零点个数为2.
(方法二)由已知得g(x)=ex-2x-cos x,x∈(-,+∞),则g'(x)=ex+sin x-2.
①当x∈(-,0)时,因为g'(x)=(ex-1)+(sin x-1)<0,所以g(x)在区间(-,0)内单调递减,所以g(x)>g(0)=0,所以g(x)在区间(-,0)内无零点;
②当x∈[0,+∞)时,令s(x)=g'(x),则s'(x)=ex+cos x>0,所以g'(x)在区间[0,+∞)内单调递增,
又因为g'(0)=-1<0,g'(π)=eπ+sin π-2=eπ-2>0,
所以 x0∈(0,π)使g'(x0)=0,
当x∈(0,x0)时,g'(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,g'(x)>0,所以g(x)在区间(0,x0)内单调递减,在区间(x0,+∞)内单调递增,且g(0)=0,所以g(x0)<0,又因为g(π)=eπ+1-2π>0,所以g(x0)·g(π)<0,所以g(x)在区间(x0,+∞)内存在唯一零点,所以g(x)在区间[0,+∞)内存在两个零点.
综上所述,g(x)在区间(-,+∞)内的零点个数为2.
19.解 (1)不是,理由如下:
由已知得f'(x)=x-2+,由f'(x)=x-2+=1,解得x1=1,x2=2.
又f(1)=-,f(2)=2ln 2-2,不妨设切点为P(1,-),Q(2,2ln 2-2),则在点P处的切线的方程为y+=x-1,即y=x-,在点Q的切线方程为y-2ln 2+2=x-2,即y=x-4+2ln 2与直线y=x-不重合,所以直线y=x-不是曲线f(x)=x2-2x+2ln x的“双重切线”.
(2)由题意g'(x)=函数y=ex+1(x≤0)和y=(x>0)都是单调函数,则可设切点为P(x1,y1),Q(x2,y2),且x1≤0设t(x)=ex+1(x-1)-4+6(x≤0),则t'(x)=xex+1-2[x-2]<0,所以t(x)是减函数,
又t(-1)=0,所以t(x)=0在区间(-∞,0]上只有一解x=-1,
所以方程(x1-1)-4+6=0的解是x1=-1,从而x2=2,
所以在点P(-1,1)处的切线方程为y-1=x+1,即y=x+2,在点Q(2,4)处的切线方程为y-4=x-2,即y=x+2.
所以曲线y=g(x)的“双重切线”方程为y=x+2