/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第4讲 二次根式
二次根式的相关概念与性质
1．概念
定义 形如(a≥0)的式子
有意义的条件 被开方数为非负数
最简二次根式 (1)被开方数中不含分母(即分母中不含根号)； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式
2.性质
性质 (1)双重非负性：≥0且a≥0； (2)()2＝a(a≥0)； (3)＝|a|＝ (4)＝·(a≥0，b≥0)； (5)＝(a≥0，b>0)
二次根式的运算及估值
1．二次根式的运算
运算 (1)加减法：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； (2)乘法：·＝(a≥0，b≥0)； (3)除法：＝(a≥0，b>0)
2.二次根式的估算
一般采用“逐步逼近法”确定其值所在范围，具体过程为：
(1)先对二次根式平方；
(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间．
【夺分宝典】熟记常见二次根式的近似值能快速解题：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449，≈2.646等．
命题点1 二次根式的有关概念及性质
1．(2021·襄阳)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≤－3 D．x＞－3
2．(2022·武汉)计算的结果是2．
3．(2020·黄冈)已知|x－2|＋＝0，则－xy＝2．
命题点2 二次根式的运算
4．(2022·仙桃、潜江、天门联考)下列各式计算正确的是( D )
A．＋＝ B．4－3＝1
C．÷2＝ D．×＝
5．(2021·恩施州)从2，－3，－2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．(2020·孝感)已知x＝－1，y＝＋1，那么的值是( D )
A．2 B． C． D．2
7．(2020·荆州)若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( C )
A．(＋1) B．(－1)
C．2 D．(1－)
8．(2023·荆州)已知k＝(＋)(－)，则与k最接近的整数为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7＋4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于－，设x＝－，易知＞，故x＞0，由x2＝(－)2＝3＋＋3－－2＝2，解得x＝，即－＝.根据以上方法，化简＋－后的结果为( D )
A．5＋3 B．5＋
C．5－ D．5－3
10．(2023·恩施州)计算：×＝6．
11．(2021·荆州)已知a＝()-1＋(－)0，b＝(＋)(－)，则的值为2．
12．(2022·荆州)若3－的整数部分为a，小数部分为b，则(2＋a)·b的值是2.
13．(2022·随州)已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75．
14．(2022·襄阳)先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中a＝－，b＝＋.
解：原式＝a2＋4b2＋4ab＋a2－4b2＋2ab－2a2
＝6ab.
∵a＝－，b＝＋，
∴原式＝6ab＝6×(－)(＋)＝6.
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2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第4讲 二次根式
考点精讲精练
第一章 数与式
知识点1 二次根式的相关概念与性质
1．概念
被开方数为非负数
被开方数
2.性质
≥0
a
－a
知识点2 二次根式的运算及估值
1．二次根式的运算
A
2
2
D
C
D
C
B
D
6
2
2
3
75
刃/ 让教学更有效 精品试卷 | 数学学科
第4讲 二次根式
二次根式的相关概念与性质
1．概念
定义 形如(a≥0)的式子
有意义的条件 被开方数为非负数
最简二次根式 (1)被开方数中不含分母(即分母中不含根号)； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
同类二次根式 化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式
2.性质
性质 (1)双重非负性：≥0且a≥0； (2)()2＝a(a≥0)； (3)＝|a|＝ (4)＝·(a≥0，b≥0)； (5)＝(a≥0，b>0)
二次根式的运算及估值
1．二次根式的运算
运算 (1)加减法：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并； (2)乘法：·＝(a≥0，b≥0)； (3)除法：＝(a≥0，b>0)
2.二次根式的估算
一般采用“逐步逼近法”确定其值所在范围，具体过程为：
(1)先对二次根式平方；
(2)找出与平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数；
(3)对以上两个整数开方；
(4)确定这个根式的值在开方后所得的两个整数之间．
【夺分宝典】熟记常见二次根式的近似值能快速解题：≈1.414，≈1.732，≈2.236，≈2.449，≈2.646等．
命题点1 二次根式的有关概念及性质
1．(2021·襄阳)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A )
A．x≥－3 B．x≥3
C．x≤－3 D．x＞－3
2．(2022·武汉)计算的结果是2．
3．(2020·黄冈)已知|x－2|＋＝0，则－xy＝2．
命题点2 二次根式的运算
4．(2022·仙桃、潜江、天门联考)下列各式计算正确的是( D )
A．＋＝ B．4－3＝1
C．÷2＝ D．×＝
5．(2021·恩施州)从2，－3，－2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2的有( C )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．(2020·孝感)已知x＝－1，y＝＋1，那么的值是( D )
A．2 B． C． D．2
7．(2020·荆州)若x为实数，在“(＋1)□x”的“□”中添上一种运算符号(在“＋，－，×，÷”中选择)后，其运算的结果为有理数，则x不可能是( C )
A．(＋1) B．(－1)
C．2 D．(1－)
8．(2023·荆州)已知k＝(＋)(－)，则与k最接近的整数为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
9．(2019·随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：＝＝7＋4，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于－，设x＝－，易知＞，故x＞0，由x2＝(－)2＝3＋＋3－－2＝2，解得x＝，即－＝.根据以上方法，化简＋－后的结果为( D )
A．5＋3 B．5＋
C．5－ D．5－3
10．(2023·恩施州)计算：×＝6．
11．(2021·荆州)已知a＝()-1＋(－)0，b＝(＋)(－)，则的值为2．
12．(2022·荆州)若3－的整数部分为a，小数部分为b，则(2＋a)·b的值是2.
13．(2022·随州)已知m为正整数，若是整数，则根据＝＝3可知m有最小值3×7＝21.设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为3，最大值为75．
14．(2022·襄阳)先化简，再求值：(a＋2b)2＋(a＋2b)(a－2b)＋2a(b－a)，其中a＝－，b＝＋.
解：原式＝a2＋4b2＋4ab＋a2－4b2＋2ab－2a2
＝6ab.
∵a＝－，b＝＋，
∴原式＝6ab＝6×(－)(＋)＝6.
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