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第二章 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)及其应用
等式的性质
性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即若a＝b，则a±c＝b±c 应用：解方程中的移项
性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即若a＝b，则ac＝bc，＝(d≠0) 应用：解方程中的去分母或系数化为1
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
一般步骤 (1)去分母：方程中未知数的系数含有分母时，在方程的两边都乘各分母的最小公倍数； (2)去括号：a.不要漏乘括号内的任何项； b.括号前是负号时，去括号后括号内的每一项都要变号； (3)移项：注意要变号； (4)合并同类项：把方程化为ax＝b(a，b为常数，且a≠0)的形式； (5)系数化为1：等号两边同除以未知数的系数
二元一次方程(组)的解法
相关概念 (1)二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程； (2)二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，一般形式为(x，y为未知数)
基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
解法 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程； 适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；(2)某一个方程的常数项为0
加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程； 适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍
一次方程(组)的实际应用
1．列方程(组)解决实际问题的步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列 找出适当的等量关系，列出方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所求答案是否正确且符合题意
答 写出答案，注意单位名称
2.常见应用类型及等量关系
购买问题 总价＝单价×数量
打折销售问题 售价＝标价×折扣(如：打8折，即售价＝标价×0.8) 销售额＝售价×销量 利润＝售价－进价
工程问题 工作总量＝工作时间×工作效率
行程问题 路程＝速度×时间
【夺分宝典】
用方程解决利润问题的基本关系式：
利润＝售价－进价；
销售额＝售价×数量；
基本步骤：
第一步：审题，设出未知数
含有两个未知量的应用题，一般设两个未知数，列二元一次方程较容易些；也可以设一个未知数，根据题中的等量关系表示出另一个量，列一元一次方程．
第二步：转化题干信息
根据题中的等量关系列出方程(组).
第三步：解方程作答
求解未知数的值，并检验作答.
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具之一．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元．
(1)求A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，问A，B两种型号的新能源汽车各购买多少辆？
【思路引导】(1)设A型新能源汽车每辆进价为x万元，B型新能源汽车每辆进价为y万元．根据“1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设A型新能源汽车购买m辆，B型新能源汽车购买n辆．根据“该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【自主解答】解：(1)设A型新能源汽车每辆进价为x万元，B型新能源汽车每辆进价为y万元．
由题意，得
解得
答：A型新能源汽车每辆进价为20万元，B型新能源汽车每辆进价为15万元．
(2)设A型新能源汽车购买m辆，B型新能源汽车购买n辆．
由题意，得20m＋15n＝100，
整理，得m＝5－n.
∵m，n均为正整数，
∴
答：A型新能源汽车购买2辆，B型新能源汽车购买4辆．
命题点1 一次方程(组)的解法
1．(2020·恩施州)在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a＋b－1，例如，2☆3＝2＋3－1＝4.若2☆x＝1，则x的值是( C )
A．－1 B．1 C．0 D．2
2．(2022·随州)已知方程组则x－y的值为1．
3．(2022·荆州)已知方程组的解满足2kx－3y＜5，求k的取值范围．
解：①＋②，得2x＝4，∴x＝2.
①－②，得2y＝2，∴y＝1.
代入2kx－3y＜5，得4k－3＜5，
∴k＜2.
命题点2 一次方程(组)的应用
4．(2022·随州)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为( A )
A．150(12＋x)＝240x
B．240(12＋x)＝150x
C．150(x－12)＝240x
D．240(x－12)＝150x
5．(2024·湖北)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是( A )
A． B．
C． D．
6．(2023·荆州)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为( A )
A． B．
C． D．
7．(2022·宜昌)五一小长假，小华和家人到公园游玩，湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人，则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( B )
A．30 B．26 C．24 D．22
8．(2020·黄冈)为推广黄冈各市县名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元；如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉，共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
解：设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元．
依题意，得
解得
答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第5讲 一次方程(组)及其应用
等式的性质
性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍相等．即若a＝b，则a±c＝b±c 应用：解方程中的移项
性质2 等式两边乘同一个数或除以同一个不为0的数，结果仍相等．即若a＝b，则ac＝bc，＝(d≠0) 应用：解方程中的去分母或系数化为1
一元一次方程及其解法
概念 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
一般步骤 (1)去分母：方程中未知数的系数含有分母时，在方程的两边都乘各分母的最小公倍数； (2)去括号：a.不要漏乘括号内的任何项； b.括号前是负号时，去括号后括号内的每一项都要变号； (3)移项：注意要变号； (4)合并同类项：把方程化为ax＝b(a，b为常数，且a≠0)的形式； (5)系数化为1：等号两边同除以未知数的系数
二元一次方程(组)的解法
相关概念 (1)二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的次数都是1的整式方程； (2)二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组．方程组中同一个字母代表同一个量，一般形式为(x，y为未知数)
基本思想 消元，即将二元一次方程组转化为一元一次方程
解法 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程； 适用类型：(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；(2)某一个方程的常数项为0
加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程； 适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍
一次方程(组)的实际应用
1．列方程(组)解决实际问题的步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列 找出适当的等量关系，列出方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所求答案是否正确且符合题意
答 写出答案，注意单位名称
2.常见应用类型及等量关系
购买问题 总价＝单价×数量
打折销售问题 售价＝标价×折扣(如：打8折，即售价＝标价×0.8) 销售额＝售价×销量 利润＝售价－进价
工程问题 工作总量＝工作时间×工作效率
行程问题 路程＝速度×时间
【夺分宝典】
用方程解决利润问题的基本关系式：
利润＝售价－进价；
销售额＝售价×数量；
基本步骤：
第一步：审题，设出未知数
含有两个未知量的应用题，一般设两个未知数，列二元一次方程较容易些；也可以设一个未知数，根据题中的等量关系表示出另一个量，列一元一次方程．
第二步：转化题干信息
根据题中的等量关系列出方程(组).
第三步：解方程作答
求解未知数的值，并检验作答.
随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具之一．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元．
(1)求A，B两种型号的新能源汽车每辆进价分别为多少万元；
(2)若该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车(两种型号的汽车均购买)，问A，B两种型号的新能源汽车各购买多少辆？
【思路引导】(1)设A型新能源汽车每辆进价为x万元，B型新能源汽车每辆进价为y万元．根据“1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计65万元；3辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计90万元”列出二元一次方程组，解方程组即可；
(2)设A型新能源汽车购买m辆，B型新能源汽车购买n辆．根据“该公司计划正好用100万元购进以上两种型号的新能源汽车”列出二元一次方程，求出正整数解即可．
【自主解答】解：(1)设A型新能源汽车每辆进价为x万元，B型新能源汽车每辆进价为y万元．
由题意，得
解得
答：A型新能源汽车每辆进价为20万元，B型新能源汽车每辆进价为15万元．
(2)设A型新能源汽车购买m辆，B型新能源汽车购买n辆．
由题意，得20m＋15n＝100，
整理，得m＝5－n.
∵m，n均为正整数，
∴
答：A型新能源汽车购买2辆，B型新能源汽车购买4辆．
命题点1 一次方程(组)的解法
1．(2020·恩施州)在实数范围内定义运算“☆”：a☆b＝a＋b－1，例如，2☆3＝2＋3－1＝4.若2☆x＝1，则x的值是( C )
A．－1 B．1 C．0 D．2
2．(2022·随州)已知方程组则x－y的值为1．
3．(2022·荆州)已知方程组的解满足2kx－3y＜5，求k的取值范围．
解：①＋②，得2x＝4，∴x＝2.
①－②，得2y＝2，∴y＝1.
代入2kx－3y＜5，得4k－3＜5，
∴k＜2.
命题点2 一次方程(组)的应用
4．(2022·随州)我国元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中记载：“良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里．驽马先行一十二日，问良马几何追及之．”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里，慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？若设快马x天可以追上慢马，则可列方程为( A )
A．150(12＋x)＝240x
B．240(12＋x)＝150x
C．150(x－12)＝240x
D．240(x－12)＝150x
5．(2024·湖北)我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个关于“方程”的问题：“今有牛五、羊二，直金十两，牛二、羊五，直金八两．问牛羊各直金几何？”译文：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两，问牛、羊每头各值金多少？若设牛每头值金x两，羊每头值金y两，则可列方程组是( A )
A． B．
C． D．
6．(2023·荆州)我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条余1尺，问木条长多少尺？若设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为( A )
A． B．
C． D．
7．(2022·宜昌)五一小长假，小华和家人到公园游玩，湖边有大小两种游船．小华发现1艘大船与2艘小船一次共可以满载游客32人，2艘大船与1艘小船一次共可以满载游客46人，则1艘大船与1艘小船一次共可以满载游客的人数为( B )
A．30 B．26 C．24 D．22
8．(2020·黄冈)为推广黄冈各市县名优农产品，市政府组织创办了“黄冈地标馆”．一顾客在“黄冈地标馆”发现，如果购买6盒羊角春牌绿茶和4盒九孔牌藕粉，共需960元；如果购买1盒羊角春牌绿茶和3盒九孔牌藕粉，共需300元．请问每盒羊角春牌绿茶和每盒九孔牌藕粉分别需要多少元？
解：设每盒羊角春牌绿茶需要x元，每盒九孔牌藕粉需要y元．
依题意，得
解得
答：每盒羊角春牌绿茶需要120元，每盒九孔牌藕粉需要60元．
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第5讲 一次方程(组)及其应用
考点精讲精练
第二章 方程(组)与不等式(组)
知识点1 等式的性质
b±c
知识点2 一元一次方程及其解法
概念 只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____的整式方程
一般形式 ax＋b＝0(a，b是常数，且a≠0)
1
一
一般步骤 (1)去分母：方程中未知数的系数含有分母时，在方程的两边都乘各分母的最小公倍数；
(2)去括号：a.不要漏乘括号内的任何项；
b.括号前是负号时，去括号后括号内的每一项都要变号；
(3)移项：注意要变号；
(4)合并同类项：把方程化为ax＝b(a，b为常数，且a≠0)的形式；
(5)系数化为1：等号两边同除以未知数的系数
知识点3 二元一次方程(组)的解法
两个
1
解法 代入消元法：将方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来，再代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化为一元一次方程；
适用类型：
(1)方程组中有一个未知数的系数是1或－1；
(2)某一个方程的常数项为0
加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后再相加(或相减)，消去其中一个未知数，化为一元一次方程；
适用类型：方程组中同一个未知数的系数相同或互为相反数或成整数倍
知识点4 一次方程(组)的实际应用
1．列方程(组)解决实际问题的步骤
审 审清题意，分清题中的已知量、未知量
设 设关键未知数，一般求什么，就设什么，也可设间接未知数
列 找出适当的等量关系，列出方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所求答案是否正确且符合题意
答 写出答案，注意单位名称
2.常见应用类型及等量关系
购买问题 总价＝单价×数量
打折销售问题 售价＝标价×折扣(如：打8折，即售价＝标价×0.8)
销售额＝售价×销量
利润＝售价－进价
工程问题 工作总量＝工作时间×工作效率
行程问题 路程＝速度×时间
C
1
A
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