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中考数学复习精品课件
人教版一轮复习
回归教材夯实基础
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第6讲 一元二次方程及其应用
考点精讲精练
第二章 方程(组)与不等式(组)
知识点1 一元二次方程及其解法
1．概念及形式
概念 含有____个未知数，并且所含未知数的最高次数是____的整式方程
一般形式 ax2＋bx＋c＝0(其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，a≠0)
一
2
2.解法
解法 适用情况 注意事项/步骤
直接开平方法 (1)形如ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)的方程； (2)形如(x＋b)2＝a(a≥0)的方程 开方后所取值前记得加“±”号
因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x(ax＋b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)＝0的方程 不能在方程两边同除以相同的含未知数的因式
解法 适用情况 注意事项/步骤
公式法 适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式 为x＝________________(b2－4ac≥0) (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0；
(2)将a，b，c代入公式时应注意其符号
配方法 适用所有一元二次方程，其中当二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单 配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加
知识点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
b2－4ac
b2－4ac＝0
b2－4ac<0
知识点3 一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
类型 等量关系
变化率 问题 设a为原来量，若平均增长率为x%，增长次数为2，则增长后的量b＝_____________；若平均下降率为x%，下降次数为2，则下降后的量b＝_______________
a(1＋x%)2
a(1－x%)2
类型 等量关系
面积问题 (1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_______________；
(2)如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝______________；
(3)如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝_______________
(a－2x)(b－2x)
(a－x)(b－x)
(a－x)(b－x)
(38－x－22)
(x－22)
1
－1或2
B
2
1
－5
D
C
谢谢
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第6讲 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其解法
1．概念及形式
概念 含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是2的整式方程
一般形式 ax2＋bx＋c＝0(其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，a≠0)
2.解法
解法 适用情况 注意事项/步骤
直接开平方法 (1)形如ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)的方程； (2)形如(x＋b)2＝a(a≥0)的方程 开方后所取值前记得加“±”号
因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x(ax＋b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)＝0的方程 不能在方程两边同除以相同的含未知数的因式
公式法 适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝(b2－4ac≥0) (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； (2)将a，b，c代入公式时应注意其符号
配方法 适用所有一元二次方程，其中当二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单 配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac
与根的关系 (1)b2－4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 一元二次方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0 一元二次方程无实数根； (4)设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝
【夺分宝典】根的判别式的作用：
(1)直接判断或证明一元二次方程根的情况；
(2)根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围(注：二次项系数不为0).
一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
类型 等量关系
变化率问题 设a为原来量，若平均增长率为x%，增长次数为2，则增长后的量b＝a(1＋x%)2；若平均下降率为x%，下降次数为2，则下降后的量b＝a(1－x%)2
(续表)
面积问题 (1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－2x)(b－2x)； (2)如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)； (3)如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)
每每问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为(×b)件
循环赛问题 (1)单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m； (2)互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则x(x－1)＝m
【夺分宝典】
1．运用根的判别式时注意二次项系数a≠0.
2．运用根与系数关系注意隐含条件Δ≥0.
3．运用根与系数关系时，注意以下常见变形：
(1)x ＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)＋＝；
(3)(x1－a)(x2－a)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2；
(4)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2 －4x1x2；
(5)＋＝
；
(6)|x1－x2|＝
＝.
(2021·黄石)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x＝12，求m的值．
【自主解答】解：(1)根据题意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0，
解得m≤0.
(2)根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m.
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，
∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，
即m2－m－6＝0，
解得m1＝－2，m2＝3.
由(1)知m≤0，
∴m的值为－2.
(一题多解)端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：“①该水果的进价是每千克22元．”
小李：“②当销售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；③若每千克降低3元，每天的销售量将增加120 kg.”
根据他们的对话，解答下列问题：
④超市每天要获得销售利润3 640元；⑤又要尽可能让顾客得到实惠；⑥求这种水果的销售价为每千克多少元．
【夺分宝典】
(1)题干中已知量为进价a元/件，原售价b元/件，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元．
①若设售价为x元/件，则列式为提价减销量：(x－a)(m－c·)＝n；
降价提销量：(x－a)(m＋c·)＝n.
②若设提(降)价x元，则列式为提价减销量：(b＋x－a)(m－)＝n；
降价提销量：(b－x－a)(m＋)＝n.
(2)题干中已知量为原盈利a元/件，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元，若设提高(降低)x元/件，则列方程为(a±x)(m )＝n.【解法一】
【思路引导】第一步：读完题，先看设问．
怎么设？看设问⑥，间接设每千克降低x元．
第二步：转化题干信息．
a．根据信息③，可得每千克降低x元，每天的销售量增加×120kg.
b．根据信息①②，降价后每千克水果的利润为(38－x－22)元，降价后每天可销售(160＋×120)kg.
c．根据信息④，列方程即可．
【自主解答】解：设每千克降低x元．
根据题意，得(38－x－22)(160＋×120)＝3 640，
解得x1＝3，x2＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴38－x＝29.
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【解法二】
【思路引导】第一步：读完题，先看设问．
怎么设？看设问⑥，直接设这种水果的销售价为每千克x元．
第二步：转化题干信息．
a．根据信息②③，可得每千克降低(38－x)元，每天的销售量增加×120kg.
b．根据信息①②，降价后每千克水果的利润为(x－22)元，降价后每天可销售(160＋×120)kg.
c．根据信息④，列方程即可．
【自主解答】解：设这种水果的销售价为每千克x元．
根据题意，得(x－22)(160＋×120)＝3 640，
解得x1＝35，x2＝29.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝29.
答：这种水果的销售价为每千克29元．
命题点1 一元二次方程的解法
1．(2022·荆州)一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是1．
2．(2021·十堰)对于任意实数a，b，定义一种运算：a b＝a2＋b2－ab，若x (x－1)＝3，则x的值为－1或2．
3．(2021·荆州)已知a是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋a＋1＝0.
解：解不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7，
得a＞－3，
∴最小整数解为－2.
将a＝－2代入方程x2＋2ax＋a＋1＝0，
得x2－4x－1＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－.
4．(2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4－5＝0.
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设＝t(t≥0)，则x2＋2x＝t2，
∴原方程可化为t2＋4t－5＝0.
【续解】
解：因式分解，得(t＋5)(t－1)＝0，
∴t＋5＝0或t－1＝0，
解得t1＝－5，t2＝1.
当t＝－5时，＝－5，此方程无解；
当t＝1时，＝1，
则x2＋2x＝1，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
经检验，原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－.
命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
5．(2022·荆州)关于x的方程x2－3kx－2＝0实数根的情况，下列判断正确的是( B )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
6．(2023·随州)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为2．
7．(2023·宜昌)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式的值为1.
8．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根分别为x1，x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则k的值为－5．
9．(2023·鄂州)若a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则|＋|＝．
10．(2023·荆州)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k＝1时，用配方法解方程．
解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋4)2－4k(k－6)＞0，且k≠0，
解得k＞－且k≠0.
(2)当k＝1时，
原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，
即x2－6x－5＝0.
移项，得x2－6x＝5.
配方，得x2－6x＋9＝5＋9，
即(x－3)2＝14.
直接开平方，得x－3＝±，
解得x1＝3＋，x2＝3－.
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)
＝4m2＋4m＋1－4m2－4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)
＝2a2＋4ab＋ab＋2b2
＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab
＝2(a＋b)2＋ab，
∴2(a＋b)2＋ab＝20，
∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，
整理，得m2＋m－2＝0，
解得m1＝－2，m2＝1，
∴m的值为－2或1.
命题点3 一元二次方程的应用
12．(2023·襄阳)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是( D )
A．2x＋2(x＋12)＝864
B．x2＋(x＋12)2＝864
C．x(x－12)＝864
D．x(x＋12)＝864
13．(2021·襄阳)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产1 t药的成本是5 000元，现在生产1 t药的成本是4 050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是( C )
A．5 000(1＋x)2＝4 050
B．4 050(1＋x)2＝5 000
C．5 000(1－x)2＝4 050
D．4 050(1－x)2＝5 000
14．(2022·宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800 t，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100 t.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元．
解：(1)设3月份再生纸的产量为x t，则4月份再生纸的产量为(2x－100)t.
依题意，得x＋2x－100＝800，
解得x＝300，
∴2x－100＝2×300－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500 t.
(2)依题意，得1 000(1＋%)×500(1＋m%)＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)，
∴m的值为20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a t.
依题意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a，
∴1 200(1＋y)2＝1 500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元．
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第6讲 一元二次方程及其应用
一元二次方程及其解法
1．概念及形式
概念 含有一个未知数，并且所含未知数的最高次数是2的整式方程
一般形式 ax2＋bx＋c＝0(其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，a≠0)
2.解法
解法 适用情况 注意事项/步骤
直接开平方法 (1)形如ax2＋c＝0(a≠0，ac<0)的方程； (2)形如(x＋b)2＝a(a≥0)的方程 开方后所取值前记得加“±”号
因式分解法 将方程右边化为0后，方程的左边可以提出含有x的公因式，形如x(ax＋b)＝0或(ax＋b)(cx＋d)＝0的方程 不能在方程两边同除以相同的含未知数的因式
公式法 适用于所有一元二次方程，ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为x＝(b2－4ac≥0) (1)使用求根公式时要先把一元二次方程化为一般形式，方程的右边一定要化为0； (2)将a，b，c代入公式时应注意其符号
配方法 适用所有一元二次方程，其中当二次项系数化为1，一次项系数为偶数时，配方法较简单 配方时，在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，不要漏加
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为b2－4ac
与根的关系 (1)b2－4ac>0 一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)b2－4ac＝0 一元二次方程有两个相等的实数根； (3)b2－4ac<0 一元二次方程无实数根； (4)设x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则x1＋x2＝－，x1x2＝
【夺分宝典】根的判别式的作用：
(1)直接判断或证明一元二次方程根的情况；
(2)根据方程根的情况，确定字母的值或取值范围(注：二次项系数不为0).
一元二次方程的实际应用
列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、列、解、验、答
类型 等量关系
变化率问题 设a为原来量，若平均增长率为x%，增长次数为2，则增长后的量b＝a(1＋x%)2；若平均下降率为x%，下降次数为2，则下降后的量b＝a(1－x%)2
(续表)
面积问题 (1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－2x)(b－2x)； (2)如图2，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)； (3)如图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝(a－x)(b－x)
每每问题 (1)常用公式：利润＝售价－成本；总利润＝每件利润×销售量； (2)每每问题中，单价每涨a元，少卖b件，若涨价y元，则少卖的数量为(×b)件
循环赛问题 (1)单循环淘汰赛问题：设x队进行m场比赛，则＝m； (2)互赠照片问题：全班x人，每人向其他人赠送一张，共赠送m张，则x(x－1)＝m
【夺分宝典】
1．运用根的判别式时注意二次项系数a≠0.
2．运用根与系数关系注意隐含条件Δ≥0.
3．运用根与系数关系时，注意以下常见变形：
(1)x ＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)＋＝；
(3)(x1－a)(x2－a)＝x1x2－a(x1＋x2)＋a2；
(4)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2 －4x1x2；
(5)＋＝
；
(6)|x1－x2|＝
＝.
(2021·黄石)已知关于x的一元二次方程x2＋2mx＋m2＋m＝0有实数根．
(1)求m的取值范围；
(2)若该方程的两个实数根分别为x1，x2，且x＋x＝12，求m的值．
【自主解答】解：(1)根据题意，得Δ＝(2m)2－4(m2＋m)≥0，
解得m≤0.
(2)根据题意，得x1＋x2＝－2m，x1x2＝m2＋m.
∵x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝12，
∴(－2m)2－2(m2＋m)＝12，
即m2－m－6＝0，
解得m1＝－2，m2＝3.
由(1)知m≤0，
∴m的值为－2.
(一题多解)端午节期间，某水果超市调查某种水果的销售情况，下面是调查员的对话：
小王：“①该水果的进价是每千克22元．”
小李：“②当销售价为每千克38元时，每天可售出160 kg；③若每千克降低3元，每天的销售量将增加120 kg.”
根据他们的对话，解答下列问题：
④超市每天要获得销售利润3 640元；⑤又要尽可能让顾客得到实惠；⑥求这种水果的销售价为每千克多少元．
【夺分宝典】
(1)题干中已知量为进价a元/件，原售价b元/件，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元．
①若设售价为x元/件，则列式为提价减销量：(x－a)(m－c·)＝n；
降价提销量：(x－a)(m＋c·)＝n.
②若设提(降)价x元，则列式为提价减销量：(b＋x－a)(m－)＝n；
降价提销量：(b－x－a)(m＋)＝n.
(2)题干中已知量为原盈利a元/件，销量m件，销量随售价每提高(降低)d元而减少(增加)c件，获得利润n元，若设提高(降低)x元/件，则列方程为(a±x)(m )＝n.【解法一】
【思路引导】第一步：读完题，先看设问．
怎么设？看设问⑥，间接设每千克降低x元．
第二步：转化题干信息．
a．根据信息③，可得每千克降低x元，每天的销售量增加×120kg.
b．根据信息①②，降价后每千克水果的利润为(38－x－22)元，降价后每天可销售(160＋×120)kg.
c．根据信息④，列方程即可．
【自主解答】解：设每千克降低x元．
根据题意，得(38－x－22)(160＋×120)＝3 640，
解得x1＝3，x2＝9.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝9，
∴38－x＝29.
答：这种水果的销售价为每千克29元．
【解法二】
【思路引导】第一步：读完题，先看设问．
怎么设？看设问⑥，直接设这种水果的销售价为每千克x元．
第二步：转化题干信息．
a．根据信息②③，可得每千克降低(38－x)元，每天的销售量增加×120kg.
b．根据信息①②，降价后每千克水果的利润为(x－22)元，降价后每天可销售(160＋×120)kg.
c．根据信息④，列方程即可．
【自主解答】解：设这种水果的销售价为每千克x元．
根据题意，得(x－22)(160＋×120)＝3 640，
解得x1＝35，x2＝29.
∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴x＝29.
答：这种水果的销售价为每千克29元．
命题点1 一元二次方程的解法
1．(2022·荆州)一元二次方程x2－4x＋3＝0配方为(x－2)2＝k，则k的值是1．
2．(2021·十堰)对于任意实数a，b，定义一种运算：a b＝a2＋b2－ab，若x (x－1)＝3，则x的值为－1或2．
3．(2021·荆州)已知a是不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7的最小整数解，请用配方法解关于x的方程x2＋2ax＋a＋1＝0.
解：解不等式5(a－2)＋8＜6(a－1)＋7，
得a＞－3，
∴最小整数解为－2.
将a＝－2代入方程x2＋2ax＋a＋1＝0，
得x2－4x－1＝0，
解得x1＝2＋，x2＝2－.
4．(2020·荆州)阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值．
【问题】解方程：x2＋2x＋4－5＝0.
【提示】可以用“换元法”解方程．
解：设＝t(t≥0)，则x2＋2x＝t2，
∴原方程可化为t2＋4t－5＝0.
【续解】
解：因式分解，得(t＋5)(t－1)＝0，
∴t＋5＝0或t－1＝0，
解得t1＝－5，t2＝1.
当t＝－5时，＝－5，此方程无解；
当t＝1时，＝1，
则x2＋2x＝1，
解得x1＝－1＋，x2＝－1－.
经检验，原方程的解为x1＝－1＋，x2＝－1－.
命题点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
5．(2022·荆州)关于x的方程x2－3kx－2＝0实数根的情况，下列判断正确的是( B )
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．有一个实数根
6．(2023·随州)已知关于x的一元二次方程x2－3x＋1＝0的两个实数根分别为x1和x2，则x1＋x2－x1x2的值为2．
7．(2023·宜昌)已知x1，x2是方程2x2－3x＋1＝0的两根，则代数式的值为1.
8．(2023·黄冈、孝感、咸宁联考)已知一元二次方程x2－3x＋k＝0的两个实数根分别为x1，x2，若x1x2＋2x1＋2x2＝1，则k的值为－5．
9．(2023·鄂州)若a，b分别满足a2－3a＋2＝0，b2－3b＋2＝0，且a≠b，则|＋|＝．
10．(2023·荆州)已知关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)当k＝1时，用配方法解方程．
解：(1)∵关于x的一元二次方程kx2－(2k＋4)x＋k－6＝0有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(2k＋4)2－4k(k－6)＞0，且k≠0，
解得k＞－且k≠0.
(2)当k＝1时，
原方程为x2－(2×1＋4)x＋1－6＝0，
即x2－6x－5＝0.
移项，得x2－6x＝5.
配方，得x2－6x＋9＝5＋9，
即(x－3)2＝14.
直接开平方，得x－3＝±，
解得x1＝3＋，x2＝3－.
11．(2023·仙桃、潜江、天门联考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋1)x＋m2＋m＝0.
(1)求证：无论m取何值时，该方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若(2a＋b)(a＋2b)＝20，求m的值．
(1)证明：∵Δ＝[－(2m＋1)]2－4(m2＋m)
＝4m2＋4m＋1－4m2－4m
＝1＞0，
∴无论m取何值时，该方程都有两个不相等的实数根．
(2)解：∵该方程的两个实数根为a，b，
∴a＋b＝2m＋1，ab＝m2＋m.
∵(2a＋b)(a＋2b)
＝2a2＋4ab＋ab＋2b2
＝2(a2＋2ab＋b2)＋ab
＝2(a＋b)2＋ab，
∴2(a＋b)2＋ab＝20，
∴2(2m＋1)2＋m2＋m＝20，
整理，得m2＋m－2＝0，
解得m1＝－2，m2＝1，
∴m的值为－2或1.
命题点3 一元二次方程的应用
12．(2023·襄阳)我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x步，根据题意列方程正确的是( D )
A．2x＋2(x＋12)＝864
B．x2＋(x＋12)2＝864
C．x(x－12)＝864
D．x(x＋12)＝864
13．(2021·襄阳)随着生产技术的进步，某制药厂生产成本逐年下降．两年前生产1 t药的成本是5 000元，现在生产1 t药的成本是4 050元．设生产成本的年平均下降率为x，下面所列方程正确的是( C )
A．5 000(1＋x)2＝4 050
B．4 050(1＋x)2＝5 000
C．5 000(1－x)2＝4 050
D．4 050(1－x)2＝5 000
14．(2022·宜昌)某造纸厂为节约木材，实现企业绿色低碳发展，通过技术改造升级，使再生纸项目的生产规模不断扩大．该厂3，4月份共生产再生纸800 t，其中4月份再生纸产量比3月份的2倍少100 t.
(1)求4月份再生纸的产量；
(2)若4月份每吨再生纸的利润为1 000元，5月份再生纸产量比上月增加m%，5月份每吨再生纸的利润比上月增加%，则5月份再生纸项目月利润达到66万元．求m的值；
(3)若4月份每吨再生纸的利润为1 200元，4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率与6月份再生纸产量比上月增长的百分数相同，6月份再生纸项目月利润比上月增加了25%.求6月份每吨再生纸的利润是多少元．
解：(1)设3月份再生纸的产量为x t，则4月份再生纸的产量为(2x－100)t.
依题意，得x＋2x－100＝800，
解得x＝300，
∴2x－100＝2×300－100＝500.
答：4月份再生纸的产量为500 t.
(2)依题意，得1 000(1＋%)×500(1＋m%)＝660 000，
整理，得m2＋300m－6 400＝0，
解得m1＝20，m2＝－320(不合题意，舍去)，
∴m的值为20.
(3)设4至6月每吨再生纸利润的月平均增长率为y，5月份再生纸的产量为a t.
依题意，得1 200(1＋y)2·a(1＋y)＝(1＋25%)×1 200(1＋y)·a，
∴1 200(1＋y)2＝1 500.
答：6月份每吨再生纸的利润是1 500元．
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