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中考数学复习精品课件
人教版一轮复习
回归教材夯实基础
2025年中考数学 一轮复习（回归教材夯实基础）
第7讲 分式方程及其应用
考点精讲精练
第二章 方程(组)与不等式(组)
知识点1 解分式方程
未知数
整式
最简公分母
0
知识点2 分式方程的实际应用
D
A
x＝－3
a＜1且a≠0
x＝1
A
A
A
A
D
谢谢
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第7讲 分式方程及其应用
解分式方程
概念 分母中含有未知数的方程
基本思想 将分式方程化为整式方程
一般步骤 分式方程整式方程x＝a 口诀：一化、二解、三检验、四写根
增根 使分式方程分母为0的根
【夺分宝典】分式方程无解与增根为两个不同的概念．
分式方程无解有两种情况：
(1)化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解；
(2)化为整式方程，整式方程有解，但所求的解使最简公分母为0，则所求的解为原分式方程的增根，原分式方程无解．
分式方程的实际应用
行程问题 ＝时间 －＝时间差
工程问题 ＝工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1) 一人完成：－＝时间差 两人对比：－＝时间差(注：这两个时间差概念不相同)
购买问题 ＝数量
航行问题 顺水速度＝静水船速＋水流速度 逆水速度＝静水船速－水流速度
【夺分宝典】双检验——(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题．
【夺分宝典】
1．工程问题
(1)一项工程，甲队单独完成需m天，甲队单独施工a天后，甲、乙合作施工n天，共完成总工程的，设乙单独完成需x天，则可列方程为(a＋n)＋＝；
(2)一项工程，共需完成总量m，实际平均每天比原计划多b，工期比原计划提前z天完成，设实际x天完成工程，可列方程为－＝b.
2．购买问题
(1)购买A，B两种商品，A的单价比B的单价贵a元，用m元购买A与用n元购买B的个数相同，设A的单价为x元，则B的单价为(x－a)元，可列方程为＝；
(2)购买A，B两种商品，A的单价是B的单价的a倍，用m元购买A与用n元购买B的个数相同，设A的单价为x元，则B的单价为元，可列方程为＝.
(一题多设问)某体育馆为满足市民多样化的运动需求，准备对体育馆内器材作更新和补充．
(1)为了确定体育馆内实际器材数量，及时更新老旧器材，对现有器材进行了清点，小明3 h清点完这批器材的一半后，小强加入清点工作，两人合作1.2 h清点完这批器材的另一半．小明和小强谁的清点速度快？
【思路引导】设小强单独清点完这批器材需要x h，则小强1 h清点.根据小明3 h清点完这批器材的一半，得小明1 h清点×＝，再由两人合作1.2 h清点完这批器材的另一半列方程求解即可．
【自主解答】解：设小强单独清点完这批器材需要x h.
由题意，得1.2(＋)＝，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
∵4<6，
∴小强的清点速度快．
(2)若排球的单价是足球单价的1.2倍，该体育馆新购进排球花费了3 000元，新购进足球花费了2 500元，且排球和足球的总数量为50个，求足球的单价；
【思路引导】设足球的单价为a元，则排球的单价为1.2a元，利用数量＝总价÷单价，结合“排球和足球的总数量为50个”列方程求解．
【自主解答】解：设足球的单价为a元，则排球的单价为1.2a元．
由题意，得＋＝50，
解得a＝100.
经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意．
答：足球的单价为100元．
3．行程问题
(1)轮船在静水中的最大航速为a km/h，以最大航速顺流航行m km和以最大航速逆流航行n km所用时间相同，设水流速度为x km/h，则顺流速度为(a＋x)km/h，逆流速度为(a－x)km/h，可列方程为＝；
(2)甲、乙两地相距s km，某车原来的速度是v km/h，现在的速度是原来的a倍，现在所用时间比原来少b h，则可列方程为－＝b.(3)小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度．
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解．
【自主解答】解：设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h.
由题意，得＝＋0.5，
解得b＝3.
经检验，b＝3是原方程的解，且符合题意．
答：小琪步行的速度为3 km/h.
命题点1 解分式方程
1．(2021·恩施州)分式方程＋1＝的解是( D )
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝ D．x＝2
2．(2020·荆门)已知关于x的分式方程＝＋2的解满足－4A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
3．(2024·武汉)分式方程＝的解是x＝－3．
4．(2022·黄石)已知关于x的方程＋＝的解为负数，则a的取值范围是a＜1且a≠0.
5．(2019·襄阳)定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为x＝1．
6．解下列分式方程：
(1)(2022·随州)＝；
解：去分母，得x＋3＝4x.
移项、合并同类项，得3x＝3.
系数化为1，得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x＋3)≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
(2)(2021·仙桃、潜江、天门联考)＋＝1；
解：去分母，得2－x＝2x－1.
移项、合并同类项，得－3x＝－3.
系数化为1，得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解．
(3)(2023·仙桃)－＝0.
解：去分母，得5(x－1)－(x＋1)＝0.
去括号，得5x－5－x－1＝0.
移项、合并同类项，得4x＝6.
系数化为1，得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的解．
命题点2 分式方程的应用
7．(2023·十堰)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为( A )
A．－＝5 B．－＝5
C．－＝5 D．－＝5
8．(2023·随州)甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 km，乙工程队需要修12 km.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1 km，最终用的时间比甲工程队少半个月．设甲工程队每个月修x km，则可列出方程为( A )
A．－＝ B．－＝
C．－＝ D．－＝
9．(2022·荆州)“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6 km和10 km 的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为( A )
A．＋＝ B．＋20＝
C．－＝ D．－＝20
10．(2022·恩施州)一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( A )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
11．(2023·宜昌)某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( D )
A．0.2 km/min B．0.3 km/min
C．0.4 km/min D．0.6 km/min
12.(2021·孝感)中国科学技术日新月异，尤其是中国高铁领跑世界．某工作室利用电脑对“畅想号”与“和谐号”模型车的速度进行了模拟测试，路程为180 km.两车同时从起点出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还有30 km.已知“畅想号”的平均速度比“和谐号”每小时快60 km，求两车各自的平均速度．
解：设“畅想号”的平均速度为x km/h，则“和谐号”的平均速度为(x－60)km/h.
依题意，得＝，解得x＝360.
经检验，x＝360是原方程的解，且符合题意，
则x－60＝360－60＝300.
答：“畅想号”的平均速度为360 km/h，“和谐号”的平均速度为300 km/h.
13．(2020·襄阳)在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天的用水量是原来每天用水量的，这样120 t水可多用3天，求现在每天的用水量是多少吨．
解：设原来每天的用水量是x t，则现在每天的用水量是x t.
依题意，得－＝3，解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x＝8.
答：现在每天的用水量是8 t．
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第7讲 分式方程及其应用
解分式方程
概念 分母中含有未知数的方程
基本思想 将分式方程化为整式方程
一般步骤 分式方程整式方程x＝a 口诀：一化、二解、三检验、四写根
增根 使分式方程分母为0的根
【夺分宝典】分式方程无解与增根为两个不同的概念．
分式方程无解有两种情况：
(1)化为整式方程后，所得整式方程无解，则原分式方程无解；
(2)化为整式方程，整式方程有解，但所求的解使最简公分母为0，则所求的解为原分式方程的增根，原分式方程无解．
分式方程的实际应用
行程问题 ＝时间 －＝时间差
工程问题 ＝工作完成时间(当题干中没有给出具体工作总量时，默认工作总量为1) 一人完成：－＝时间差 两人对比：－＝时间差(注：这两个时间差概念不相同)
购买问题 ＝数量
航行问题 顺水速度＝静水船速＋水流速度 逆水速度＝静水船速－水流速度
【夺分宝典】双检验——(1)检验是否是分式方程的解；(2)检验是否符合实际问题．
【夺分宝典】
1．工程问题
(1)一项工程，甲队单独完成需m天，甲队单独施工a天后，甲、乙合作施工n天，共完成总工程的，设乙单独完成需x天，则可列方程为(a＋n)＋＝；
(2)一项工程，共需完成总量m，实际平均每天比原计划多b，工期比原计划提前z天完成，设实际x天完成工程，可列方程为－＝b.
2．购买问题
(1)购买A，B两种商品，A的单价比B的单价贵a元，用m元购买A与用n元购买B的个数相同，设A的单价为x元，则B的单价为(x－a)元，可列方程为＝；
(2)购买A，B两种商品，A的单价是B的单价的a倍，用m元购买A与用n元购买B的个数相同，设A的单价为x元，则B的单价为元，可列方程为＝.
(一题多设问)某体育馆为满足市民多样化的运动需求，准备对体育馆内器材作更新和补充．
(1)为了确定体育馆内实际器材数量，及时更新老旧器材，对现有器材进行了清点，小明3 h清点完这批器材的一半后，小强加入清点工作，两人合作1.2 h清点完这批器材的另一半．小明和小强谁的清点速度快？
【思路引导】设小强单独清点完这批器材需要x h，则小强1 h清点.根据小明3 h清点完这批器材的一半，得小明1 h清点×＝，再由两人合作1.2 h清点完这批器材的另一半列方程求解即可．
【自主解答】解：设小强单独清点完这批器材需要x h.
由题意，得1.2(＋)＝，
解得x＝4.
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意．
∵4<6，
∴小强的清点速度快．
(2)若排球的单价是足球单价的1.2倍，该体育馆新购进排球花费了3 000元，新购进足球花费了2 500元，且排球和足球的总数量为50个，求足球的单价；
【思路引导】设足球的单价为a元，则排球的单价为1.2a元，利用数量＝总价÷单价，结合“排球和足球的总数量为50个”列方程求解．
【自主解答】解：设足球的单价为a元，则排球的单价为1.2a元．
由题意，得＋＝50，
解得a＝100.
经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意．
答：足球的单价为100元．
3．行程问题
(1)轮船在静水中的最大航速为a km/h，以最大航速顺流航行m km和以最大航速逆流航行n km所用时间相同，设水流速度为x km/h，则顺流速度为(a＋x)km/h，逆流速度为(a－x)km/h，可列方程为＝；
(2)甲、乙两地相距s km，某车原来的速度是v km/h，现在的速度是原来的a倍，现在所用时间比原来少b h，则可列方程为－＝b.(3)小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度．
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解．
【自主解答】解：设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h.
由题意，得＝＋0.5，
解得b＝3.
经检验，b＝3是原方程的解，且符合题意．
答：小琪步行的速度为3 km/h.
命题点1 解分式方程
1．(2021·恩施州)分式方程＋1＝的解是( D )
A．x＝1 B．x＝－2
C．x＝ D．x＝2
2．(2020·荆门)已知关于x的分式方程＝＋2的解满足－4A．正数 B．负数
C．零 D．无法确定
3．(2024·武汉)分式方程＝的解是x＝－3．
4．(2022·黄石)已知关于x的方程＋＝的解为负数，则a的取值范围是a＜1且a≠0.
5．(2019·襄阳)定义：a*b＝，则方程2*(x＋3)＝1*(2x)的解为x＝1．
6．解下列分式方程：
(1)(2022·随州)＝；
解：去分母，得x＋3＝4x.
移项、合并同类项，得3x＝3.
系数化为1，得x＝1.
检验：当x＝1时，x(x＋3)≠0，
∴x＝1是原分式方程的解．
(2)(2021·仙桃、潜江、天门联考)＋＝1；
解：去分母，得2－x＝2x－1.
移项、合并同类项，得－3x＝－3.
系数化为1，得x＝1.
经检验，x＝1是原分式方程的解．
(3)(2023·仙桃)－＝0.
解：去分母，得5(x－1)－(x＋1)＝0.
去括号，得5x－5－x－1＝0.
移项、合并同类项，得4x＝6.
系数化为1，得x＝.
经检验，x＝是原分式方程的解．
命题点2 分式方程的应用
7．(2023·十堰)为了落实“双减”政策，进一步丰富文体活动，学校准备购进一批篮球和足球．已知每个篮球的价格比每个足球的价格多20元，用1 500元购进篮球的数量比用800元购进足球的数量多5个．如果设每个足球的价格为x元，那么可列方程为( A )
A．－＝5 B．－＝5
C．－＝5 D．－＝5
8．(2023·随州)甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9 km，乙工程队需要修12 km.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1 km，最终用的时间比甲工程队少半个月．设甲工程队每个月修x km，则可列出方程为( A )
A．－＝ B．－＝
C．－＝ D．－＝
9．(2022·荆州)“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6 km和10 km 的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3∶4，结果甲比乙提前20 min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3x km/h，则依题意可列方程为( A )
A．＋＝ B．＋20＝
C．－＝ D．－＝20
10．(2022·恩施州)一艘轮船在静水中的速度为30 km/h，它沿江顺流航行144 km与逆流航行96 km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是( A )
A．＝ B．＝
C．＝ D．＝
11．(2023·宜昌)某校学生去距离学校12 km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20 min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，汽车的速度是( D )
A．0.2 km/min B．0.3 km/min
C．0.4 km/min D．0.6 km/min
12.(2021·孝感)中国科学技术日新月异，尤其是中国高铁领跑世界．某工作室利用电脑对“畅想号”与“和谐号”模型车的速度进行了模拟测试，路程为180 km.两车同时从起点出发，“畅想号”到达终点时，“和谐号”离终点还有30 km.已知“畅想号”的平均速度比“和谐号”每小时快60 km，求两车各自的平均速度．
解：设“畅想号”的平均速度为x km/h，则“和谐号”的平均速度为(x－60)km/h.
依题意，得＝，解得x＝360.
经检验，x＝360是原方程的解，且符合题意，
则x－60＝360－60＝300.
答：“畅想号”的平均速度为360 km/h，“和谐号”的平均速度为300 km/h.
13．(2020·襄阳)在襄阳市创建全国文明城市的工作中，市政部门绿化队改进了对某块绿地的灌浇方式．改进后，现在每天的用水量是原来每天用水量的，这样120 t水可多用3天，求现在每天的用水量是多少吨．
解：设原来每天的用水量是x t，则现在每天的用水量是x t.
依题意，得－＝3，解得x＝10.
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
∴x＝8.
答：现在每天的用水量是8 t．
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